(完整版)关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，（关于“一线三等角”模型详见比例与相似高级教程（六）：相似三角形的“一线三等角”模型），即三个等角角度为90o，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型。

“一线三垂直”的性质：
1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；
2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。

其中，在“变形2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的“射影定理”这里主要讨论有一对对应边相等的情况。

【例1】如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ ACB=Rt ∠，AC=BC ，AE ⊥ CE 于点E，BD ⊥CE 于点 D ，AE=5cm ，BD=2cm ，则DE 的长为多少？
一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几
种：
【提示】根据“一线三垂直”模型的性质，△ACE≌△CBD ，于是CD=AE=5cm CE=BD=2cm ，DE=5-2=3 （cm ）
【例2】如图，在△ ABC 中，CA=CB ，点 D 为
BC 中点，CE⊥ AD 于点E，交AB 点F，连接DF 。

求证：AD=CF+DF.
则易证△ ACD ≌△ CBG ，于是AD=CG=CF+FG ；BG=CD=BD ，BF=BF ，∠ DBF= ∠ GBF=45o ，故△ BDF ≌△ BGF ，于是FD=FG ，所以AD=CF+DF 。

【解析】此题乍一看起来和【例
从要证明的结论来看，需要把
BG ⊥ CB ，交CF 的延长线于
1】相同，却不能照搬照抄。

AD 这条线段“转化”到直线CF 上。

如图，过点 B
G。

关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（二）
“一线三垂直”的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。

【例3】如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠ BAC=90o ，分别过B，C 向过 A 点的直线作垂线，垂足分别为E，F。

（1）如图1，过点 A 的直线与斜边BC 不相交时，求证：EF=EB+CF ；
（2）如图2，过点 A 的直线与斜边BC 相交时，其他条件不变，若BE=10 ，CF=3. 求EF 的长。

【提示】（1）图 1 是“一线三垂直”的基础模型，△ ABE ≌CAF ；
（2）图 2 是“一线三垂直”的变形4，和【例1】相同。

【例 4 】如图，已知△ AEB 中，∠ AEB=90o ，以AB 为边向外作正方形ABCD ，连接
AC 、BD ，交于点O，连接EO。

若BE=2 ，EO=3√2，求五边形AEBCD 的面积。

解析】因为∠ ABC= ∠ AEB=90o ，故构造“一线三垂直”模型，如图。

过点 C 作CP⊥EB ，交EB 延长线于点P，连接OP。

则根据“一线三垂直”模型的性质，△ AEB ≌△ BPC ，∴ BP=AE ；
∵∠ AOB= ∠ AEB=90o ，
∴A、E、B、O 四点共圆（详见“四点共圆”在解题中的妙用（一）），∴∠ BEO= ∠ BAO=45o ；
同理∠ BPO= ∠ BCO=45o ，故△ EOP 为等腰直角三角形；
∵EO=3√2，∴EP=6 ，BP=4 ，
根据勾股定理，AB2=16+4=20 ，即S 正方形ABCD=20 ，S△ AEB=4× 2÷2=4 ，∴ S五边形AEBCD=20+4=24.
关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（三）
【例5】已知△ ABC 中，∠ ACB=90o ，AC=BC ，CD 为AB 边上的中线，点 E 为BC 边上任意一点（不与A、D、B 重合），BF⊥CE 于点F，交CD 于点G，AH ⊥CE，
交CE 延长线于点H，交CD 延长线于点M 。

求证：（1）CG=AE ；（2）DE=DM 。

【提示】（1）根据“一线三垂直”模型，△ ACH ≌△ CBF ，∴∠ ACE= ∠CBG ，又∠ CAE= ∠ BCG=45o ，AC=BC ，∴△ ACE ≌△ BCG ；
（2）由“一线三垂直”模型可知，∠ ACE= ∠CBG ，BF=CH ，∴∠ HCM= ∠ FBE ，又∠ BFE= ∠ CHM=90o ，
∴△ CHM ≌△ BFE ，BE=CM ，从而DE=DM 。

同时我们也应该注意到：△ ACM ≌△ CBE ；△ADM ≌△ CDE≌△ BDG；△ AHE≌△ CFG；DM=DG=DE ；△ GEM 为等腰直角三角形等。

构造“一线三垂直”模型，是作辅助线常用的一种手段。

例6】如图，直线l1∥l2∥l3，且l1到l2 的距离为3，l2到l3的距离为4，等腰直
B 分别在l1、l3 上。

求△ AB
C 的面积。

和l3 于点D、E，构造“一线三垂直”模
型，
l1
A、
关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（四）
【例7】（2018 初二希望杯练习题）如图，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥ BC，∠BCD=90o ，AB=BC+AD ，∠DAC=45 o ，E为CD 上一点，且∠ BAE=45 o ，若CD=4，求△ ABE 的面积。

【解析】如图，过点 E 作EG⊥ AE ，交AB 延长线于点G，过点G 作GH ⊥ DC ，交DC 延长线于点H，构造“一线三垂直”模型；过点G 作GK ⊥BC 于点K，过点 B 作BF⊥ AD 于点F。

则△ ADE ≌△ EHG ，DE=GH ；AD=EH=CD ，
∴ DE=CH ，故四边形CKGH 为正方形。

AF=4-BC ，AB=4+BC ，BF=4 ，
∴（4+BC ）2=（4-BC ）2+42，解得：BC=1 ，所以AB=5 ；设DE=x ，则BK=1-x ，GK=x ，AE2=x2+42
∵△ AEG 为等腰直角三角形，∴AG2 =2AE2 ，
（5+BG ）2=2（x2+42），将BG 代入，化简得：（7x-4 ）2=0，x=4/7 ，
∴△ ABE 面积=梯形ABCD 面积-△ADE 面积-△ BCE 面积
=（1+4）×4÷2-4 ×4/7 ÷2-1 ×（4-4/7） 2÷=50/7 。

在直角坐标系中构造“一线三垂直”模型，是解决坐标问题的一种有效手段。

【例8】如图，在直角坐标系中，点A（1，2），点B（0，-1），已知△ ABC 为等腰
直角三角形，求点 C 的坐标。

【解析】设C（m，p）。

（1）当∠ BAC 为直角时：
①当点C在AB 右侧时，如图1。

过点 A 作DE ∥ x轴，交y轴于点D，过点C作CE⊥DE 于点E。

根据“一线三垂直”模型，△ABD ≌△ ACE，
∴DB=AE ，CE=DA ，即：m-1=3 ，2-p=1 ，解得：m=4 ，p=1，∴ C（4，1）；
②当点C在AB 左侧时，如图2。

过点 A 作DE ∥ x轴，交y轴于点D，过点C作CE⊥DE 于点E。

根据“一线三垂直”模型，△ABD ≌△ ACE ，∴ DB=AE ，CE=DA ，即：1-
m=3 ，p -2=1 ，解得：m=-2 ，p=3 ，∴ C（-2 ，3）；
（或者用下列方法：此时，点 C 和①中的 C 关于点 A 对称，故m=2× 1-4=-2 ，p=2×2 －
1=3. ）（2）当∠ ABC 为直角时：
①当点C在AB 右侧时，如图3。

过点 A 作AE ∥ x轴，交y轴于点E，过点C作CD⊥y 轴于点D。

根据“一线三垂直”模型，△ ABE ≌△ BCD ，∴ DB=AE ，BE=CD ，即：-1-p=1 ，m=3 ，解得：m=3 ，p=-2 ，∴ C（3，-2 ）；
②当点 C 在AB 左侧时，如图4。

过点 B 作DE∥x 轴，过点 C 作CD ⊥DE 于点D，过点 A 作AE⊥DE 于点E。

根据“一线三垂直”模型，△ABE ≌△ BCD ，
∴BE=CD ，BD=AE ，即：0-m=3 ，p -（-1）=1，
解得：m=-3 ，p=0，∴ C（-3，0）；
（或者用下列方法：此时，点C和①中的 C 关于点B对称，故m=2× 0-3=-3 ，p=-1 ×2 －（-2）=0.）
（3）当∠ ACB 为直角时：
①当点 C 在AB 右侧时，如图5。

过点 C 作CD∥x 轴，过点 A 作AD ⊥CD 于点D，CD 交y 轴于点E。

根据“一线三垂直”模型，△ACD ≌△ CBE ，
∴BE=CD ，CE=DA ，即：m=2-p ，p- （-1 ）=m-1 ，解得：m=2 ，p=0 ，即CD 与x 轴重合，点E与O重合，
∴C（2，0）；
②当点 C 在AB 左侧时，如图6。

过点 C 作CD∥x 轴，过点 A 作AD ⊥CD 于点D，CD 交y 轴于点E。

根据“一线三垂直”模型，△ACD ≌△ CBE ，
∴BE=CD ，CE=DA ，即：1-m= p- （-1），2-p = 0-m ，解得：m=-1 ，p=1 ，∴ C（-1，1）。

（或者用下列方法：此时，点 C 和①中的 C 关于AB 的中点对称，AB 的中点坐标为
（0.5 ，0.5 ），故m=2× 0.5-2=-1 ，p=0.5 ×2 －0=1. ）
综上所述：符合条件的点 C 的坐标有 6 个：
（4，1）；（-2，3）；（3，-2）；
（-3，0）；（2，0）；（-1，1）。

关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（五）
前面讨论的是关于“一线三垂直模型”有两条边相等时的情况。

如果不存在两条边相等，那么“一线三垂直模型”的性质是必然存在一对或几对相似三角形，这个性质在初中平面几何中的应用也是十分广泛，尤其在直角坐标系中的函数图像与平面几何的综合应用题或压轴题经常得到应用，也是作辅助线的思想方法。

经常出现的图例跟前面介绍的一样（关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（一）），只是直角的两条边不一定相等。

A（1，3），点B（2，-1），坐标轴上是否存在
请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由。

∴AD ∶CE=CD ∶BE，即： 1 ∶(c+1)=(3-c) ∶2，解得：c1=1+√2，c2=1- √2，
故C(0，1+√2)；或C(0 ，1- √2)；
2 ）当点 C 在x 轴上时：
【例9】如图，在直角坐标系中，点
点 C ，使得∠ ACB 为直角？若存
y 轴于点 D 、
E 。

如图2，设C（ c ，0），分别过点A、B 作y 轴的平行线，交x 轴于点D、E。

则根据“一线三垂直模型”，△ ACD ∽△ CBE ，
∴AD∶CE=CD ∶BE ，即：3∶（2-c ）=（1-c）∶2，
或3∶（c-2 ）=（c-1 ）∶ 2 ，
综上所述，符合条件的点 C 的坐标有 4 个，分别为：
（0 ，1+√2）；（0，1-√2）；
【例10】如图，在直角坐标系中，点A（1，3），点B（2，-1），在一次函数y=x/2-1
的图像上是否存在点 C ，使得∠ ACB 为直角？若存在，请求出点 C
的坐标；若不存
在，请说明理由。

解析】设∠ ACB 为直角时，点C（c，c/2-1 ），
如图1，过点 C 作y 轴的平行线DE，分别过点 A 、 B 作DE 的垂线，垂足分别为D、E。

由“一线三垂直模型”可知：△ ACD ∽△
CBE ，
∴AD∶CE=CD ∶BE ，即：(c-1) ∶((c/2-1)+1)=(3-(c/2-1)) ∶(c-2) ，
化简得：5c2-20c+8=0 ，解得：。