高一必修一数学抽象函数计算专题练习

抽象函数f（）=f（）f（）

一．选择题（共3小题）

1．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f （y），若动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y的最大值为（）A．2﹣5B．﹣5C．2+5D．5

2．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）

A．f（x）=x B．f（x）=x3C．f（x）=（）x D．f（x）=3x

3．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）

A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x

二．解答题（共15小题）

4．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f （y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1，

（1）求证：f（1）=0；

（2）求f（）；

（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．

5．已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．

（1）求证：f（x）是偶函数；

（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．

6．定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f

（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+∞）上的递增函数

（1）求f（1），f（﹣1）的值；

（2）求证：f（﹣x）=f（x）；

（3）解关于x的不等式：．

7．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f

（y）

（1）求f（1）的值，

（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．

8．已知函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，并且当x＞0时f（x）＞1．

（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；

（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a﹣5）＜2．

9．设函数f（x）=ax2+b，其中a，b是实数．

（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；

（Ⅰ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f （x）f（y）成立．

10．函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=．

（1）求证：；

（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；并证明；

（3）若f（m）=3，求正实数m的值．

11．已知函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）

（1）求f（1），f（4）的值．

（2）如果f（x）﹣f（x﹣3）＜2，求x的取值范围．

12．定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

（1）求f（0）；

（2）求证：f（x）为奇函数；

（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣4）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

13．已知函数y=f（x）的定义域为R+，对任意x，y∈R+，有恒等式f（xy）=f（x）+f（y）；且当x＞1时，f（x）＜0．

（1）求f（1）的值；

（2）求证：当x∈R+时，恒有；

（3）求证：f（x）在（0，+∞）上为减函数；

（4）由上一小题知：f（x）是（0，+∞）上的减函数，因而f（x）的反函数f﹣1（x）存在，试根据已知恒等式猜想f﹣1（x）具有的性质，并给出证明．

14．如果函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，且f（x）为增函数，f（x•y）=f（x）+f（y）．（I）求f（1）的值；

（II）求证：；

（Ⅰ）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a﹣1）+2，求a的取值范围．

15．函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对一切x＞0，y＞0，都有=f（x）﹣f（y），

当x＞1时，有f（x）＞0．

（1）求f（1）的值；

（2）判断f（x）的单调性并证明；

（3）若f（6）=1，解不等式f（x+5）﹣f．

16．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足条件：f（xy）=f（x）f（y）对所有正实数x，y 成立，且f（2）=4，当x＞1时有f（x）＞1成立．

（Ⅰ）求f（1）和f（8）的值；

（Ⅰ）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；

（Ⅰ）解关于x的不等式：16f（）≥f（x﹣3）

17．f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，满足f（x）+f（y）=f（xy）．

（1）求证：；

（2）若f（4）=﹣4，解不等式．

18．定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且x＜0时，

f（x）＜0，f（﹣1）=﹣2

（1）求证：f（x）为奇函数；

（2）试问f（x）在x∈[﹣4，4]上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由．（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．