积分变换第1讲47页PPT文档

j(n - m)
由此不难验证
T
2 cos nwt d t 0 -T 2
(n 1,2,3, ),
T
2 sin nwt d t 0 -T 2
(n 1,2,3, ),
T
2 sin nwt cos mwt d t 0 -T 2
(n, m 1,2,3, ),
T
2 sin nwt sin mwt d t 0 -T 2
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2] 内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函 数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利 克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1, 连续或只有有限个第一类间断点
积分变换
傅里叶(Fourier)级数展开
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要 和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重 复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
-T
m w t sin
nwtd t
m 1
2
bn
T
2 sin
-T 2
2 nwtd t
bn
T 2
即
2 bn T
T
2 -T
f T ( t ) sin
2
nwtd t
最后可得:
fT
(t)
a0 2
(an
n 1
cos mwt
bn
sin
nwt)
(1.1)
其中
2 a0 T
cosnwt
T
2 cos2 nwtdt
T 2
1cos2nwt
dt
T
-T 2
-T 2
2
2
sinnwt
T
2 sin2 nwtdt
T 2
1-cos2nwt
dt
T
-T 2
-T 2
2
2
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表 示为三角级数的形式如下:
fT (t)
a0 2
(an cos nwt bn sin nwt)
T
[f,g] 2 f(t)g(t)dt -T 2
一个函数f(t)的长度为
T
|| f || [ f , f ] 2 f 2 ( t ) d t -T 2
而许瓦兹不等式成立
:
[f,g] f g
T
即 2 f ( t ) g ( t ) d t -T 2
这样可令
T
T
2 f 2 ( t ) d t 2 g 2 ( t ) d t
(n, m 1,2,3, , n m),
T
2 cos nwt cos mwt d t 0 (n, m 1,2,3, , n m), -T 2
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...的函数
的长度计算如下:
T
1 1 2 2 dt T -T 2
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全 体也构成一个集合, 这个集合在通常的函数加 法和数乘运算上也构成一个线性空间V, 此空 间的向量就是函数, 线性空间的一切理论在此 空间上仍然成立. 更进一步地也可以在此线性 空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素 (即函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交 的概念. 两个函数f和g的内积定义为:
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可 以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波
2 T
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
T
2 -T
f T ( t ) sin
2
nwtd t
T 2
a0
sin
2 - T 2
nwtd t
T
am
2 cos
-T
m w t sin
nwtd t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
-T
-T
2
2
cos [ f , g ] 是 f , g 间的夹角余弦 , f g
则如果 [ f , g ] 0 称为 f 与 g 正交 .
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系
1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ...,
cos nwt, sin nwt, ... 是两两正交的, 其中w=2p/T, 这是因为 cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数ejnwt
的线性组合. 当nm时,
p T 2
ejnwtejmwtdt
T
pej(n-m)d
0
-T 2
2 -p
其中 wt2Tpt,则d2pTdt,dt2Tpd
这是因为
p e j(n-m) d
1
p
e j(n-m)
-p
j(n - m)
-p
1
[ej(n-m)p - e- j(n-m)p ]
j(n - m)
1
e- j(n-m)p [ej2(n-m)p -1] 0
2, 只有有限个极值点
这两个条件实际上就是要保证函数是可积函 数.
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
不满足狄氏条件的例: f (t) tgt
存在第二类间断点
f (t) sin(1) t
在靠近0处存在着无限多个极点值.
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变 化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函 数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函 数来近似一些函数, 使得思维简单一些.
n 1
(1.1)
为求出 a0 , 计算[ fT ,1],即
T 2 -T 2
fT (t) d t
T 2
a0
dt
2 -T 2
(an
n 1
T
2 -T
cos
nwt
d
t
bn
2
T
2 sin nwt d t)
-T 2
a0 T 2
即
a0
2 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
T 2
a0
cos
2 - T 2
nห้องสมุดไป่ตู้td t
T
am
2 cos
-T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
a n
T
2 cos
-T 2
2 nwt d t
T an 2
即
an