渡河问题的数学模型解决方法

渡河问题的数学模型解决方法

内容摘要：

本文通过对1934年和2002年两次武汉抢渡长江挑战赛的资料分析，对在抢渡过程中涉及到的水流速度，人的游泳速度、方向和起终点路程的关系等因素建立了数学模型，并以此进行了几个问题的研究。分析两次比赛路线的不同对选手到达终点成功率的影响，阐述了两次的成功人数百分比有很大差异的原因。然后考虑诸多因素的复杂变化，包括水流速度的分段或线性变化等，对模型进一步优化，找出人的游速的大小和方向与水流的关系，并提出几种可行性方案。最后将模型应用到实际问题中，通过对诸如空投、宇宙飞船对接等涉及到多个速度和位移关系的设想，将模型进一步验证和推广。 通过数学模型及相关数据，可算得：

①2002年第一名的游泳路线为从起点到终点的直线路程，游泳速度的大小为v=1.54m/s ，方向为与平行河岸上游方向夹角︒6.62；一个游泳速度为1.5m/s 的人应选择的方向为与平行河岸上游方向夹角︒2.58，他的成绩大约为s 4.910；

②如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则他们无法到达终点。由于1934年和2002年两次比赛在水平方向（即水流方向）上路程的差异，计算出1934年选手的理论成功概率为81.1%，实际概率为90.9%；2002年的理论成功概率为19.3%，实际概率为18.3%，从而说明了为何两次比赛能到达终点人数的百分比有如此大的差异。最后得出能够成功到达终点的选手的条件为θ

θsin cos 0⋅≥⋅-v d v v s ③当水流速度沿离岸边距离分段变化时，游泳速度为 1.5m/s 的选手应选择的方向是与平行河岸上游方向夹角︒2.58 ，路线为从起点到终点的直线距离，预计时间为784.5s ④当水流速度沿离岸边距离呈线性变化时，人的游泳方向从垂直河岸开始逐渐向θ减小方向偏离，中间一段水流速度恒定是θ也恒定，最后一段θ逐渐增大，当到达对岸时︒90恰为　θ。由此可最终求总共经历时间约为 810s

一．基本模型建立

设水速为v 0，垂直于岸边的距离为d,平行于岸边的位移为s ，人的速度为v,出发方

向与河岸平行方向夹角为θ，整个运动时间为t ，起点至终点的直线距离为l ，如图所示：

若人要恰好从起点到达终点，则有： θ

θsin cos 0⋅==⋅-v d t v v s 二．模型假设

1．不考虑温度（气温、水温）及水中除水速外其他因素对选手速度的影响；

2．由于在实际情况中，风力对人的影响比对水的影响要小得多，而风对水的影响在水速中已经体现，因此不考虑风力对人的直接影响；

3．假设1934年和2002年两次比赛具有相同的外界条件，即具有相同的水流速度；

4．开始人以某一初速度沿固定方向向对岸游，则只要满足人刚到达对岸的地点在终点的上游，就可以认为此人能够到达终点；

5．θ的范围是]180

,0[︒，在开始时所有选手向各个方向起跳的机率相同。 三．模型分析

1．①分析2002年冠军的游泳速度的大小和方向

由于在游泳过程中水流速度，游泳速度的大小和方向始终不变，因此第一名的路线为从起点到终点的最短距离即直线距离。在这个条件下可以得出：

︒

==∴====6.62,/54.1848,1160,1000,/89.10θ　s m v s t m d m s s m v 可求得

终点: 汉阳南岸咀

起点: 武昌汉阳门

②分析v =1.5m/s 的人所应选择的游泳方向及用时计算

s ，　t s

m v m d m s s m v 9102.58/5.1,1160,1000,/89.10=︒=∴====θ可求得

2．①若游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则模型可简化为：

v

d t v s ==0

s t s m v m d m s s m v 1.529,/19.2,1160,1000,/89.10==∴===可求得 但根据我们在网上查到的资料[1]，男子800M 自由泳世界纪录为7分46秒，平均速度为1.72s m /；男子1500M 自由泳世界纪录为14分41秒，平均速度为1.70s m /.由此可以看出若游泳者始终以和岸边垂直的方向游所需的速度大于目前为止世界上人们所能达到的最大速度。显然这是不成立的，因此可以得出结论：

若游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则无法到达终点。

②由于1934年当时比赛时的水温与水流速度现已无从考评，况且根据武汉的地理及气候特点，5月1日和9月9日的气候差异不足以对选手的速度产生较大影响。所以，只考虑水速和人的游泳速度。

m

d l s l s d ： m d m l 6.4863,1160,5000222

22=-=∴=+==有　根据勾股定理有

考虑成功到达终点的概率时，我们只需研究某一合理速度。则在这一速度上两次比赛能够选择速度方向的差异决定了两次比赛选手们成功率的差异。根据题设的条件，我们假设v =1.5m/s 为所有选手的普遍速度。则在这个速度的条件下，来研究1934年和2002年两次比赛中方向选择的差异。

又因为模型假设三，若选手可以到达终点，则模型应满足的条件是：

起点: 武昌汉阳门

θ

θsin cos 0⋅≥⋅-v d v v s 1934年时：

。，：　：　

：　s

m v s m v m d m s 与理论情况基本吻合比为实际情况当年成功百分终点的理论概率为因此所有选手成功到达解不等式可推导出%9.90%100*44

40%1.81%100*1806.36.1496.1496.3/5.1,/89.1,1160,6.48630==︒︒-︒︒≤≤︒∴====θ

2002年时：

。，：　：　

：　s

m v s m v m d m s 合同样与理论情况基本吻比为实际情况当年成功百分终点的理论概率为因此所有选手成功到达解不等式可推导出%3.18%100*186

34%3.19%100*1804.232.582.584.23/5.1,/89.1,1160,10000==︒︒-︒︒≤≤︒∴====θ 由此可以得出结论，由于两年的比赛中在s 值上存在的很大差异，使得两次竞渡能够成功的理论概率存在很大差异，1934年时成功率远大于2002年时的成功率，因此两次比赛能够到达终点的人数的百分比有如此大的差别。

同时，2002年时能够成功到达终点的选手的条件即为模型的条件，即：

θ

θsin cos 0⋅≥⋅-v d v v s 3．当水流速度分段分布时，研究游泳方向的问题

由于水流速度永远只沿平行河岸方向，因此竖直方向速度永远等于θsin ⋅v ，所以人在竖直方向保持匀速直线运动

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<≤≤=米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(y y y y v

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==∴t

t t t t t t 3218.3200200960 v v

v θθ θ