图论讲义
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数学建模与数学实验
图论
(Graph Theory)
第一部分
引言
两个有趣的问题
• 1.任意一群人中（人数不小于2），总有两人在该 人群中认识相同的朋友数
• 2.在一次象棋比赛中，任意两名选手间至多下一 盘，试证总存在两名选手，他们下过的盘数相同
• 图论是组合数学的一个分支，也是近几十 年来最活跃的数学分支之一 到目前为止， 它已有二百六十多年的发展历史。
第二部分
基本定义
图的定义
• 生活中，人们常常需要考虑一些对象之间的某种特定的关 系。 如某区域内，两城市之间有无交通线 一群人中，两个人之间相识或不相识
• 这种关系是对称的，即如果甲对于乙有某种关系，则乙对 于甲也有这种关系.可以用一个图形来描述给定对象之间的 某个关系： 我们用平面上的点分别表示这些对象，若对象甲和乙 有关系，就用一条线连接表示甲和乙的两个点.这种由一 些点与连接其中某些点对的线所构成的图形就是图论中所 研究的图.
Hamilton问题
• Hamilton问题是图论中一直悬而未解的一大问 题 。 它 起 源 于 1856 年 ， 当 时 英 国 数 学 家 Hamilton 设 计 了 一 种 名 为 周 游 世 界 的 游 戏 。 他 在一个实心的正十二面体的二十个顶点上标以世 界上著名的二十座城市的名字，要求游戏者沿十 二面体的棱从一个城市出发，经过每座城市恰好 一次，然后返回到出发点，即“绕行世界”。
• 有向图: 一个有向图是指一个有序三元组 (V(G),A(D), ),其中V(G)是一个非空有限集，A(D) 是与Ｖ(G)不相交的有限集合,是关联函数，它使 A(D)中每一元素对应于V(G)中的有序元素对（可 以相同）
四色问题
德·摩尔根致哈密顿的信（1852年10月23日） 我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚
了了的事实。他说如果任意划分一 个图形并给各部分着上颜色，使任 何具有公共边界的部分颜色不同， 那么需要且仅需要四种颜色就够了 。下图是需要四种颜色的例子 （图1）。 ……
• 为了能够迅速地区分一个平面地图或球面地图上的各个国 家（假设这些国家在地图上都是连通的），需要用若干种 颜色对这些国家着色，使得具有公共边界的两个国家涂染 不同的颜色.那么，要保证每张地图都能如此着色，最少 需要多少种颜色？这个问题是1850年被一名刚毕业的大 学生Francis Guthrie首先提出的，直到1976年，四色问 题被美国Illinois大学的K.Appel和W.Haken用计算机证 明是正确的，这个证明令数学界震惊，它用了1200多小 时，作出100亿个独立的逻辑判断.尽管有了这个机器证明， 但它仍然是数学上未解决的问题之一 .
• 图/Graph：可直观地表示离散对象之 间的相互关系，研究它们的共性和特 性，以便解决具体问题。
Fra Baidu bibliotek
• 无向图（简称图）: 一个图是指一个有序三元组 (V(G),E(G), ),其中V(G)是一个非空有限集，Ｅ(G) 是与Ｖ(G)不相交的有限集合,是关联函数，它使 E(G)中每一元素对应于V(G)中的无序元素对（可 以相同）
图论发展的第二阶段
十九世纪中叶到二十世纪中叶
在此阶段，图论问题大量出现.如著名的四色问题、 Hamilton问题以及图的可平面问题等。
Cayley把树应用于化学领域，Kirchhoff(基尔霍夫)用 树去研究电网络的分析问题. 虽然这一阶段里21岁的 C.Kirchhoff在1847年从电网络问题，A.Cayley在 1857年从计算有机化学的同分异构等不止一次地建立 起图论的基本概念，但是直到1936年D.König发表的经 典著作<<有限图与无限图理论>>才有了图论的第一本 专著.
• 正十二面体的顶点与棱的关系可以用平面上的图 表示，把正十二面体的顶点与棱分别对应图的顶 点与边，就得到正十二面体图。
正十二面体 Peterson图
图论发展的第三阶段
• 二十世纪中叶以后 • 由于生产管理、军事、交通运输、计算机网络、计算机科
学、数字通讯、线性规划、运筹学等方面提出的实际问题 的需要，特别是许多离散性问题的出现、刺激和推动，以 及由于有了大型电子计算机，而使大规模问题的求解成为 可能，图论及其应用的研究得到了飞速的发展.这个阶段 的开创性工作是以Ford和Fulkerson建立的网络流理论为 代表的.图论与其它学科的相互渗透，以及图论在生产实 际中广泛地应用，都使图论的发展更加充满活力.
关键路径问题
一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心,小
至组装一台机床,一架电视机, 都要包括许多工序.这些工 序相互约束,只有在某些工序完成之后, 一个工序才能开 始. 即它们之间存在完成的先后次序关系,一般认为这些 关系是预知的, 而且也能够预计完成每个工序所需要的 时间.
这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多少时间才 能够完成整个工程项目, 影响工程进度的要害工序是哪 几个？
图论发展的萌芽阶段
• 十八世纪中叶到十九世纪中叶.该时期的图 论问题多数是围绕游戏而产生的，其代表 性 的 工 作 就 是 Königsberg 七 桥 问 题 .1736 年L.Euler发表了他著名的Königsberg（格 尼斯堡）七桥问题的论文，这是图论的第 一篇文章.
• Königsberg七桥位于前苏联的加里宁格勒， 历史上曾是德国东普鲁士省的省会，霹雷 格尔横穿城堡，河中有两个小岛B与C，并 有七座桥连接岛与河岸及岛与岛（见图）。 是否存在一种走发，从四块陆地中的任意 一块开始，通过每一座桥恰好一次再回到 起点。这就是著名的Königsberg七桥问题， 即一笔画问题；也是图论的起源。
旅行商问题（TSP）
• 给出城市之间的距离，要求一位推销员从某一城 市出发，周游每个城市一次，然后回到出发的城 市，并且选的路径最短。(Traveling Salesman Problem)
• 这是一个图论优化问题，最早由美国数学家威特 涅于1934年在普林斯顿一次讨论班上提出。 1954年几位美国数学家写了第一篇论文，用线性 方程的方法解决了49个城市的旅行售货员问题。 后来也有不少论文讨论这个问题，在理论和应用 上都很有价值。
图论
(Graph Theory)
第一部分
引言
两个有趣的问题
• 1.任意一群人中（人数不小于2），总有两人在该 人群中认识相同的朋友数
• 2.在一次象棋比赛中，任意两名选手间至多下一 盘，试证总存在两名选手，他们下过的盘数相同
• 图论是组合数学的一个分支，也是近几十 年来最活跃的数学分支之一 到目前为止， 它已有二百六十多年的发展历史。
第二部分
基本定义
图的定义
• 生活中，人们常常需要考虑一些对象之间的某种特定的关 系。 如某区域内，两城市之间有无交通线 一群人中，两个人之间相识或不相识
• 这种关系是对称的，即如果甲对于乙有某种关系，则乙对 于甲也有这种关系.可以用一个图形来描述给定对象之间的 某个关系： 我们用平面上的点分别表示这些对象，若对象甲和乙 有关系，就用一条线连接表示甲和乙的两个点.这种由一 些点与连接其中某些点对的线所构成的图形就是图论中所 研究的图.
Hamilton问题
• Hamilton问题是图论中一直悬而未解的一大问 题 。 它 起 源 于 1856 年 ， 当 时 英 国 数 学 家 Hamilton 设 计 了 一 种 名 为 周 游 世 界 的 游 戏 。 他 在一个实心的正十二面体的二十个顶点上标以世 界上著名的二十座城市的名字，要求游戏者沿十 二面体的棱从一个城市出发，经过每座城市恰好 一次，然后返回到出发点，即“绕行世界”。
• 有向图: 一个有向图是指一个有序三元组 (V(G),A(D), ),其中V(G)是一个非空有限集，A(D) 是与Ｖ(G)不相交的有限集合,是关联函数，它使 A(D)中每一元素对应于V(G)中的有序元素对（可 以相同）
四色问题
德·摩尔根致哈密顿的信（1852年10月23日） 我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚
了了的事实。他说如果任意划分一 个图形并给各部分着上颜色，使任 何具有公共边界的部分颜色不同， 那么需要且仅需要四种颜色就够了 。下图是需要四种颜色的例子 （图1）。 ……
• 为了能够迅速地区分一个平面地图或球面地图上的各个国 家（假设这些国家在地图上都是连通的），需要用若干种 颜色对这些国家着色，使得具有公共边界的两个国家涂染 不同的颜色.那么，要保证每张地图都能如此着色，最少 需要多少种颜色？这个问题是1850年被一名刚毕业的大 学生Francis Guthrie首先提出的，直到1976年，四色问 题被美国Illinois大学的K.Appel和W.Haken用计算机证 明是正确的，这个证明令数学界震惊，它用了1200多小 时，作出100亿个独立的逻辑判断.尽管有了这个机器证明， 但它仍然是数学上未解决的问题之一 .
• 图/Graph：可直观地表示离散对象之 间的相互关系，研究它们的共性和特 性，以便解决具体问题。
Fra Baidu bibliotek
• 无向图（简称图）: 一个图是指一个有序三元组 (V(G),E(G), ),其中V(G)是一个非空有限集，Ｅ(G) 是与Ｖ(G)不相交的有限集合,是关联函数，它使 E(G)中每一元素对应于V(G)中的无序元素对（可 以相同）
图论发展的第二阶段
十九世纪中叶到二十世纪中叶
在此阶段，图论问题大量出现.如著名的四色问题、 Hamilton问题以及图的可平面问题等。
Cayley把树应用于化学领域，Kirchhoff(基尔霍夫)用 树去研究电网络的分析问题. 虽然这一阶段里21岁的 C.Kirchhoff在1847年从电网络问题，A.Cayley在 1857年从计算有机化学的同分异构等不止一次地建立 起图论的基本概念，但是直到1936年D.König发表的经 典著作<<有限图与无限图理论>>才有了图论的第一本 专著.
• 正十二面体的顶点与棱的关系可以用平面上的图 表示，把正十二面体的顶点与棱分别对应图的顶 点与边，就得到正十二面体图。
正十二面体 Peterson图
图论发展的第三阶段
• 二十世纪中叶以后 • 由于生产管理、军事、交通运输、计算机网络、计算机科
学、数字通讯、线性规划、运筹学等方面提出的实际问题 的需要，特别是许多离散性问题的出现、刺激和推动，以 及由于有了大型电子计算机，而使大规模问题的求解成为 可能，图论及其应用的研究得到了飞速的发展.这个阶段 的开创性工作是以Ford和Fulkerson建立的网络流理论为 代表的.图论与其它学科的相互渗透，以及图论在生产实 际中广泛地应用，都使图论的发展更加充满活力.
关键路径问题
一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心,小
至组装一台机床,一架电视机, 都要包括许多工序.这些工 序相互约束,只有在某些工序完成之后, 一个工序才能开 始. 即它们之间存在完成的先后次序关系,一般认为这些 关系是预知的, 而且也能够预计完成每个工序所需要的 时间.
这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多少时间才 能够完成整个工程项目, 影响工程进度的要害工序是哪 几个？
图论发展的萌芽阶段
• 十八世纪中叶到十九世纪中叶.该时期的图 论问题多数是围绕游戏而产生的，其代表 性 的 工 作 就 是 Königsberg 七 桥 问 题 .1736 年L.Euler发表了他著名的Königsberg（格 尼斯堡）七桥问题的论文，这是图论的第 一篇文章.
• Königsberg七桥位于前苏联的加里宁格勒， 历史上曾是德国东普鲁士省的省会，霹雷 格尔横穿城堡，河中有两个小岛B与C，并 有七座桥连接岛与河岸及岛与岛（见图）。 是否存在一种走发，从四块陆地中的任意 一块开始，通过每一座桥恰好一次再回到 起点。这就是著名的Königsberg七桥问题， 即一笔画问题；也是图论的起源。
旅行商问题（TSP）
• 给出城市之间的距离，要求一位推销员从某一城 市出发，周游每个城市一次，然后回到出发的城 市，并且选的路径最短。(Traveling Salesman Problem)
• 这是一个图论优化问题，最早由美国数学家威特 涅于1934年在普林斯顿一次讨论班上提出。 1954年几位美国数学家写了第一篇论文，用线性 方程的方法解决了49个城市的旅行售货员问题。 后来也有不少论文讨论这个问题，在理论和应用 上都很有价值。