工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置

⒉ 平面上的直线 ⑴ 过平面上的两个点。 ⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。
三、平行问题
⒈ 直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。 ⒉ 两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行于 另一个平面上的一对相交直线。
四、相交问题
⒈ 求直线与平面的交点的方法 ⑴ 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的 共有性和平面的积聚性直接求解。 ⑵ 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的 共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。 ⒉ 求两平面的交线的方法 ⑴ 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画 出交线的投影。 ⑵ 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。 （3）两一般位置平面相交：法一：用一般位置线面相交 法二：三面共点法
例1：求矩形平面P与ABC 的交线MN，并判别可见性。
p a c m
判别 可见性
A
N
M
P C
n b
B a m pH b n
c
H
a n
m c
空间及投影分析
ABC是一般位置平面， 平面 P是铅垂面，其水平投影积聚成直线 pH ，pH与abc的交点m、n 即为两 平面交线MN的水平性投影。
a
1
空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其 水平投影积聚成一个点， 故交点K的水平投影也积聚 在该点上。 作图 用面上取 点法 ① 求交点 ② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在 前；点Ⅱ位于MN上，在 后。故k 2为不可见。
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
B
M
铅垂线
C
c
b’
a
m
k
b
e
平面与平面的相对位置
一、两平面平行 若一个平面内有两条相交直线分 别与另一个平面内两条相交直线平行， 则这两个平面平行。
P A C B F E G Q
∵AB∥EF； AC∥EG ∴P∥Q
例5—3试判断两已知 平面ABC和DEF是否平行？
例5-4已知由平行两直线AB和CD给定的平面， 试过定点作一平面平行该面？
直线与平面、平面与平面的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直。
一、直线与平面平行 若平面外的一直线与平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面平行。
利用该定理：① 在平面外作一直线与平面平行
② 判断平面外直线与平面是否平行
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
有多少解？
a c m
●
n
●
k
1(2) A N C
b
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
要
点
一、各种位置平面的投影特性 ⒈ 一般位置平面
三个投影为边数相等的类似多边形——类似性。
⒉ 投影面垂直面
在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 ——积聚性。 另外两个投影类似。
⒊ 投影面平行面
在其平行的投影面上的投影反映实形 ——实形性。 另外两个投影积聚为直线。
二、平面上的点与直线
⒈ 平面上的点 一定位于平面内的某条直线上
二、两平面相交
两平面相交时要讨论的问题： ① 求两平面的交线 方法： 确定交线的两个端点。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系， 即： 判别可见性。 先讨论两平面中至少有一个处 于特殊位置的情况。
c’ e’
k’
d’
l’
b’
f’
c
a’
d
l
f
b
e
k
a
空间及投影分析： DEF为铅垂面， 在H面投影积聚成直线， 交线应在此直线上， 同时又在abc， 故交线的水平投影为kl, 再求k’l’.
如何判别？ 可通过正面投影 直观地进行判别。
二、两个一般位置平面相交
用直线与平面求交点的方法求两平面的交线
b’ a’ Sv
e’
f’ c’ Pv
m’ n’ b n m
X
d’
d a
O c f
e
小 结
重点掌握：
一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的 投影特性。 二、如何在平面上确定直线和点。 三、两平面平行的条件：一定是分别位于两平 面内的两组相交直线对应平行。 四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。 解题思路： ★空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。 ★判别可见性 尤其是如何利用重影点判别。
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●百度文库
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行
二、直线与平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平 面的共有点。 要讨论的问题： ● 求直线与平面的交点。
●
判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。 我们先讨论直线或平面中至少有一个 处于特殊位置的情况。
●
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
pH b
作图过程
例2：求矩形平面P与ABC的交线MN，并判别可见性。
p m a n c b
判别 可见性
P A a
M
B
N
C
M(n)
p b
a m(n) b
c H
空间及投影分析
c
p
作图过程
平面P和 ABC都是铅垂面，它们 的水平投影有积聚性。ab与p的交点 m(n) 即为两平面交线MN的积聚性投 影。MN为铅垂线。
例3：求矩形平面P与ABC 的交线MN，并判别可见性。
p m n a b a m n P b
c
空间及投影分析
平面P是正垂面，正面投影p积聚 成一直线； ABC是一般位置平 面。求出ABC的AC边和BC边 与平面P的交点M和N，连接MN 即得两平面的交线。
c
作 图
① 求交线 交点的正面投影m、n ② 判别可见性 能否不用重 能! 从正面投影上可看出， 影点判别？ 在交线右侧，平面ABC 在上，其水平投影可见。