第四章 电路定理

3 ＋
12V －
1 2A
3A电流源作用： u(1) ( 6 3 1) 3V 9V 63
其余电源作用： i(2) (6 12) /(6 3)A 2A
u(2) 6i(2) 6 21 8V
u u(1) u(2) (9 8)V 17V
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注意 叠加方式是任意的，可以一次一个独立电
注意
①当激励只有一个时，则响应与激励成正比。 ②具有可加性。
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例1-5 RL=2 R1=1 R2=1 uS=51V，求电流 i。
21A R1 8A R1 3A R1
+
+21V– +
+ 8V –
+ 3V –
us
–
R2
R2
R2
– us'=34V 13A
5A
i i '=1A
+ RL 2V
i（＋1） 2
10V －
1 ＋
＋ ＋ u（1） 2i(1) － －
2 i (2)
1 ＋ 5A
＋ u(2)
2i (2) －
－
10V电源作用： i(1) (10 2i(1) ) /(2 1)
u(1) 1 i(1) 2i(1) 3i(1) 6V
i(1) 2A
5A电源作用： 2i(2) 1 (5 i(2) ) 2i(2) 0 i(2) 1A u(2) 2i(2) [2 (1)]V 2V
2A
–
解 采用倒推法：设 I '= 1A， 则
i uS i' uS'
即
i
uS uS'
i'
51 34
1A
1.5A
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4-2 替代定理
1.替代定理
对于给定的任意一个电路，若某一支路电压 为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电 压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik 的独立电流源，或用R=uk/ik的电阻来替代，替代 后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯 一)。
（2）等效电阻的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零
(电压源短路，电流源开路)后，所得不含独立源一 端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：
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①当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联 和－Y互换的方法计算等效电阻。
②外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）。
ai
a
N Req
电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用
于电路时，在该支路产生的电流(或电1 压)的代数和。
2 .定理的证明
应用结点法：
G1
i2
i3
G2
G3
iS1
+
+
uS2
uS3
–
–
(G2+G3)un1=G2uS2+G3uS3+iS1
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un1
G2uS2 G2 G3
G3uS3 G2 G3
iS1 G2 G3
或表示为
G1
un1 a1iS1 a2uS2 a3uS3
iS1
u u u (1)
(2)
(3)
n1
n1
n1
1
i2
i3
G2
+
uS2
–
支路电流为
i2
(un1
uS2 )G2
(
G3G2 G2 G3
)uS2
G3G2uS3 G2 G3
G2iS1 G2 G3
G3
+ uS3 –
b1iS1 b2uS2 b3uS3 i2(1) i2(2) i2(3)
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例2-6 已知: uab=0, 求电阻R 。
a
b
解 uab 0
60 25
4
0.5A
iab icd 0
用开路替代，得
ubd 20 0.5V 10V
＋
30 20
42V R 10
－
1A 40
短路替代 uac 10V
cd
uR (20 110)V 30V
R uR 30 Ω 15Ω iR 2
110V 60V10 －－
注意 替代后各支路电压和电流完全不变。
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原因替代前后KCL、KVL关系相同，其余支路的u、 i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)， 其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。 用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路
电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。
i3
(un1
uS3 )G3
( G3G2 G2 G3
)uS2
( G2G3 G2 G3
)uS 3
3
G3iS1 G2 G3
i i i (1) (2) (3)
3
3
3
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结论 结点电压和支路电流均为各电压源的电
压或电流源的电流的一次函数，均可看 成各独立电源单独作用时，产生的响应 之叠加。
4
3A ＋ 2
I
+ 2V －
0.5A
2
＋ 10V
4V －
10 10 2
－
1 + 2V －
I1
5 2
解 应求电流I，先化简电路。 应用结点法得
(
1 2
1 2
1 5)u1
10 2
2 2
6
I1 (5 2) / 2A 1.5A
R 2/1Ω 2Ω
u1 6 /1.2V 5V I (1.5 0.5)A 1A
2
3
G2
G3
+
+
uS2
–
uS2单独作用
G1
i(3) 2
i(3)
3 G3
G2 +
uS–3
uS3单独作用
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③功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为 电源的二次函数)。
④ u, i叠加时要注意各分量的参考方向。
⑤含受控源(线性)电路亦可叠加，但受控源应始 终保留。
4. 叠加定理的应用
例1-1
方法
解 根据叠加定理 i k1iS k2uS
代入实验数据：
uS
＋
－
k1 k2 2
k1 1
2k1 k2 1
k2 1
无源
i uS iS (3 5)A 2A
iS 线性 i 网络
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5.齐性原理
线性电路中，所有激励(独立电源)都增大(或 减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也 增大(或减小)同样的倍数。
(5 (5
10) 10)
10 10
A
i1
＋ 5 110V
＋ i2 5 i3 u 10 10
10A
i2 3i1 / 5 6A
i3 2i1 / 5 4A
u 10i2 60V
替代以后有
－－
替
5 代 5
i1 ＋
＋ i2
i3
i1 (110 60) / 5A 10A
i3 60 /15 4A
iR [(42 30) / 4 1]A 2A
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4-3 戴维宁定理和诺顿定理
工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电 压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电 路的其余部分就成为一个含源二端网络，可等效变 换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流 源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定 理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方 法。
3 解 用替代定理：
6
5 1
6
2
I1 4 +
+
＋
6V 3V
7V
–
－
－
4 I1
4A
2
＋
7V
4A
I1
(7 6
2 2
4 )A 4
－
15 A 2.5A
6
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例2-4 已知:uab=0, 求电阻R。
解 用替代定理：
uab 3I 3 0 I 1A
用结点法：
c
44
RR I++
aa
uC
求电压源的电流及功率。 2A
4
70V 10 +－
解 画出分电路图。
2 I
5
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2A 4
I (1)
＋ 10
4
70V 10 +－
2
5
2 I (2）
5
2A电流源作用，电桥平衡：
I (1) 0
两个简单电路
70V电压源作用：I (2) (70 /14 70 / 7)A 15A
I I (1) I (2) 15A P 70 15W 1050W
第四章 电路定理
本章重点
4-1 叠加定理 4-2 替代定理 4-3 戴维宁定理和诺顿定理 4-4 最大功率传输定理 *4-5 特勒根定理 *4-6 互易定理 *4-7 对偶原理
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重点:
熟练掌握各定理的内容、适用范围 及如何应用。
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4-1 叠加定理
1. 叠加定理在线性电路中，任一支路的电流(或
应用叠加定理使计算简化。
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例1-2 计算电压u。 3A
＋－
6 3
u
－
＋
1
6V ＋
12V －
2A
解 画出分电路图。
3A ＋－
u(1)
6 3
1 ＋
i (2)
6 － 6V ＋
＋u(2) －
3 ＋
12V －
1 2A
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3A
i (2)
＋－
＋ u(1)
6
6 3
1
－
6V
＋
＋u(2) －
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1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，
总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置
换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的
开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或
等效电阻）Req。
i a
+
Au -b
Req +
uoc -
ia + u
b
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例
a
10 10 +
+
+
Uoc
20V –
10V –
–
b
应用电源等效变换
a
2A 1A
+
5 Uoc
– b
a
Req 5 +
Uoc 15V
-
b
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例
10I +
20V –
Req 5 +
Uoc 15V -
a 应用戴维宁定理
10 +
+
Uoc
10V –
–
b
(1) 求开路电压Uoc
I 20 10 A 0.5A 20
Uoc (0.510 10)V 15V
3. 几点说明
①叠加定理只适用于线性电路。 ②一个电源作用，其余电源为零：
电压源为零 —— 短路。 电流源为零 —— 开路。
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G1 iS1
i2
i3
G2
+
= G3
+
uS2
uS3
–
–
三个电源共同作用
G1 iS1
i i (1)
(1)
2 G2 3 G3
+
iS1单独作用
G1
i i (2)
(2)
注意
①替代定理既适用于线性电路，也适用于非线 性电路。
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注意
②替代后电路必须有唯一解。
无电压源回路； 无电流源结点(含广义结点)。
2.5A
？
＋ 2 ＋ 1A +
10V 5V
5V5
－
－ ？1.5A －
③替代后其余支路及参数不能改变。
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3. 替代定理的应用
例2-2
若使
Ix
源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取 决于使分析、计算简便。
例1-3
计算电压u、电流i。
i
2 ＋
解 画出分电路图。
10V
－
i（＋1） 2
10V －
1 ＋
＋ ＋ u（1） 2i(1) －
2 i (2)
－
受控源始终保留
1 ＋ 5A
＋u
2i －
－
1 ＋ 5A
＋ u(2)
2i (2) －
－
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1 8
I,
试求该支路的替代 电阻Rx。 解 用替代定理：
3I ＋
1
1 Ix
IxI
R80x .50.5
10V－0.50I.5
– U+ 0.50.5
I 1 0.5
1 1 I
0.5
=
– U' + 0.5 0.5
+
0.5
8 – U'' +
0.5
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I 1 0.5
– U' + 0.5 0.5
1 0.5
u+ –
N
+
Req
u u' u'' uoc Reqi
ia
Req +
uoc -
+
uN
– b
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3.定理的应用
（1）开路电压uoc 的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断
开时的开路电压uoc，电压源方向与所求开路电压 方向有关。计算uoc的方法视电路形式选择前面学 过的任意方法，使易于计算。
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ik + 支 路 uk k –
+ uk –
ik
ik + uk R=uk/ik –
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2. 定理的证明
ik
A +支 uk 路
A
–k
ik
+
A uk –
+支 uk 路 –k －
uk
－
＋＋
uk
+ uk
–
证毕!
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例2-1求图示电路的支路电压和电流。
解
i1 110 /5
1I 8 – U'' +
0.5 0.5
U ' 1 I 1 1.5 I 0.5 0.1I
2.5
2.5
U '' 1.5 1 I 1 0.075I 2.5 8
U=U'+U"=(0.1-0.075)I=0.025I
Rx=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2
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例2-3 求电流I1 。
u (6 2)V 8V i [2 (1)]A 1A
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例1-4 封装好的电路如图，已知下列实验数据：
当 uS 1V, iS 1A 时，响应 i 2A 当 uS 1V, iS 2A 时，响应 i 1A
求 uS 3V, iS 5A 时，响应 i ？
研究激 励和响 应关系 的实验
a
(2) 求输入电阻Req
10 10 Req 10 10 Ω 5Ω
注意两种解法结果一致，戴维
b 宁定理更具普遍性。
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2.定理的证明
ai
a
+
A
u –
b
叠加
A
N
替代
A
+ u –
i
b
A中
a
a
独
+ u' –
+
N+
Req
u'' –
i
立 源 置
b
b
零
u' uoc
u'' Reqi
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1A
23220＋V3V
IR －
b2b200V－V－
88
a点
1 1 1 20
( 2
4)ua
4
1
I1
ua ub 8V I1 1A IR I1 1 2A
uR uc ub (20 8)V 12V
R 12 Ω 6Ω 2
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例2-5 用多大电阻替代2V电压源且不影响电路的工作？