09虚功原理和结构的位移计算--习题

位移计算公式
结构力学电子教程
9 虚功原理和结构的位移计算
（这里有两套内力状态 ：一套是产生实际应变的荷载作用的 内力，另一套是虚设力系的内力。） 各种不同结构有位移计算的简化公式。 （4）计算荷载作用下梁和刚架的位移时，可应用图乘法代 替积分计算。注意图乘的分段和叠加的技巧。 （5）温度作用引起的位移计算、应变表达式为 温度作用引起的位移计算公式 t
9.30 设支座A有给定位移x、 y 、 、试求K点的竖向位 移v、水平位移u和转角。 【解】
a
K
x
K A 1 3a
a
1
A
y
3a
v Rc (1 y 3a )
K 1 a A
1
u Rc (1 x a ) ( x a )()
A
MP
(qa 2 )
B
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9 虚功原理和结构的位移计算
9.25 求图示三铰刚架E点的水平位移和截面B的转角，设各 杆EI＝常数。 【解】
D C E
1/2
q a 1/2
C
1/2 1/2
1
A
B
a
a
1/4 1/4
A
DH
M1 (a)
B
D 1/4
(1/8)
C
1/4
1/4
A
MP
(qa 2 )
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9 虚功原理和结构的位移计算
0C 20C
20C 0C
4m
9.28 求图示刚架因温度改变引起的D点的水平位移。已知各 杆由18号工字钢制成，截面高度h=18cm，＝0.00001(1/º C) 1 。C 10C D 【解】 20C D 1 C A
6m
B
2/3
2/3 N
A
B
C
0.75
M (m)
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9 虚功原理和结构的位移计算 a C
9.24 求图示刚架C点的水平位移。 D C 1
I2
D
a
I1
A
4a / 3
q
I1
B
a
A
M
B
【解】
1/2 1/2
1
1 D
CH
C
M MP 1 dx ( ) A yC EI EI 1 1 2 2 a qa a EI1 2 3 qa 4 ( ) 3 EI1
D
1/2
C E
1/2
q
1/2
A
A
B
a
M2
a
a
1/4 1/4
1
B 1
D 1/4
(1/8)
C
1/4
1/4
A
MP
(qa 2 )
B
1 1 1 qa 2 2 B ( a 4 EI 2 2 4 3 2 qa 2 1 1 a 3 8 2 2 1 qa 2 1 a 1 ) 2 4 3 11qa 3 ( ) 48 EI
9.32 三铰刚架支座B向右移动1cm，计算C点的竖向位移1 、水平位移2 和铰C左右两截面的相对转角3。 C 【解】 1
C A
4m 4m
B
1cm
3m
A
B
2/3
1/2
C
1
A
B
1/2 3/8
2 1 Rc ( 1) 3 0.67cm( ) 1 2 Rc ( 1) 2 0.5cm( )
0
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9 虚功原理和结构的位移计算
9.10 求图示桁架结点C的水平位移，各杆EA相等。
P
C D
a
1
0
C
-1
D
A
a
B
A
N
【解】
P 0
C
-P
D
A
B
NP
NN P CH l EA (1)( P) a 2 2 2 P 2a EA (2 2 2) Pa () EA
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9 虚功原理和结构的位移计算
9 虚功原理和结构的位移计算（7 课时）
9.1 位移计算概述 9.2 虚功和虚功原理 9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式 9.4 荷载作用下的位移计算 9.5 图乘法 9.6 温度变化时的位移计算 9.7 支座移动时的位移计算 9.8 线性变形体系的互等定理 *9.9 空间刚架的位移计算公式
1 1/3m
1/3m
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9 虚功原理和结构的位移计算
9.31 静定多跨梁支座移动如图所示，计算D点的竖向位移1 、水平位移2 、转角3。
A
2cm
0.01弧度 3m 1cm
B
3m
C D
1m
【解】 1 Rc
1 ( 0.02m 1m 0.01) 3 0.0033m=0.33cm =( )
B
M MP 1 dx ( ) A yC EI EI 1 1 qa 2 a 2 ( a 4 EI 2 4 2 3 2 qa 2 a 1 a ) 3 8 2 2 3qa 4 ( ) 16 EI
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9 虚功原理和结构的位移计算 1/2
D
C
E
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9 虚功原理和结构的位移计算
（8）互等定理是另一基本原理。应理解位移互等定理及反力 互等定理在各种不同变形条件下的意义及应用。位移互等定 理可应用于静定结构和超静定结构；而反力互等定理在超静 定结构中才有用。
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9 虚功原理和结构的位移计算
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9 虚功原理和结构的位移计算
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9 虚功原理和结构的位移计算
1C 1
1 3m
C 左右 Rc
1 ( 0.01m) 3m 0.0033rad( )
A
B
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9 虚功原理和结构的位移计算
图示桁架各杆温度均匀升高 t℃，材料线膨胀系数为，试求 C 点的竖向位移。
A
B
a
C
a
a
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1
A
B 2/3
4 4
M (m)

t AM t0 AN h 10 1 20 1 0.00001 ( 6 4 4 4) 0.18 2 0.18 2 0.0000115 6 1 0.0165m 1.65cm
2/3
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9 虚功原理和结构的位移计算
( N Q 0 M )ds R k ck
（3）荷载作用下的位移计算。对弹性材料，应变表达式为

NP EA
0 k
QP GA

MP EI
KP ( N Q 0 M )ds R k ck ( NN P QQP M M P k )ds EA GA EI
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9 虚功原理和结构的位移计算
D
9.22 求C点的挠度。已知P＝9kN，q＝15kN/m，梁为18号工字 钢，I＝1660cm4，h＝18cm，E＝2.1×108kPa。 q P 【解】 A B
C
0.9m 8.1 1.5m 1.5m (16.875)
CV
D
A
B
C
12.825
M P (kN· m)
1
D
M MP 1 dx ( ) A y C EI EI 1 2 5 ( 1.5 16.875 0.75 2 EI 3 8 1 1 3 0.75 8.1 ) 2 2 11.26 11.26 EI 2.1 108 1660 108 3.23 10-3 m 3.23mm( )
B
3m
C D
1m
【解】 1 Rc
1 ( 0.02m 1m 0.01) 3 0.0033m=0.33cm =( )
1m
1/3 1 4/3
1
2 Rc 1 0.01m
0.01m= 1cm()
1 1
3 Rc
1 1 0.02m 0.01) 3m 3 0.0033弧度( ) (
课外作业
P160 － P163
第一次 9.9 、9.10
第二次 9.21 、9.24
第三次 9.22 、 9.25
第四次 9.28 、 9.30 、9.31
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9 虚功原理和结构的位移计算
2m 2m
9.8~9.9 求图示桁架结点C的竖向位移（弹性模量E＝ 2.1×108kPa）。 C 9.8 各杆截面相等， A＝30cm2。
y 3a ()
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9 虚功原理和结构的位移计算
Rc ( 1 )
K 1 A 1
( )
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9 虚功原理和结构的位移计算
9.31 静定多跨梁支座移动如图所示，计算D点的竖向位移1 、水平位移2 、转角3。
A
2cm
0.01弧度 3m 1cm
9 虚功原理和结构的位移计算
建筑力学（第二版）
张曦 主编
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9 虚功原理和结构的位移计算
3 2 习题15－3 图示桁架各杆截面均为 A 2 10 m , E 210GPa,
P 40kN, d 2m， 试求：(a) C点的竖向线位移；(b) 角ADC的 改变量 .
P P
t 0 0 0
h
M t t t ds N t0 ds M d s t N d s AM t0 AN 0 h h h
（6）支座移动在静定结构引起的位移属于刚体位移，计算 公式为 R k ck ；关键是正确计算作功的支座反力。 （7）位移计算中遇到的符号及正负号确定较多，关键是功 的正负号规定，即力与位移的乘积的正负号规定。当力与位 移方向一致时，乘积为正，反之为负；图乘法中是A与yC于杆 件同一边时，乘积为正，反之为负。
-P
-1
B
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9 虚功原理和结构的位移计算
9.21 求D点的挠度，EI＝常数。
A l/3 l/2 D C l/2 P C Pl/4 P B
ຫໍສະໝຸດ BaiduDV
【解】
A D Pl/6
B
MP
B
A
1
D 2l/9 C l/6
M
M MP 1 dx ( ) A y C EI EI 1 1 l Pl 2l 2 [ EI 2 3 6 9 3 1 l Pl 2l 2 l 1 ( ) 2 6 6 9 3 6 3 1 l Pl 2l 1 l 2 ( ) 2 6 4 9 3 6 3 1 l Pl l 2 ] 2 2 4 6 3 23 Pl 3 ( ) 1296 EI
1m
1/3 1
1/3
1
4/3 1 1/3m 1
2 Rc 1 0.01m
0.01m= 1cm()
3 Rc
1 1 0.02m 0.01) 3m 3 0.0033弧度( ) (
1 1/3m
1/3m
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9 虚功原理和结构的位移计算
A 10kN 3m C 10kN 3m 5m B
5m
【解】
A 20 10
20
20 10
N P (kN)
C
10
1
A 1 1
N
1
NN P CV l EA B (0.5 5)(10 5 103 ) 8 5 11 4 2.1 10 30 10 10 1 20 103 16 2.11011 30 104 B 1.22 103 m 1.22mm()
D A C
2P 4d
E
B
解： （1）作 N P 图
P
2P
P
2 2 P
－ 3P
2P
2 2 P
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9 虚功原理和结构的位移计算
本章小结
本章主要讨论应用虚功原理计算静定结构的位移。位移计算 一方面是计算结构位移的需要，另一方面又为超静定结构的内 力计算做准备。 （1）虚功原理是力学中的基本原理。虚功和虚功方程的特点 是力系与位移无关。所以，在有一组给定的力系时，可以虚设 一位移状态，求未知的约束力；在有一组给定的变形时，可以 虚设一力系状态，求未知的位移。 （2）位移计算的方法是单位荷载法。单位荷载法计算位移的 基本公式是 K ( Nd Qd M d ) Rk ck
0.5
0.5
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9.9 各杆截面面积分别注于杆边，单位为cm2。
20kN
(20)
5m
A
(20)
(35)
(35)
B
A
1
0
1
1
B
C
5m 5m
C 1
N
【解】
20
10
A
0
0
B
C
N P (kN)
NN P CV l EA (0.5 5)(10 5 103 ) 2.5 5 2.11011 50 104 1.33 104 m 0.133mm()