第29物理竞赛复赛模拟赛题第5套答案及评分标准

（双曲线线上点到两焦点距离之差不变）
第 29 届复赛模拟赛题 第五套
3
1 1 | AA' | cos AA'M=|A'M|= | AH | cos AA'H |AA'| e e 1 ∴ sin sin i e
2 v0
1 ∴ e
2 hq 0m
v0
第三题（20 分） 空间中有沿着 z 方向的磁场，磁场大小随着时间和空间变化，满足 B B0 cos(t kx) 。一个桌 面在 z 0 平面上，平面上有一个沿着 x-y 方向正放的线框，线框边长为 l ，总电阻为 R 。 （1）假设线框相对于桌面静止，线圈的左端位于 x 0 的位置，求出线框中电动势随着时间的变化关 系。 （2）若线框质量为 m ，摩擦系数为 ，线框是否可能相对于桌面沿着 x 方向做匀速直线运动？如果 可能求出参数之间应当满足的条件，如果不可以，写明理由。 （以下不是考题：找到三个这样的线框，沿着 x 轴发成一排，相邻两个之间用长度为 l ' 的绝缘木棒连 接，问这三个线框是否可能一起做匀速直线运动，如果可以求出各参数应当满足条件，如果不可以写 明理由。 ）
设末态 m 速度为 vm ，末态 M 速度为 vM 由动量守恒， mvm MvM mv0
kQq 1 2 1 2 1 2 由能量守恒， mv0 mvm MvM 2 2 2 R
解得： vm
mv0 2kQq(m M ) M 2 （正根、负根舍去一个，或者不舍去均给分） v0 mM mM RmM （2）电荷全部到达外表面后：
【解】 ：
kQ 2 kq 2 2R 2r kQ kq kQ kq 末态 Q 电势为 uQ ， q 电势为 uq R R R r
（1）初态电势能为 E1
第 29 届复赛模拟赛题 第五套
5
1 ∴末态能量 E2 (uQ Q u1q) 2
1 kQ 1 kq 2 kQq 2 R 2 r R kQq ∴动能减少为 E R
两体问题能量等于 E0 ' Ek E p
由于两体问题动能等于原题体系质心动能，两体问题势能等于原体系势能 所以 E0 E0 '
4G 2 m5 （10 分） 3L0 2
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（2） 对于 A 1 和 B 构成体系，当相对质心动能为 Ek ' ，相对质心角动量为 L ' ，这也等于两体问题的 动能和角动量。 可以证明当角动量一定时，圆轨道能量最低。 （4 分） 利用第一问结论
v0


h

（2）将电偶极层弯成离心率为 e 的双曲面形状，左边为正电荷，两个焦点沿着 x 轴方向，要求所有平 行于与 x 轴方向入射的粒子都能汇交与焦点，则粒子速度，电偶极层厚度，电荷密度之间应当满足什 么关系？ 【解】 ： 数学附录：双曲线方程，
x2 y 2 c a 2 b2 ， ，双曲线上一点到焦点的距离与到准 1 e a 2 b2 a a
2
由沿面的切线方向动量守恒： v0 sin v1 sin i ∴ sin i sin
v0 2 hq v 0m
2 0
（10 分）
（2）经过定性分析，只能是经过减速度后汇交于另一支的焦点。
由于本题已知双曲线能将粒子汇聚于焦点，则只需要通过特殊值验算参数见关系即可。 最简单的验算位置在距离 x 轴很远的地方，即在渐近线上。
x2 y 2 1 a 2 b2
考虑两个相邻的入射轨迹 PA 和 PA' ，作 AM P'A' 于 M ； A'N AF1 于 N 由双曲线第二定义（准线定义）得：
1 |A'M|= | AN | e
作 A'H AF2 于 H ，有 |AM|=|AH| 由双曲线性质 | AF 1 ||F 2 A | 2a ∴ MAA' 与 HA'A 中
x y 。 a b
线的距离之比为 e ，双曲线的渐近线为
y
F1
F2
x
（1）由高斯定理 电场 E ，电势差 U Eh h 0 0
1 2 1 由能量守恒，末态初速度 v1 满足： mv0 Uq mv12 2 2
2 解得： v1 v0
2 hq 0m
第 29 届复赛模拟赛题 第五套
人类的第一颗人造卫星绕地飞行的时候，地面上的观察者测量卫星发出的光信号频率。纵轴为信号频 率，单位为赫兹；横轴为测量时间，单位为分钟。光速为 c 2.998 108 m / s 。 （2）请由此图估算卫星相对于观察者的速度。 （3）请由此图估算卫星距离观察者的最近距离。
第 29 届复赛模拟赛题 第五套
y
x
y
x
【解】 ： （1）变到以速度 v

R
的参照系中
对于线圈回路的总电动势 不随参照系变化而变化（虽然动生和感生电动势分别可能发生变化） 此系中 B B0 cos(kx) 左杆 x1 vt ，右杆 x2 vt l 左杆 1 B0 cos(vtk )lv 向上 右杆 2 B0 cos(vtk kl )lv 向上 逆时针为正，回路电动势
第 29 届复赛模拟赛题 第五套 答案及评分标准
满分 160 分 第一题（20 分） （1）如图 4 根轻杆之间铰接，左端铰接在墙上， A0 端挂有重物 P 。求出 A1 , B1 端和墙之间的作 用力。
B1
B0
A0 A1
【解】 ： 对 B0 和 A0 点做力矢量和为零得到 B1 对墙拉力为 P ， A1 点对象水平压力为 P ，竖直压力为 P （6 分） （2）如图将上述结构复制 n 份，铰接起来，分别挂有重物 P ， P / 2 ，…， P / 2 够大的时候，墙上两个端点与墙之间的相互作用力。
（1）求出当金属球进入球壳后达到球心时，金属球的速度为多少？ （2）金属球与球壳发生完全非弹性碰撞后连为一体，求整个过程中的发热 。 （ 以 下 不 是 试 题 ： 求 出 能 够 让 金 属 球 打 入 球 壳 所 需 的 最 小 速 度 v0 。 仔 细 想 哦 。 答 案 得 到
v0
2kqQ(m M ) 的同学回去面壁） RmM
n 1
P
。求出当 n 足
【解】 ： 将右方所有支架加重物视为一个整体。 以 An 为支点，写力矩平衡方程，令 Bn 对墙的拉力为 F 有：
Fl Pl P P P 2l 2 3l 3 4l ... 4Pl （乘以 2 之后错位相减） 2 2 2
F 4P 对整理合外力等于零得到：
2m m 2m 2m m 3
相对速度为 v0 ，相对距离为 l ，两体问题角动量等于原体系质心系角动量
L v0l
由牛顿第二定律
v0 2 G 2m m G (m 2m) l l2 l2 解得

l
3L2 4Gm3
G 2m m 4G 2 m5 2l 3L02
6
（好吧..我承认用了一道台湾的赛题，不过大陆同学应该作过的人不多，将就做吧）
v

S
【解】 ： （1） 如图，初态距离为 l ，发出信号， t1
l 到达 P 点 u l' u
P
过 t 后，距离为 l ' l v cost ，信号到达时刻为 t2 t
v 接收时间间隔 t ' t2 t1 t (1 cos ) u
第四题（20 分） 一个金属球壳，半径为 R ，质量为 M ，带电量为 Q ，初始时刻自由的静止在空间中。球壳的一 端有一个小洞。 球心与小洞的连线方向视为轴线方向。 在轴线上很远的地方有一个半径为 r 的金属球， 质量为 m ，带电量为 q ，以初速度 v0 向着球心飞去。 （假设飞行速度很慢，电荷产生电场可以拿静电 力公式计算，金属球壳外表面导电性能良好，不考虑电磁辐射）
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注意应当带入的是质心角动量，而不是 A1 相对 B 角动量，差两倍！

R
2 2 B0 l (v v0 )2 {cos[(v v0 )tk ] cos[(v v0 )tk kl ]}2 R
安培力 F B左 Il B右 Il
显然 F 与 t 有关只有 v v0 ，然后这会导致 F 0 ∴不可能 （10 分）
1 1 2 （不是考题部分） l l ' (n ) (n ) ，类似三相交流电。 3 3 k
v v f 做小量近似有 ( ) ，则有 v 7.12 103 m / s c c f
（3）读出图中中间段的的斜率 k 8.25s 2
v

当卫星飞过头顶时，经过 t 后，角度变化为
vt ， h 为高度 h
第 29 届复赛模拟赛题 第五套
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频率变化 f f 解得： h
所以频率为
f 1 v f 0 1 cos u
（2） f max 2.000552 107 Hz
f min 2.000457 107 Hz
初态很远到末态很远处频率差为
f max f min f 4.75 105 ( f max f min ) / 2 f
1 此时入射角为 sin i ，出射角为 sin 1 （很远，所以到焦点和原点几乎是一条线） e
带入第一问方程得到（注意为减速） ：
2 v0
1 ∴ e
2 hq 0m
v0
（10 分） 解毕
（以下不是考题：证明第二问的双曲线能将粒子汇聚到焦点） （3）以下不是考题部分： 令曲线方程为
电势能改变： E 由能量守恒得到： ∴
k (Q q)2 kQ 2 kq 2 2R 2R 2r
1 Mm 2 k (Q q)2 kQ 2 kq 2 v0 2 mM 2R 2R 2r
第五题（20 分） 如图所示，一个信号源 S 以恒定的速度 v 向 x 正方向运动。信号在空中传播的速度为 u。信号源 本身的频率为 f 0 。在地面上的静止的观察者 P 所接受到的信号频率为 f 。在信号源的飞行轨迹上，O 点位最靠近 P 的点。以 O 原点建立坐标系。 f0 （1）证明在信号源距离观察者足够远的时候，有 f v cos 1 u
v(sin ) v 2 t f c hc
fv 2 4.1 105 m kc 正负 20% 均视为正确，用曲线回归或者取多个点求平均的方法均视为正确。
第六题（18 分） 一个质量为 2m 的星体 A 和质量为 m 的星体 B ，绕着它们的质心分别做圆周运动。在质心系中观 察发现体系总角动量为 L （1）求体系的总能量 E0 （2） A 发生爆炸成为两个质量为 m 的星体 A 1 ， A 2 ，爆炸瞬间体系总机械能增加了 E ，之后经历复 杂的三体运动（以下省略刘慈欣写的《三体》）最后 A 1 和 B 相互环绕着飞行， A 2 与二者远离。已知 这时候以 A1 为参照系 B 的角动量为 L0 以 A1 和 B 的质心为参照系，A1 和 B 构成的系统的能量最小值 Emin 为多少？这会对 E 有什么限制？ 【解】 ： （1） 考虑两体问题折合质量做法， 2m 与 m 的折合质量为
An 对墙水平压力位 4 P ，竖直方向压力为 P
P P ... 2P 2 22
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第二题（20 分） 间距为 h ， 叫做电偶极层。 一个电量为 q 0 ， 空间中有两层很薄的电荷， 电荷密度为 ， h 很小， 质量为 m 的点电荷，只能和电偶极层间发生静电相互作用（而不会碰撞） 。 （1）粒子以速度 v0 ，角度 ，入射电偶极层，出射方向 i 。求出 sin i 和 sin 之间的关系。
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1 2 B0lv[cos(vtk ) cos(vtk kl )] 其中 vk
（10 分）
在原系中积分计算磁通量再对时间求导数方法也给全分。 （2） 设直线运动速为 v0 同第一问有： B0l (v v0 ){cos[(v v0 )tk ] cos[(v v0 )tk kl ]} 又电流 I