振动信号处理中傅里叶级数的形象化分析
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2. 1 复指数表达式中的虚数单位
图 4 sin ( 8 t) 的平面频谱图
2. 2 复指数表达式中的负频率
欧拉公式可以将同频的正、 余弦分量成对合并 j8 t ( 4) e = co s8 t + jsin 8 t 于是在所有的正弦函数后乘上了一个虚数单位 “j” 。 把正、 余弦函数的系数作三角合并
+ ∞
傅里叶级数 ( 形如 f ( t) =
k= - ∞
∑A
k
e
jΞk t
) 是一种数
g ( t) 对应的傅里叶级数为 g ( t) =
学上的等价变换, 同时也是工程上对信号进行时域 到频域变换的理论基础。 而这种信号变换处理又是 振动分析等应用学科里必不可少的, 在工程领 D SP、 域里有着举足轻重的作用。 由于傅里叶级数是一种 很纯粹的数学理论, 它的表达式里包含了许多难以 直观理解的符号和概念, 如虚数单位 “j” 、 负频率等, 所以, 有必要将这些物理量的概念形象化, 充分理解 引入这些抽象符号的理由, 熟练地运用傅里叶级数, 指导工程实践。
通大学出版社, 1999 第一作者简介: 杜 衡 男, 1980 年 10 月 生, 硕士研究生。 主要研究方向为结构动 态诊断、 动态信号分析。
E2 m a il: herbdu@ tom. com
324
. 24 Jou rna l of V ib ra tion,M ea su rem en t & D iagno sis V o l
( c) 方波信号频谱图 图 2 方波信号时域到频域的转换示意图
图 3 sin ( 8 t) 的空间频谱图
2 用复指数式替代三角式的优劣分析
三角式虽然表达清晰, 但较为烦琐。 三角式须用 正、 余弦两种函数来表达, 首先要分别计算正、 余弦 的函数的系数 a k , bk; 其次要作 2 张频谱图来分别表 示正、 余弦分量频谱; 还有一个常量须单独表示。 所 以三角表达式常常得有三大部分组成, 无论是书写 作图还是实际应用都不方便。
Ana lys is of Four ier Ser ies Appl ied to V ibra tion S igna ls
D u H eng
(D ep a rtm en t of In strum en t Science and Engineering, Sou thea st U n iversity N an jing, 210096, Ch ina )
值得一提的是, 负频率虽然并不实际存在, 但是 也可作物理上的理解。就像 f ( x ) 变成 f ( - x ) , 就是 将 f ( x ) 沿 x 轴作关于 y 轴的轴对称变换。同理, 负 频率的谐波分量就是将正频率的谐波分量翻转一下 后得到的函数。 例如 sin ( - 8 t) 仍然是以 8 为频率 的周期函数, 图形是关于 y 轴镜像翻转以后的图形, 如图 5 所示。
Fra Baidu bibliotek
3 结束语
本文所讨论的重点是如何形象化地理解傅里叶 级数用于工程实践后所涉及的全部符号和概念, 使 得对傅里叶级数的理解由抽象变为形象, 从而能够 得心应手地解决傅里叶反变换及变换中时域、 频域、 离散、 连续、 周期、 非周期等种种问题。
参 考 文 献
1 H ayes M H. 数字信号处理. 北京: 科学出版社, 2002 2 蒋洪明, 张 庆. 动态测试理论与应用. 南京: 东南大学出
( 10)
这个 Α正是复指数表达式中的相位 ( 严格的讲, 它是 数学中所定义的初相) 。 相位的引入是复指数式取代 三角式的第三个弊端。
2. 4 空间频谱图
版社, 1999
3 阎树森, 王新凤, 田惠生. 信号与线性系统. 西安: 西安交
最直观而准确的表示相位的方法就是把已拓展 到负半轴的频谱图作进一步的空间拓展。 其操作方 法是: 在垂直于 o8 轴的一系列平面内分别建立极 坐标系。 极点与 8 轴上离散的频率点重合, 极轴与 y 轴平行或重合, 方向也与 y 轴一致, 于是辐角主值反 映了相位, 极值反映了幅值的模, 如图 6 所示。 其实, 用极坐标反映一个复向量的幅值和相位 是一种很传统、 很经典的表达方法, 例如电路分析中 的相量法。 但本文的创新是将极坐标系和直角坐标
=
a k + bk
∞
2
2
( 5)
就可以得到公式
x ( t) = a 0 +
∑A
k= 1
k
e jk 8 0 t
( 6)
将 a 0 变一下形: a 0 = A 0 e j8 0 t×0 , 常数项就能统一 起来了。 于是得到
∞
x ( t) =
∑A
k= 0
k
e jk 8 0 t
( 7)
316
振 动、测 试 与 诊 断 第 24 卷
1 + 2 1 + 2
2 sin3x sin5x [ sin x + + + …] = Π 3 5
∞
n= 1
∑ n Π[ 1 -
1
( - 1) n ] sin nx
( 2)
该表达式表明: 任何时域上的周期信号无论其 幅值怎样杂乱无章, 总能分解成一系列幅度上规律 ( 直流信号视为频率 变化的正弦和余弦信号的组合。 为零的特殊三角函数信号) 。 一个最普遍的表达式是
A
k
[1 ]
对照相关书本可以发现, 公式 ( 7) 与书本上的表 达式并不完全一致。 书本上求和符号的下限不是 0 而是负无穷。这是因为两者对 A k 的定义有异。书本
2 2 上: A k = a k + bk 2。 很显然, 它是将各个频率上 的谐波分量幅值减半, 而后又在对应的负频率上补 足。 这是为了保证复指数式的通用性。 当原信号只 含一种类型的三角分量时, 例如原信号是标准正弦 信号, 那么一个正频的 e j8 t 是不能与之等价的。 引入 负频率之后, 就能解决这个问题了。 例如 ) e j8 t + e j(- 8 t ( 9) co s8 t = 2 然而三角式中不会出现这个问题, 因此负频率是复 指数式取代三角式产生的第二个弊端。
A bs tra c t T h is p ap er describes the need to t ran sfo rm the con t inuou s p eriod ic signa l in t i m e dom a in to the
d iscrete signa l in frequency dom a in by u sing Fou rier Series ( FS ). T he p lu ra l index fo rm of FS is m o re concise com p a red w ith the t rigonom et ric fo rm. Som e concep t s in the p lu ra l index exp ression a re d issu ssed, , the m inu s frequency and the p ha se. F ina lly, an ana lysis too l— sp a t ia l such a s the im ag ina ry un it“j ” frequency cha rt is set up to help understand ing the th ree concep t s.
315
(a ) 时域方波信号
(b ) 方波信号经傅里叶分解后得到的时域谐波信号组合
这样就使三角式转化成了复指数式, 表达式由繁化 简。 但同时也产生了一个弊端, 引入了实际不存在的 “j” 。 一个虚数单位 “j” 可理解为两个量: 一个 90° 的 正向转角和一个模为 “1” 的幅值。 因此纸平面上任意 一 个幅值乘上了 “j” , 就是等幅地把这个幅值转过 90° , 使得它垂直于纸面。 因此,“j” 也被称为旋转因 子。 所以正弦函数的复频谱 ) e j8 t + e j(- 8 t - j j8 t j - j8 t ( 8) sin 8 t = = e + e 2j 2 2 应该放在垂直纸面的平面里考虑 ( 见图 3) 。当然, 在 该平面中所有幅值都是实数模值, 不需要引入 “j” 。 为了满足在纸平面上表示的要求, 可以进一步 在模上乘以 “j” , 于是就得如图 4 所示的图形。
其中: a k 和 bk 分别是正、 余弦信号的振幅; k 8 0 是这 些信号的频率 ( 各个频率之间存在整数或有理数的 倍数关系) 。 任何机械波或电磁波 ( 信号的载体) 传播都具有 独立性: 即几列波在传播过程中相遇, 各波仍保持各 自的振幅、 频率、 振动方向和传播方向。 因此, 一个周 期信号在某一时刻的幅值可以看作是一系列正、 余 弦信号 ( 即谐波信号) 在该时刻的幅值之和。 传播的 独立性保证了实际应用中各个分解信号之间没有干 扰, 所以分别研究各个谐波信号就等于研究原来的周 期信号, 这就是运用傅里叶级数分解周期信号在理论 上的可行性。 然而, 要在时域内对这组数目巨大的 ( 可 能是无穷) 分解结果进行处理却不切实际, 因为谐波 信号在时域中是相互重叠的。 而在频域中用一个幅值 和一个频率惟一表达一个谐波信号就能避免时域中 谐波信号的重重叠叠, 将一个可能是不规则的周期信 号先规范化再清晰化。 图 2 表示了这一过程。 清晰化以后, 滤除高频噪声就十分容易了。
0 1
- Π≤ x ≤ 0 0≤x ≤Π
( 1)
f ( t) 以 2Π为周期延拓成 g ( t) , g ( t) 的图形如图
1 所示。
图 1 时域方波信号图
Ξ
收稿日期: 2004203228; 修改稿收到日期: 2004204206。
第 4 期 杜 衡: 振动信号处理中傅里叶级数的形象化分析
图 6 空间频谱图示意图
图 5 负频率的理解图
2. 3 复指数表达式中的相位 sin 8 t 和 co s8 t 是最特殊也是最简单的时域周
期函数。 它们作复指数形式的分解后所得分量的系 数要么全是纯实数, 要么全是纯虚数, 因而可以在一 个平面内把信号的所有频谱表示出来[ 2 ]。 但是绝大 多数周期函数分解后所得分量的系数是个复数 (R + I j) , 因此, 该分量的幅值既不能在 y o8 平面内表 示, 也不能在 z o8 平面里表示, 而是在绕 o8 轴旋转 一定角度的某个平面内表示出来。该平面与 y o8 平 面的夹角 Α可由式 ( 10) 求得 Α= a rctg
R I
系垂直拼合并用来形象地解释相位问题。 三维的频谱图虽然易于理解但不易于表达。 为了 使它能够方便地运用于工程实际, 于是把形象的转角 抽象成转角值, 并将这些与频率一一对应的转角值另 作一张图, 这样就得到了相频曲线图。 原来的三维频 谱图可以被压成平面图, 所得的平面曲线就被称为幅 频曲线图。 于是, 除非是 sin 8 t 和 co s8 t 这类最简单 的周期信号, 还可以看到频谱图, 在分析其他周期信 号时只会看到成对的相频曲线和幅频曲线。 一个信号仍然要作两张图才能表达完整, 说明 在作图方面复指数式并没有体现简洁化的要求。 但 综合比较一下, 复指数式仍比三角式要简洁。 另外, 它还有一个很好的特性, 即由复指数函数 e j8 t 构成。 j8 t [3 ] e 是一切线性移不变系统 (L IT ) 的特征函数 。
第 24 卷第 4 期 2004 年 12 月
振动、 测试与诊断
Jou rna l of V ib ra t ion,M ea su rem en t & D iagno sis
Vol . 24 N o. 4 D ec. 2004
振动信号处理中傅里叶级数的形象化分析
杜 衡
( 东南大学仪器科学与工程系 南京, 210096)
Ξ
摘要 讨论了利用傅里叶级数把连续周期时域信号转换成离散的频域信号的必要性。指出用傅里叶级数的复指数 形式取代三角形式具有简洁化的优点, 但也存在一些缺点: 需要引入 3 个实际不存在的概念, 即 “虚数单位 j” 、 “负 频率” 和 “相位” 。 最后, 对这 3 个概念作了形象化分析, 并创建了一个分析相位的工具——空间频谱图。 关键词 时2频转换 负频率 相位 旋转因子 “j” 空间频谱图 中图分类号 TN 911. 6
x ( t) = a0
∞
2
+
∑ (a co sk 8
k n= 1
0
t + b0 sin k 8 0 t)
( 3)
1 信号时2频转换的必要性
傅里叶级数的表达方式有两种: 三角式和复指数 式。 三角式是指用一系列的正弦和余弦三角函数 ( 常 数视为特例) 之和等价地表示一个周期函数。 例如
f ( t) =
图 4 sin ( 8 t) 的平面频谱图
2. 2 复指数表达式中的负频率
欧拉公式可以将同频的正、 余弦分量成对合并 j8 t ( 4) e = co s8 t + jsin 8 t 于是在所有的正弦函数后乘上了一个虚数单位 “j” 。 把正、 余弦函数的系数作三角合并
+ ∞
傅里叶级数 ( 形如 f ( t) =
k= - ∞
∑A
k
e
jΞk t
) 是一种数
g ( t) 对应的傅里叶级数为 g ( t) =
学上的等价变换, 同时也是工程上对信号进行时域 到频域变换的理论基础。 而这种信号变换处理又是 振动分析等应用学科里必不可少的, 在工程领 D SP、 域里有着举足轻重的作用。 由于傅里叶级数是一种 很纯粹的数学理论, 它的表达式里包含了许多难以 直观理解的符号和概念, 如虚数单位 “j” 、 负频率等, 所以, 有必要将这些物理量的概念形象化, 充分理解 引入这些抽象符号的理由, 熟练地运用傅里叶级数, 指导工程实践。
通大学出版社, 1999 第一作者简介: 杜 衡 男, 1980 年 10 月 生, 硕士研究生。 主要研究方向为结构动 态诊断、 动态信号分析。
E2 m a il: herbdu@ tom. com
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. 24 Jou rna l of V ib ra tion,M ea su rem en t & D iagno sis V o l
( c) 方波信号频谱图 图 2 方波信号时域到频域的转换示意图
图 3 sin ( 8 t) 的空间频谱图
2 用复指数式替代三角式的优劣分析
三角式虽然表达清晰, 但较为烦琐。 三角式须用 正、 余弦两种函数来表达, 首先要分别计算正、 余弦 的函数的系数 a k , bk; 其次要作 2 张频谱图来分别表 示正、 余弦分量频谱; 还有一个常量须单独表示。 所 以三角表达式常常得有三大部分组成, 无论是书写 作图还是实际应用都不方便。
Ana lys is of Four ier Ser ies Appl ied to V ibra tion S igna ls
D u H eng
(D ep a rtm en t of In strum en t Science and Engineering, Sou thea st U n iversity N an jing, 210096, Ch ina )
值得一提的是, 负频率虽然并不实际存在, 但是 也可作物理上的理解。就像 f ( x ) 变成 f ( - x ) , 就是 将 f ( x ) 沿 x 轴作关于 y 轴的轴对称变换。同理, 负 频率的谐波分量就是将正频率的谐波分量翻转一下 后得到的函数。 例如 sin ( - 8 t) 仍然是以 8 为频率 的周期函数, 图形是关于 y 轴镜像翻转以后的图形, 如图 5 所示。
Fra Baidu bibliotek
3 结束语
本文所讨论的重点是如何形象化地理解傅里叶 级数用于工程实践后所涉及的全部符号和概念, 使 得对傅里叶级数的理解由抽象变为形象, 从而能够 得心应手地解决傅里叶反变换及变换中时域、 频域、 离散、 连续、 周期、 非周期等种种问题。
参 考 文 献
1 H ayes M H. 数字信号处理. 北京: 科学出版社, 2002 2 蒋洪明, 张 庆. 动态测试理论与应用. 南京: 东南大学出
( 10)
这个 Α正是复指数表达式中的相位 ( 严格的讲, 它是 数学中所定义的初相) 。 相位的引入是复指数式取代 三角式的第三个弊端。
2. 4 空间频谱图
版社, 1999
3 阎树森, 王新凤, 田惠生. 信号与线性系统. 西安: 西安交
最直观而准确的表示相位的方法就是把已拓展 到负半轴的频谱图作进一步的空间拓展。 其操作方 法是: 在垂直于 o8 轴的一系列平面内分别建立极 坐标系。 极点与 8 轴上离散的频率点重合, 极轴与 y 轴平行或重合, 方向也与 y 轴一致, 于是辐角主值反 映了相位, 极值反映了幅值的模, 如图 6 所示。 其实, 用极坐标反映一个复向量的幅值和相位 是一种很传统、 很经典的表达方法, 例如电路分析中 的相量法。 但本文的创新是将极坐标系和直角坐标
=
a k + bk
∞
2
2
( 5)
就可以得到公式
x ( t) = a 0 +
∑A
k= 1
k
e jk 8 0 t
( 6)
将 a 0 变一下形: a 0 = A 0 e j8 0 t×0 , 常数项就能统一 起来了。 于是得到
∞
x ( t) =
∑A
k= 0
k
e jk 8 0 t
( 7)
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振 动、测 试 与 诊 断 第 24 卷
1 + 2 1 + 2
2 sin3x sin5x [ sin x + + + …] = Π 3 5
∞
n= 1
∑ n Π[ 1 -
1
( - 1) n ] sin nx
( 2)
该表达式表明: 任何时域上的周期信号无论其 幅值怎样杂乱无章, 总能分解成一系列幅度上规律 ( 直流信号视为频率 变化的正弦和余弦信号的组合。 为零的特殊三角函数信号) 。 一个最普遍的表达式是
A
k
[1 ]
对照相关书本可以发现, 公式 ( 7) 与书本上的表 达式并不完全一致。 书本上求和符号的下限不是 0 而是负无穷。这是因为两者对 A k 的定义有异。书本
2 2 上: A k = a k + bk 2。 很显然, 它是将各个频率上 的谐波分量幅值减半, 而后又在对应的负频率上补 足。 这是为了保证复指数式的通用性。 当原信号只 含一种类型的三角分量时, 例如原信号是标准正弦 信号, 那么一个正频的 e j8 t 是不能与之等价的。 引入 负频率之后, 就能解决这个问题了。 例如 ) e j8 t + e j(- 8 t ( 9) co s8 t = 2 然而三角式中不会出现这个问题, 因此负频率是复 指数式取代三角式产生的第二个弊端。
A bs tra c t T h is p ap er describes the need to t ran sfo rm the con t inuou s p eriod ic signa l in t i m e dom a in to the
d iscrete signa l in frequency dom a in by u sing Fou rier Series ( FS ). T he p lu ra l index fo rm of FS is m o re concise com p a red w ith the t rigonom et ric fo rm. Som e concep t s in the p lu ra l index exp ression a re d issu ssed, , the m inu s frequency and the p ha se. F ina lly, an ana lysis too l— sp a t ia l such a s the im ag ina ry un it“j ” frequency cha rt is set up to help understand ing the th ree concep t s.
315
(a ) 时域方波信号
(b ) 方波信号经傅里叶分解后得到的时域谐波信号组合
这样就使三角式转化成了复指数式, 表达式由繁化 简。 但同时也产生了一个弊端, 引入了实际不存在的 “j” 。 一个虚数单位 “j” 可理解为两个量: 一个 90° 的 正向转角和一个模为 “1” 的幅值。 因此纸平面上任意 一 个幅值乘上了 “j” , 就是等幅地把这个幅值转过 90° , 使得它垂直于纸面。 因此,“j” 也被称为旋转因 子。 所以正弦函数的复频谱 ) e j8 t + e j(- 8 t - j j8 t j - j8 t ( 8) sin 8 t = = e + e 2j 2 2 应该放在垂直纸面的平面里考虑 ( 见图 3) 。当然, 在 该平面中所有幅值都是实数模值, 不需要引入 “j” 。 为了满足在纸平面上表示的要求, 可以进一步 在模上乘以 “j” , 于是就得如图 4 所示的图形。
其中: a k 和 bk 分别是正、 余弦信号的振幅; k 8 0 是这 些信号的频率 ( 各个频率之间存在整数或有理数的 倍数关系) 。 任何机械波或电磁波 ( 信号的载体) 传播都具有 独立性: 即几列波在传播过程中相遇, 各波仍保持各 自的振幅、 频率、 振动方向和传播方向。 因此, 一个周 期信号在某一时刻的幅值可以看作是一系列正、 余 弦信号 ( 即谐波信号) 在该时刻的幅值之和。 传播的 独立性保证了实际应用中各个分解信号之间没有干 扰, 所以分别研究各个谐波信号就等于研究原来的周 期信号, 这就是运用傅里叶级数分解周期信号在理论 上的可行性。 然而, 要在时域内对这组数目巨大的 ( 可 能是无穷) 分解结果进行处理却不切实际, 因为谐波 信号在时域中是相互重叠的。 而在频域中用一个幅值 和一个频率惟一表达一个谐波信号就能避免时域中 谐波信号的重重叠叠, 将一个可能是不规则的周期信 号先规范化再清晰化。 图 2 表示了这一过程。 清晰化以后, 滤除高频噪声就十分容易了。
0 1
- Π≤ x ≤ 0 0≤x ≤Π
( 1)
f ( t) 以 2Π为周期延拓成 g ( t) , g ( t) 的图形如图
1 所示。
图 1 时域方波信号图
Ξ
收稿日期: 2004203228; 修改稿收到日期: 2004204206。
第 4 期 杜 衡: 振动信号处理中傅里叶级数的形象化分析
图 6 空间频谱图示意图
图 5 负频率的理解图
2. 3 复指数表达式中的相位 sin 8 t 和 co s8 t 是最特殊也是最简单的时域周
期函数。 它们作复指数形式的分解后所得分量的系 数要么全是纯实数, 要么全是纯虚数, 因而可以在一 个平面内把信号的所有频谱表示出来[ 2 ]。 但是绝大 多数周期函数分解后所得分量的系数是个复数 (R + I j) , 因此, 该分量的幅值既不能在 y o8 平面内表 示, 也不能在 z o8 平面里表示, 而是在绕 o8 轴旋转 一定角度的某个平面内表示出来。该平面与 y o8 平 面的夹角 Α可由式 ( 10) 求得 Α= a rctg
R I
系垂直拼合并用来形象地解释相位问题。 三维的频谱图虽然易于理解但不易于表达。 为了 使它能够方便地运用于工程实际, 于是把形象的转角 抽象成转角值, 并将这些与频率一一对应的转角值另 作一张图, 这样就得到了相频曲线图。 原来的三维频 谱图可以被压成平面图, 所得的平面曲线就被称为幅 频曲线图。 于是, 除非是 sin 8 t 和 co s8 t 这类最简单 的周期信号, 还可以看到频谱图, 在分析其他周期信 号时只会看到成对的相频曲线和幅频曲线。 一个信号仍然要作两张图才能表达完整, 说明 在作图方面复指数式并没有体现简洁化的要求。 但 综合比较一下, 复指数式仍比三角式要简洁。 另外, 它还有一个很好的特性, 即由复指数函数 e j8 t 构成。 j8 t [3 ] e 是一切线性移不变系统 (L IT ) 的特征函数 。
第 24 卷第 4 期 2004 年 12 月
振动、 测试与诊断
Jou rna l of V ib ra t ion,M ea su rem en t & D iagno sis
Vol . 24 N o. 4 D ec. 2004
振动信号处理中傅里叶级数的形象化分析
杜 衡
( 东南大学仪器科学与工程系 南京, 210096)
Ξ
摘要 讨论了利用傅里叶级数把连续周期时域信号转换成离散的频域信号的必要性。指出用傅里叶级数的复指数 形式取代三角形式具有简洁化的优点, 但也存在一些缺点: 需要引入 3 个实际不存在的概念, 即 “虚数单位 j” 、 “负 频率” 和 “相位” 。 最后, 对这 3 个概念作了形象化分析, 并创建了一个分析相位的工具——空间频谱图。 关键词 时2频转换 负频率 相位 旋转因子 “j” 空间频谱图 中图分类号 TN 911. 6
x ( t) = a0
∞
2
+
∑ (a co sk 8
k n= 1
0
t + b0 sin k 8 0 t)
( 3)
1 信号时2频转换的必要性
傅里叶级数的表达方式有两种: 三角式和复指数 式。 三角式是指用一系列的正弦和余弦三角函数 ( 常 数视为特例) 之和等价地表示一个周期函数。 例如
f ( t) =