斯托克斯公式

例 1 计算曲线积分 ∫ zdx + xdy + ydz , 其中 Γ 是平面 x + y + z = 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 三角形的整个边界 , 它的正向与这个三角形上侧 z 的法向量之间符合右手规则. 的法向量之间符合右手规则.
Γ
解
按斯托克斯公式, 有 按斯托克斯公式,
1
n y
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
Dxy
x+ y= 1 2
4 = ∫∫ ( x + y + z )ds 3 Σ
3 (Q 在Σ上x + y + z = ) 2
4 3 9 = ∫∫ ds = 2 3 ∫∫ 3dxdy = . 3 2Σ 2 D
xy
三、物理意义---环流量与旋度 物理意义---环流量与旋度 --1. 环流量的定义: 环流量的定义:
Σ
Stokes公式的物理解释 公式的物理解释: 公式的物理解释
r 向 场A沿 向 曲 Γ 的 流 量 有 闭 线 环 量等 向 场 于 量 r A的旋 场通 Γ 所张 曲面 通量.(Γ 的正 通量.( 度 过 的 的 向 Σ的 符 右 法 ) 与 侧 合 手 则
例 3 设一刚体绕过原点 O 的某个 r 轴转动, 轴转动,其角速度ω = (ω 1 ,ω 2 ,ω 3 ) , 刚体上每一点处的线速度构成一个 r 线速场, 线速场,则向量 r = OM = {x , y , z}在点 M 处的线速度
设向量场 r r r r A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k r 则沿场 A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 r r Γ = ∫ A ds = ∫ Pdx + Qdy + Rdz C C r 称为向量场 A沿曲线 C按所取方向的环流量 .
r n
∑
右手法则
Γ
正向边界曲线
z
r n
Γ是有向曲面 Σ 的
∑ :z =
Γ
证明
如图
设 Σ 与平行于 z 轴的直线 相交不多于一点, 相交不多于一点 , 并 Σ 取 上侧, 上侧,有向曲线 C 为Σ的正 向边界曲线 Γ 在 xoy 的 投 影.且所围区域 D xy .
x o
f ( x, y)
y
Dxy C
轴的正向看去,取逆时针方向. 轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ为平面 x + y + z = 2 所围成的部分. 的上侧被Γ 所围成的部分. r 1 则 n= {1,1,1} 3
z
Σ
r n
o
Γ
y
x
1 , 即 cosα = cos β = cos γ = 3
1 1 1 3 3 3 ds x y z y2 z2 z2 x2 x2 y2
Γ 2
3 ydx xzdy + yz 2 dz , 其 中 Γ 是 圆 周
∫
x 2 + y 2 + z 2 = a 2 和 园 柱 面 x 2 + y 2 = ax 的 交 线 轴正向看去, (a > 0 , z ≥ 0) ,从 x 轴正向看去, 曲线为逆时针方 向 . r r 三、 求向量场 A = ( z + sin y )i ( z x cos y ) j 的旋度 .
r 其中n = {cosα,cos β ,cosγ }
Stokes公式的实质: Stokes公式的实质: 公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. 上的曲线积分之间的关系.
(当 是xoy面 平 闭 域 ) Σ 的 面 区 时
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
二、简单的应用
xy
1
根椐格林公式
∫∫
Dxy
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy = ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx c y
P P 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫cP[ x, y, f ( x, y)]dx 2 y Σ z
平面有向曲线
P P ∫∫ z dzdx y dxdy = ∫Γ P( x, y, z)dx, Σ 空间有向曲线
Σ Σ
其中 r r r ( rotA)n = rotA n R Q P R Q P ) cosα + ( ) cos β + ( =( ) cos γ y z z x x y
r r At = A n = P cos λ + Q cos + R cosν
r r ∴环流量 Γ = ∫∫ rotA ds = ∫Γ At ds
cos α cosβ cos γ ∫∫ x y z ds = Σ P Q R
= ∫∫ rotA ndS = ∫ A t ds
Σ Γ
斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
练 习 题
一、 计 算
∫
轴正向看去, x 2 + y = 2 z , z = 2 若从z 轴正向看去, 这圆周是 逆时针方向 . 二、 计 算
= ∫ (Pcos λ + Qcos + Rcos )ds ν
Γ
其中
r r Σ的单位法向量为 n = cosα i + cos β r r Γ的单位切向量为 t = cos λ i + cos
r r j + cos γ k , r r j + cosν k
斯托克斯公式的向量形式
r r r r r ∫∫ rotA ndS = ∫ΓA t ds 或∫∫ (rotA)n dS = ∫Γ At ds
L
ω
o
M
解 由力学知道点 M 的线速度为 由此可看出旋 r r r v = ω × r = ω1 ω 2 ω 3 度与旋转角速 度的关系. 度的关系 x y z r r 观察旋度 rot v = {2ω1 , 2ω2 , 2ω3} = 2ω.
r i
r j
r k
四、小结
斯托克斯公式
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz Σ r r r r P Q R
练习题答案
一、 20 π . r r r 三、 rotA = i + j . 五、12π .
π 3 二、 a . 4
四、0. 六、0.
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
..
故有结论成立. 故有结论成立
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz Σ P Q R 另一种形式
cosα cos β cosγ ∫∫ x y z ds = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz Σ P Q R
∫Байду номын сангаас
Γ
zdx + xdy + ydz
x
0
= ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
Σ
D xy
1
1
由于Σ 弦都为正， 由于Σ的法向量的三个方向余 弦都为正， 再由对称性知： 再由对称性知：
∫∫ dydz + dzdx + dxdy Σ
Dxy 如图
= 3 ∫∫ dσ
D xy
y
1
3 ∫Γ zdx + xdy + ydz = 2
一、斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯(stokes)公式 (stokes)
Γ 分 光 的 间 向 曲 Σ 理 设 为 段 滑 空 有 闭 线 是 定 , 以 Γ为 界 分 光 的 向 面,Γ 的正 与 面, 向Σ 边 的 片 滑 有 曲
侧 合 手 则 的 符 右 规 , 函 P( x, y, z),Q( x, y, z), 数
同理可证 Q Q ∫∫ x dxdy z dydz = ∫Γ Q( x, y, z)dy, Σ R R ∫∫ y dydz x dzdx = ∫Γ R( x, y, z)dz, Σ
R Q P R Q P ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy Σ
Dxy
o
1
x
例 2 计算曲线积分
∫Γ ( y
2
z )dx + ( z x )dy + ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 截立方体: 其中Γ 是平面 x + y + z = 截立方体:0 ≤ x ≤ 1, 2 0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的表面所得的截痕,若从 ox 的表面所得的截痕,
r r r i j k r 旋度 rotA = x y z P Q R
R Q r P R r Q P r = ( )i + ( ) j + ( )k. y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式
R Q P R Q P ∫∫[( y z )cosα + ( z x )cos β + ( x y )cosγ ]dS Σ
R( x, y, z)在 含 面 在 的 个 间 域 具 包 曲 Σ 内 一 空 区 内
一 连 偏 数 有 阶 续 导 , 则 公 有 式
R Q P R Q P ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy Σ
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
斯托克斯公式
r i r r 环流量 Γ = ∫ A ds = ∫∫ C x Σ P
利用stokes公式, 有 利用stokes公式, stokes公式
r j y Q
r k r ds z R
2. 旋度的定义: 旋度的定义: r r r i j k r 称向量 为向量场的旋度 ( rotA) . x y z P Q R
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
P P P P Q ∫∫ dzdx dxdy = ∫∫ ( cos β cos γ )ds y y z Σ z Σ
又 Q cos β = f y cos γ , 代入上式得
P P P P ∫∫ z dzdx y dxdy = ∫∫ ( y + z f y ) cos γds Σ Σ
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A nds 化成曲
∑
线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 x 2 y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五、求向量场 A = ( x z )i + ( x 3 + yz ) j 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六、 u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .
P P P P f y )dxdy 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫∫ ( + y z Σ z Σ y
P P P[ x , y , f ( x , y )] = + fy y y z
P P ∫∫ z dzdx y dxdy Σ = ∫∫ P[ x, y, f ( x, y)]dxdy , D y