人教版-高中数学选修2-1 2.2.2_椭圆的简单几何性质2)

2.2.2椭圆的简单 几何性质（2）
1
标准方程 范围
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前
7
练一下
x2 y2 1．已知点(2,3)在椭圆 2＋ 2＝1 上，则下列说法正确的 m n 是(
D
)
A．点(－2,3)在椭圆外 B．点(3,2)在椭圆上 C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上
8
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
或
y2 x2 1 100 64
x2 y 2 1 9 4
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定型； ⑵定量
3
3：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上， 长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0）， 求椭圆的方程。
2a 3 2b
a 3b
a 3, b 1
或b 3，a 9
思想方法： 1.函数法： 化归为求函数值域或最值
建立变量不等式并求解 2.不等式法：
3.几何法：从几何图形中确定临界值
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题型三：椭圆的离心率问题
x2 y 2 例3：(1)椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 的左焦点
F1 (c,0),
A(a, 0), B(0, b) 是两个顶点，如果到F1直线AB的 b 1 距 离为 ，则椭圆的离心率e= . 7 2 解 : 直线AB方程为: bx ay ab 0 bc ab b b2 a 2 c 2 d F1 AB . 2 2 7 b a 2 2 2 5a2 14ac 8c2 0 7(a c) 2a c a 2c或5a 4c. e c 1 . 31 a 2
22
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 2、弦长的计算方法： 弦长公式：
2 |AB|= 1 k 2 · x1 x2） 4 x1 x2 （
=
1 1 2 · y1 y2） 4 y1 y2 （ k
（适用于任何曲线）
23
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 2、弦长的计算方法： 弦长公式：
y
B2
设M（x0 ,y0）
M
F2
则|MF2 | =（x0 -c) +y0
2
2
2
A1 F
1
O
B1
a x0 a 当x0 a，MF2 | 有最大值a c; | 当x0 a，MF2 | 有最小值a c; |
x0 y0 又 2 2 1 a b A2 x 2 2 c a 2 2 |MF2 | = 2 0 - ) （x a c
2
2
27
y
B2
M
F2
|MF2|min=|A2F2| =a-c |MF2|max=|A1F2| A2 x =a+c
A1 F
1
O B1
28
新知探究
3.点M在椭圆上运动，当点M在什么位 置
M
时，∠F1MF2为最大？ y 点M为短轴的端点.
F1 O F2 x
此时△F1MF2的面 积最大
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专题：求变量的取值范围或最值
1.直线与椭圆的位置关系 例1.k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6 有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k =
6 时有一个交点 3
6 6 当k> 或k<时有两个交点 3 3 当6 6 k< 时没有交点 3 3
13
变式：
x2 y2 1．直线 y＝x＋2 与椭圆 ＋ ＝1 有两个公共点， m 3 则 m 的取值范围是( A．m>1 C．m>3 ) B．m>1 且 m≠3 D．m>0 且 m≠3
3 e , 求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐 2
标、顶点坐标。
x2 y2 椭圆： 1 m m m3
m2 3 e m3 4
2
m m(m 2) 2 a m, b ,c m3 m3
2 2
m 1
Байду номын сангаас
长轴长 2a 2
3 , 0) 短轴长 2b 1 焦点坐标( 2 1 顶点坐标( 1, 0), (0, ) 2
解得k1 =25，k 2 =-25
y
x
o
由图可知k 25， 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 且d 41 2 2 41 4 5 40 25
思考：最大的距离是多少？
16
1.直线与椭圆的位置关系
练习：已知直线y=x与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位 4 置关系. x x2 由韦达定理 1 5 解：联立方程 1 x1 x2 1 组 5 y x 消去y
x2 y2 1 9 4
2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线
交点情况满足(
A.没有公共点
)
B.一个公共点
C.两个公共点
D.有公共点
14
1直线与椭圆的位置关系 例2 . 已知椭圆 椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小， y 最小距离是多少？
解： 设直线m平行于l，
x2 y 2 1 4 ，直线 l：x - 5 y 40 0 25 9
解： ⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的坐标 方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是 椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点
，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为
x2 y 2 ⑵ 1 100 64
题型三：椭圆的离心率问题
x2 y 2 例3：(2)设M为椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 上一点，F1、F2
为椭圆的焦点，
如果 MF1F2 75 , MF2 F1 15，求椭圆的离心率。
解： MF1F2 75 , MF2 F1 15， F1MF2 900
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弦中点问题
例4.已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程.
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条 解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
19
弦中点问题
例 4.已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点 被平分，求此弦所在直线的方程.
解：
韦达定理→斜率 韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
20
弦中点问题
例 4.已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点 被平分，求此弦所在直线的方程. 点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
c e a
a2=b2+c2
同前
2
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例: 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
MF1 MF2 F1 F2 由正弦定理： sin15 sin 75 sin 90 MF1 MF2 F1F2 2a 2c sin 75 sin15 sin 90 sin 75 sin15 sin 90
c sin 90 3 e a sin 75 sin15 3
34
椭圆中的几个最值：
x y 1.对于椭圆 2 2 1 a b 0 b a y
M
O
2 2
x
椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值 和最小值分别是 最大值为a，最小值为b.
25
新知探究
2.椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最
大值和最小值分别是什么？
y
M
O F
x
26
化为关于x的二次函数的最值问题.
2 |AB|= 1 k 2 · x1 x2） 4 x1 x2 （
=
1 1 2 · y1 y2） 4 y1 y2 （ k
（适用于任何曲线）
3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
24
新知探究
通法
9
直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点)
10
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
由方程组：
Ax+By+C=0
x2 y2 + 2 =1 2 a b
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
>0 =0 <0
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交 相切 相离 11
则l可写成：x 5 y k 0 4 4 x 5 y k 0 2 由方程组 x y2 1 25 9
o
x
消去y，得25x 2 8kx k 2 - 225 0 由 0，得64k 2 - 4 25 k 2 - 225） 0 （
15
1.直线与椭圆的位置关系
32
练习：
1.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的 垂线交椭圆于点P，若 F1PF2为等腰直角三角形， 则椭圆的离心率为 2 2 1 A. ，B. 2 2 C.2- 2， ( D ) D. 2 1
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练习：已知椭圆 x2 (m 3) y 2 m(m 0) 的离心率
17
2.弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜 率为k．
弦长公式：
1 | AB | 1 k | xA xB | 1 2 | y A yB | k
2
18
2.弦长公式
例3.已知斜率为1的直线l过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长． 的右焦点，
x2 x2 y 2 2 y 1或 1 9 9 81
分类讨论的数学思想
4
椭圆第二定义:
当点M与一个定点的距离和它 到一条定直线的距离的 比是 c 常数e （0 e 1)时, 这个点的轨迹是椭圆 , a 定点是椭圆的焦点定直线叫椭圆的准线常数e是离心率 , ,
l'
y
l
F’O
.
.
M
F
d
x
.
5
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----点、直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
6
点与椭圆的位置关系
探究
类比圆可 以吗？
点与椭圆有几种位置关系，该怎样判断呢？
x2 y2 (1)点 P(x0，y0)与椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的位置关系： a b x2 y2 0 0 点 P 在椭圆上⇔ 2＋ 2＝1； a b x2 y2 0 0 点 P 在椭圆内部⇔ 2＋ 2<1； a b x2 y2 0 0 点 P 在椭圆外部⇔ 2＋ 2>1. a b
2
1 2
x2+4y2=2
因为 ∆>0
5 x 2 4 x 1 0 ----- (1)
所以，方程（１）有两个根，
则原方程组有两组解…. 那么，相交所得的弦的弦长是多少？
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 2( x1 x2 )2 2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 6 2 5