得闭环系统状态方程
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rankWO rank[C CF CF n1 ]T n
6
(1)式(6-8)代数方程组一定是n维的。 (2)令k=n-1，则应有 其中可观阵
WO [C CF CF n1 ]T
6.1.3 可控性及可观性某些问题的说明
1. 系统组成部份
S1:可控可观部分 S2:不可控及不可观部分 S3:可控不可观部分 S4:可观不可控部分。
（1）x是n维向量，所以(6-3)必须是n维线性方程，故N=n。 （2）必须满足： N 1 N -2
rankWR rank[F
G F
GG]=n
依式(6-3)可得允许控制
-1 [u(0) u(1)u(n 1)]T WR [x(N ) F N x(0)]
3
推导离散系统可控及可达应满足的条件
x(k 1) Fx(k )
y(k ) Cx (k )
(6-6)
5
6.1.2 可观性
离散系统：
x(k 1) Fx(k )
y(k ) Cx(k )
(6-6)
• 可观性定义：
– 对式(6-6)所示系统，如果可以利用系统输出，在有限的时间NT 内确定系统的初始状态x(0) ，则称该系统是可观的。
N i 0 N 1
为使 u(0), u(1),, u( N 1) 唯一存在，应满足下述充分必要条件：
u(0) u(1) N N 1 N 2 x ( N ) F x (0) [ F G F G G ] u( N 1)
(6-3)
2. 可控性条件
u(0) u(1) N N 1 N 2 x ( N ) F x (0) [ F G F G G ] u( N 1)
(6-3)
F N x(0) [F N 1G F N 2G G][u(0) u(1) u( N 1)]T
T
– 若连续系统的特征根无复根时，则采样系统必定是可 控及可观的。 (2) 若已知采样系统是可控及可观的，原连续系统一定也是 可控及可观的。
8
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
离散系统状态空间描述的基本特性 状态反馈控制律的极点配置设计 状态观测器设计 调节器设计（控制律与观测器的组合） 控制系统最优二次型设计
(6-1)
• 可控性定义：
– 对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k)，能在 有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期 望状态x(N)=0，则称该系统是状态完全可控的（简称 是可控的）。
• 可达性定义：
– 对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k) ，能在 有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期 望状态x(N)，则称该系统是状态完全可达的。
9
6.2.1 状态反馈控制
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
y(k ) Cx(k ) Du(k )
r: p
(6-12)
或
x(0) [F 1G F 2G F N G ][u(0) u(1) u (N 1)]T
N=n
为使上述线性方 程组有解，必须
rankWC n
1 2 N W [ F G F G F G] 可控阵 C
系统状态完 全可控的充 分必要条件
若F 是可逆的，则
rankWC rankWR n
连续对象：
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
y(t ) Cx(t )
采样对象：
y(k ) Cx(k )
对于采样系统，不加证明给出下述结论： (1) 若原连续系统是可控及可观的，经过采样后，系统可控 及可观的充分条件是：对连续系统任意2个相异特征根 λ p、λ q，下式应成立： 2 k p q j jks k 1, 2,
可控性与可达性一致
由于采样系统的状态转移阵F=eAT可逆，
故采样系统的可达性与可控性一致。
4
6.1.2 可观性
离散系统：
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
y(k ) Cx (k ) Du(k )
(6-1)
• 可观性定义：
– 对式(6-1)所示系统，如果可以利用系统输出，在有 限的时间NT内确定系统的初始状态x(0) ，则称该系 统是可观的。 系统的可观性只与系统结构及输出信息的特性 有关，与控制矩阵G无关，为此，以后可只研究系 统的自由运动(6-6) ：
2
推导离散系统可控及可达应满足的条件
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
1. 可达性条件
利用迭代法
x(1) Fx(0) Gu(0)
x (2) Fx (1) Gu(1) F 2 x (0) FGu(0) Gu(1) x ( N ) F x (0) F N i 1Gu(i )
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
离散系统状态空间描述的基本特性 状态反馈控制律的极点配置设计 状态观测器设计 调节器设计（控制律与观测器的组合） 控制系统最优二次型设计
1
6.1.1 可控性与可达性
离散系统：
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
y(k ) Cx(k ) Du(k )
y(0) Cx(0)
y(1) Cx (1) CFx (0)
ห้องสมุดไป่ตู้y(k ) CF k x(0)
已知
y (0) C y (1) CF x (0) k y ( k ) CF
(6-8)
y(0), y (1),, y (k ) ，为使x(0)有解，要求：
图6-3 系统的分解
系统脉冲传函只反映了系统中可控可观那部分状态S1的特性。 2.表示系统可控性及可观性的另一种方式 可以采用系统模态可控及可观的表示方式。 3. 系统脉冲传递函数不能全面反映系统特性的原因 系统传递函数中发生了零点和极点相对消的现象。
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6.1.4 采样系统可控可观性与采样 周期的关系
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(1)式(6-8)代数方程组一定是n维的。 (2)令k=n-1，则应有 其中可观阵
WO [C CF CF n1 ]T
6.1.3 可控性及可观性某些问题的说明
1. 系统组成部份
S1:可控可观部分 S2:不可控及不可观部分 S3:可控不可观部分 S4:可观不可控部分。
（1）x是n维向量，所以(6-3)必须是n维线性方程，故N=n。 （2）必须满足： N 1 N -2
rankWR rank[F
G F
GG]=n
依式(6-3)可得允许控制
-1 [u(0) u(1)u(n 1)]T WR [x(N ) F N x(0)]
3
推导离散系统可控及可达应满足的条件
x(k 1) Fx(k )
y(k ) Cx (k )
(6-6)
5
6.1.2 可观性
离散系统：
x(k 1) Fx(k )
y(k ) Cx(k )
(6-6)
• 可观性定义：
– 对式(6-6)所示系统，如果可以利用系统输出，在有限的时间NT 内确定系统的初始状态x(0) ，则称该系统是可观的。
N i 0 N 1
为使 u(0), u(1),, u( N 1) 唯一存在，应满足下述充分必要条件：
u(0) u(1) N N 1 N 2 x ( N ) F x (0) [ F G F G G ] u( N 1)
(6-3)
2. 可控性条件
u(0) u(1) N N 1 N 2 x ( N ) F x (0) [ F G F G G ] u( N 1)
(6-3)
F N x(0) [F N 1G F N 2G G][u(0) u(1) u( N 1)]T
T
– 若连续系统的特征根无复根时，则采样系统必定是可 控及可观的。 (2) 若已知采样系统是可控及可观的，原连续系统一定也是 可控及可观的。
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6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
离散系统状态空间描述的基本特性 状态反馈控制律的极点配置设计 状态观测器设计 调节器设计（控制律与观测器的组合） 控制系统最优二次型设计
(6-1)
• 可控性定义：
– 对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k)，能在 有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期 望状态x(N)=0，则称该系统是状态完全可控的（简称 是可控的）。
• 可达性定义：
– 对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k) ，能在 有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期 望状态x(N)，则称该系统是状态完全可达的。
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6.2.1 状态反馈控制
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
y(k ) Cx(k ) Du(k )
r: p
(6-12)
或
x(0) [F 1G F 2G F N G ][u(0) u(1) u (N 1)]T
N=n
为使上述线性方 程组有解，必须
rankWC n
1 2 N W [ F G F G F G] 可控阵 C
系统状态完 全可控的充 分必要条件
若F 是可逆的，则
rankWC rankWR n
连续对象：
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
y(t ) Cx(t )
采样对象：
y(k ) Cx(k )
对于采样系统，不加证明给出下述结论： (1) 若原连续系统是可控及可观的，经过采样后，系统可控 及可观的充分条件是：对连续系统任意2个相异特征根 λ p、λ q，下式应成立： 2 k p q j jks k 1, 2,
可控性与可达性一致
由于采样系统的状态转移阵F=eAT可逆，
故采样系统的可达性与可控性一致。
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6.1.2 可观性
离散系统：
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
y(k ) Cx (k ) Du(k )
(6-1)
• 可观性定义：
– 对式(6-1)所示系统，如果可以利用系统输出，在有 限的时间NT内确定系统的初始状态x(0) ，则称该系 统是可观的。 系统的可观性只与系统结构及输出信息的特性 有关，与控制矩阵G无关，为此，以后可只研究系 统的自由运动(6-6) ：
2
推导离散系统可控及可达应满足的条件
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
1. 可达性条件
利用迭代法
x(1) Fx(0) Gu(0)
x (2) Fx (1) Gu(1) F 2 x (0) FGu(0) Gu(1) x ( N ) F x (0) F N i 1Gu(i )
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
离散系统状态空间描述的基本特性 状态反馈控制律的极点配置设计 状态观测器设计 调节器设计（控制律与观测器的组合） 控制系统最优二次型设计
1
6.1.1 可控性与可达性
离散系统：
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
y(k ) Cx(k ) Du(k )
y(0) Cx(0)
y(1) Cx (1) CFx (0)
ห้องสมุดไป่ตู้y(k ) CF k x(0)
已知
y (0) C y (1) CF x (0) k y ( k ) CF
(6-8)
y(0), y (1),, y (k ) ，为使x(0)有解，要求：
图6-3 系统的分解
系统脉冲传函只反映了系统中可控可观那部分状态S1的特性。 2.表示系统可控性及可观性的另一种方式 可以采用系统模态可控及可观的表示方式。 3. 系统脉冲传递函数不能全面反映系统特性的原因 系统传递函数中发生了零点和极点相对消的现象。
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6.1.4 采样系统可控可观性与采样 周期的关系