大学课件《高等数学》多元函数微积分法及其应用
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10.5 多元函数微分学的应用 课件 《高等数学》(高教版)
A f xx (x0 , y0 ) , B f xy (x0 , y0 ) ,C f yy (x0 , y0 ) ， 则(1)当 AC B2 0 时，点 (x0 , y0 ) 是极值点．且若 A 0 ，点(x0 , y0 ) 为极 大值点；若 A 0 , 点 (x0 , y0 ) 为极小值点；
注：一阶偏导数,同时为0成立的点称为函数的驻点. 可导函数的极值点必为驻点，但是函数的驻点却不一定是极值 点.另外，二元连续函数的极值点必然在驻点或一阶偏导数不存 在的点中．
定理 10.7 (极值存在的充分条件) 设函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且 f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) 0 ．若记
x y 4} 上的最大值与最小值．
解 函数在 D 内处处可微，且
z 10xy 3x 2 y 2xy 2 xy(10 3x 2 y) ，
x
z 5x 2 x 3 2x 2 y x 2 (5 x 2 y) ．
y
解方程组
z x
0,
z y
0 ，得 D
内的驻点为
(5 2
,
5 ), 4
(3) 由极值的充分条件列表讨论驻点是否为极值
点以及极值情况如下：
驻点
A
B
C
AC B 2
(0,
0
-3
0
<0
(1,
6
-3
6
>0
所以， f (x, y) 在点(1,1)处取得极小值-1．
极值情况 无极值
极小值 f
2 多元函数的最大值与最小值 例 函 数 z x 2 y(5 x y) 在 区 域 D {(x, y) x 0, y 0, x y 4x 0, y 0,
注：一阶偏导数,同时为0成立的点称为函数的驻点. 可导函数的极值点必为驻点，但是函数的驻点却不一定是极值 点.另外，二元连续函数的极值点必然在驻点或一阶偏导数不存 在的点中．
定理 10.7 (极值存在的充分条件) 设函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且 f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) 0 ．若记
x y 4} 上的最大值与最小值．
解 函数在 D 内处处可微，且
z 10xy 3x 2 y 2xy 2 xy(10 3x 2 y) ，
x
z 5x 2 x 3 2x 2 y x 2 (5 x 2 y) ．
y
解方程组
z x
0,
z y
0 ，得 D
内的驻点为
(5 2
,
5 ), 4
(3) 由极值的充分条件列表讨论驻点是否为极值
点以及极值情况如下：
驻点
A
B
C
AC B 2
(0,
0
-3
0
<0
(1,
6
-3
6
>0
所以， f (x, y) 在点(1,1)处取得极小值-1．
极值情况 无极值
极小值 f
2 多元函数的最大值与最小值 例 函 数 z x 2 y(5 x y) 在 区 域 D {(x, y) x 0, y 0, x y 4x 0, y 0,
《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用
在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
感谢观看
THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域
大学课件高等数学多元函数微分法及其应用
的 基
显然, E的内点属于E.
本
P3 •
• P1
概
念
(2) 外点 如果存在点P的某个邻域 U(P),
E
使U(P) ∩ E = , 则称P为E的外点.(P2 )
• P2
(3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点,
也有不属于E的点, 称P为E的边界点. (P3 )
E的边界点的全体称为E的边界, 记作 E.
U( P0,δ ) {P PP0 δ, P Rn }.
10
二、多元函数的概念
多
1. 二元函数的定义
元 函
数
(1) 定义
的 基
例 理想气体的状态方程是 pV RT
(R为常数)
本 概
念
其中p为压强, V为体积, T为绝对温度.
如温度T、体积V都在变化, 则压强 p依赖
于T,V 的关系是 p R T V
18
三、多元函数的极限
多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元 函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数 的 基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
本 概
念
注 (1) P(x, y)趋向于P0(x0, y0)的方向有任意多个,
路径又是多种多样的.
如 {( x, y)1 x2 y2 4}, {( x, y) x y 0}
多
元
都是闭区域 .
函 数
开区域、闭区域与半开半闭区域统称为区域。
的 基
本
但注意：当教材规定了区域为开区域时，
概 念
一般的区域要称一般区域。
有界区域
总可以被包围在一个以原点为中心、 半径
《多元函数的微积分》课件
最优化问题
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
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感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
第8章-多元函数微分学及其应用 高等数学教学课件
xy2 x2
sin y y2
0
xy2 sin y x
x2 y2
故 lim (x, y)(0,0)
xy2 sin x x2 y2
0.
例5 求下列各极限.
1 lim sin(xy) ;
( x, y)(1,0)
y
2 lim xsin 1 .
( x, y)(0,0)
如果多元函数 f (P)在有界闭区域 D上连续， 则该函数在D上能取得最大值和最小值 .
性质3（介值定理）
如果多元函数 f (P)在有界闭区域 D上连续， 则该函数在D上必取得介于最大值M和最小值m 之间的任何值,即对于∀c[m, M ],∃P0D 使得 f(P0) = c .
lim f (x, y) lim f (0, y) lim0 0.
(x, y)(0,0)
y0
y0
当点P(x, y)沿抛物线y kx2(k 0)趋于点0,0时,
lim
(x, y)(0,0)
f (x, y) lim x0
f
(x, kx2 )
lim x0
x4
kx4 k2x4
k 1 k2
PQ x x0 )2 ( y y0 )2 .
称集合U(P,δ) ={Q(x, y)| |PQ| <δ}为点P的δ邻域.
在xOy平面上, U(P, δ)的几何意义:以点P为圆心、 δ为半径的圆内所有点所构成的集合.
集合U(P, δ)\P称为点P的去心δ邻域, 记作
U P, ,即U P, Q x, y | 0 PQ .
.
此极限值与数k有关,当k的值不同时,极限值也不同.
lim f (x, y)不存在. ( x, y)(0,0)
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
《多元函数的微积分》PPT课件
xy
kx2
k
lim
x0
x2
y2
lim x0
x2
k2x2
1 k2
.
6
y kx 0
例1 求lim sin(xy) . x0 x
y2
解： lim sin(xy) lim sin(xy) y
x0 x
x0 xy
y2
y2
sin(xy)
lim
lim y
x0 xy
x0
y2
y2
2 lim sin( xy) 2 . xy0 xy
时，函数都无限接近于A. (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数
趋于不同的值，则函数的极限不存在．
例
xy
x2
y2
, x2 y2 0 .
f (x, y)
0 , x2 y2 0 .
当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数的极限为
当点P(x，y)沿直线y=k x 趋于点(0，0)时
解： 如果 2 函数在单位圆上任何点都连续
若 2 在单位圆上任何点都不连续
9
三. 偏导数的概念及简单计算
1. 偏导数的概念：
定义
设函数z f(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有当y 固定
定在义y0 ，而x 在x0 处有增量 x 时相，应地函数有增量
f (x0（１）如果极限 0) ，x，y0) f(x0，y
y0
y
存在，
则称此极限为函数z f(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏
导数，
记作
z , x x0
y y y0
f ,
y x x0
y y0
z y , x x0 y y0
高等数学 多元函数微分法及其应用ppt课件
其余类推
fxy( x,
y)
lim
y0
fx(x, y
y) y
fx(x, y)
(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。
(3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例
1】设 z
x3
y2
3 xy 3
xy
1，求二阶偏导数及
3z x 3
.
【解】 z 3x2 y2 3 y3 y, x
x2 y2 sin x2 y2 ( x2 y2 )3 2
y0
换元,化为一元 函数的极限
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【阅读与练习】 求下列极限
5/51
x2
(1)lim sin( xy) (a 0); (2) lim (1 1 )x2 y2 ;
x0 x
x
x
ya
ya
1
(3)lim(1 sin xy)xy; x0
(2) 【复合函数求导链式法则】
①z
u
v
t t
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
u
x z z u z v y x u x v x
②z
v
x z z u z v
y y u y v y
③ z f (u, x, y)
u x z f f u
y x x u x
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
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10/51
4. 【偏导数的几何意义】 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
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z
2
f y y (x, y)
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz xn1 y
例5. 求函数 z ex2 y 的二阶偏导数及
多元函数微分法及其应用
偏导数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,
将振幅
中的 x 固定于 x0 处,
求
一阶导数与二阶导数.
u u(x0 , t ) u(x, t )
O x0
x
就是 关于 t 的
定义1. 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
或 y 偏导数存在 ,
则该偏导数称为偏导函数,
偏导数 , 记为
也简称为
z , f , y y
zy ,
f y (x, y) ,
f2(x, y)
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
显然
0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
上节例
例1 . 求 z x2 3x y y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1
z 2x 3y,
x
z x (1, 2)
z y
3x
2
y
z
y (1, 2)
解法2
z y2 x2 6x 4
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
(请自己写出)
二元函数偏导数的几何意义:
f x
x x0 yy0
d dx
f (x, y0 )
x x0
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
是曲线
在点M0 处的切线
斜率.
z
M0
Tx
Ty
O
x0
x
y0 y
(x0 , y0 )
M 0Ty 对 y 轴的
注意：函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
例如,
z
f
(x, y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0
0 , x2 y2 0
极限
x0 x
x0
x
存在, 则称此极限为函数
z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 对 x
的偏导数，记为
f x
(x0 ,
y0 )
;
zx (x0 , y0 ) ;
f1(x0, y0 ) .
注意:
f
fx (x0 )
(x0 , y0 lim
x 0
) f
lim f (x0 (x0x0x) f
例如, f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
x
x, (x0 )
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 x x0
)
同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 ) lim f (x0, y0 y) f (x0, y0 )
y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
1
不 等
例6. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u
2u x2
2u y2
2u z2
0
证：
r2
2u x2
1 r3
3 r
x
4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性 , 有
z
x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
先求后代 先代后求
例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证 x z 1 z 2z y x ln x y
证:
x z 1 z
2z
y x ln x y
例3. 求
的偏导数 .
解: r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r z z r
例4. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: p V T 1 V T p
证:
p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , p
V R T p
解 : z ex2y
x
z 2ex2y
y
3z yx
2
.
2z x2
ex2 y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2
4 ex2 y
3z yx2
x
(
2z ) y x
2ex2y
注意:此处
2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
的二阶偏导数 .
按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
(z) 2z y x xy
fx y (x, y)源自 (z) 2z x y yx
f yx (x, y);
y
(
z y
)
2 y
偏导数记号是一个
整体记号,
不能看作
分子与分母的商 !
p V V T
T p
RT pV
1
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x
fx (x, y) ,
若这两个偏导数仍存在偏导数，
z y
f y (x, y)
则称它们是z = f ( x , y )
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)
lim y y0 y
1
二 者
f yx (0,0)
lim
x0
f y (x,
0) x
f y (0, 0)
lim
x0
x x