互为反函数的函数图象间的关系

yx
∴函数y=3x-2(x∈R) 的反函数为 x2 -2 y=
1 -1 -1 -2 1
y
x2 3
x
x∈R
3
例3.求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画
出原来的函数和它的反函数的图象.
解： y x x 3 y
3
y
yx
1
3
yx
y x ( x R)
3
y x
3
1
x
重要结论:
也很快回过神来，因为这事情在古代不是经常会发生的吗？只是我现在挺为这仁玉担心的，这长得还是女高中生的样子就要去 嫁人，而且想必他们没见过面，那就是直接被断送了自己一生的幸福啊。于是，我又偷偷瞧了瞧仁玉的神情。但是我却发现， 仁玉的脸上没有丝毫的不愿与焦虑，有的只是一脸的平静。仁老夫人接着说：“我知道这是对你的不公，但是为了我们仁家着 想，我也必须这样做。虽说傅家是当朝新生的官宦大家，但是他们却是唯一一个没有迫害我们仁家的，想必傅大老爷是个懂世 故的好人，你嫁过去也许不会太受苦受气了。”仁玉没有多说，只是很尊敬地回答道：“是的，奶奶，我会照您的意思嫁去傅 家的。”说罢，仁玉再次跪下，对着仁老夫人磕起头来。我看在眼里，觉得这举动有点奇怪，但我猜不准这仁玉心里想的是什 么，因为就我这现代人的思想认为，这可是非得反抗的事情才是。但是对于我不了解的人，我也不适宜妄加定论，更不能随意 去改变他们什么。也许我就是一个这样的人，不热血，怕惹事，最好遇见什么事都做一个观众。仁玉起身作揖，样子像是要出 来了。我见状，赶紧溜走，回到了一开始所在的破木屋里。心想，知道了这仁家的状况之后，现在更是纠结。我本人就很怕事， 来到陌生的地方，处在陌生的时代，心里害怕之余还要努力去适应这我并不向往的古人生活，更要紧的是还遇上了我生平最讨 厌的逼嫁事件，这可愁死我了，究竟我有何用，到了古代还是一个软蛋，我该怎么办啊？想着想着，不知不觉就到了傍晚。仁 轩端着一些看起来简简单单的饭菜来到这破屋子里，看样子是给我送饭来了。我见状，连忙去帮忙端着。仁轩说到：“哥哥， 你吃饭吧。这是姐姐自己做的，姐姐说，过门也是客，不能让你饿肚子。”听罢，心中尤生一股感激之情。然后又开始感叹到 古代的人真有人情味啊。其实，我的肚子早就饿得不行了，碍于面子关系，我真不敢去向他们要吃的。这饭菜看起来真是没有 卖相，也许是因为这是穷人家的缘故吧？细看碗里的米饭，发现和二十一世纪的米粒有些不同；这碗里的米粒都是又大又圆的， 而且吃起来饭香味特弄，这应该是纯天然种植，不含转基因的米饭吧！我一边吃着饭菜，一边又打量起这仁轩。仁轩此时正坐 在我隔壁的椅子上，双眼在时不时地四处张望，身子也在蠢蠢欲动，好像有点不耐烦。见状，我便忍不住向他问道：“小弟弟， 你是叫仁轩吧？”“嗯，是的。”仁轩突然变得一本正经地回答道。我被他态度的突然改变又小惊了一番，缓了下神，又接着 问道：“呃，仁轩弟弟，你好像很着急的样子，你有事要去做吗？”也许我真得问对了，仁轩的神情又变了。这时，他有点结 巴地答道：“没有啦，只是，只是”“只是什
3x+2 例. 求函数 y= 的值域. x-2 ax+b 例. 求函数 y= 的值域. cx+d
ax+b a 重要结论 : y= 的值域为 y . cx+d c
互为反函数的
函数图象间的关系
例2. 求函数y=3x-2的反函数,并画 出原函数和反函数的图象.
解 ∵y=3x-2
y2 ∴x= 3
y y=3x-2
B (0, 2)
小 结
1、不是所有的函数都有反函数，只有 一一映射构成的函数才有反函数. 2、原函数和反函数的关系 原函数和其反函数的图象关于 直线y=x对称， 若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则它们互为反函数.
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函数y=f(x)的图象和它的反函数 y=f-1(x)的图象 关于直线y=x对称。
应用思路：
已知函数的图像利用对称性可以 画出它的反函数的图像。
y=3x-2
yx
y
· · · ·
-2 -1 B (2,0)-1 -2
2 (0, ) A 1 3
ห้องสมุดไป่ตู้
y
x2 3
2 A ( , 0) 1 3
x
原函数过 M(a,b), 则 y=f-1(x)过 M´(b,a).
反函数与原函数的 三要素之间的关系
求反函数的方法步骤：
1. 求原函数的值域；即求出反函数的
定义域；
2. 由 y = f ( x ) 反解出 x = f －1 ( y )； 即把 x 用 y 表 示出来；
3. 将 x = f －1 ( y ) 改写成
y = f －1 ( x )，并写出反函数的 定义
域; 即对调 x = f －1 ( y ) 中的 x、y.
定 理:
反函数的定义域是原 函数的值域.
例. 已知函数（ f x） x （ 1 x 2）
2
求出f （4）的值。
1
解：令x 1 4，解之得：x 5 又 x 2， x 5.
2
2x-1 -1 3 例. 若函数f(x)= , f ( )的值为多少? 3x+1 7