高中物理函数法极值

例1.如图直线MN 上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O 以与MN 成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m ，电荷为e ），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角

形。所以两个射出点相距2r ，由图还可看出，经历时间相差2T /3。答案为射出点相距Be

mv

s 2=，时间差为Bq

m

t 34π=

∆。关键是找圆心、找半径和用对称。 例2.圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿

OO ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所

用的时间。

解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ″，半径为R 。圆弧段轨迹AB 所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动， 如图4所示，连结OB ，∵

OAO OBO ∆"∆"≌，又OA O A ⊥"，故OB ⊥O ″B ，由于原有BP ⊥O ″B ，可见O 、B 、P 在同一直线上，

且O OP AO B θ∠=∠"=＇，在直角三角形ＯＯ＇P 中，O P L r tan θ=+（）＇，而)

2

(t a n 1)

2

t a n (

2t a n 2θ

θθ-=

，

R r =)2tan(θ，所以求得R 后就可以求出O ＇P 了，电子经过磁场的时间可用AB R v t v

θ==来求得。

由R

v m Bev 2

=得.()tan mv OP R L r eB θ=+=,mV eBr R r ==)2tan(θ，

2

222222)

2

(tan 1)

2tan(2tan r

B e v m eBrmv -=-=θθ

θ 2

2222,

)(2tan )(r

B e v m eBrmv

r L r L P O -+=+=θ， )2arctan(2

2222r B e v m eBrmv

-=θ,

M

N

B

O

v

P

M

N

O ,

L

A

O

R θ/2 θ θ/2 B

P

O //

O ＇

M

N

L

A

)2arctan(2

2222r B e v m eBrmv eB m v

R

t -=

=

θ 例3.如图所示，光滑水平面上，质量为2m 的小球B 连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m 的小

球A 以初速度v 0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B 运动，过一段时间，A 与弹簧分离，设小球A 、B 与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内

（1）求当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E ．

（2）若开始时在小球B 的右侧某位置固定一块挡板(图中未画出)，在小球A 与弹簧分离前使小球B 与挡板发生正撞，并在碰后立刻将挡板撤走．设小球B 与固定挡板的碰撞时间极短，碰后小球B 的速度大小不变、但方向相反。设此后弹簧弹性势能的最大值为m E ，试求m E 可能值的范围． 解：（1）当A 球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B 球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A 、B 速度相同时，弹簧的势能最大．

设A 、B 的共同速度为v ，弹簧的最大势能为E ，则A 、B 系统动量守恒，有

v m m mv )2(0+=①；由机械能守恒E v m m mv ++=

220)2(212

1

②；联立两式得2

3

1mv E =③. （2）设B 球与挡板碰撞前瞬间的速度为v B ，此时A 的速度

为v A ，系统动量守恒B A mv mv mv 20+=④

B 与挡板碰后，以v B 向左运动，压缩弹簧，当A 、B 速度相同（设为v 共）时，弹簧势能最大，有共mv mv mv B A 32=-⑤

m E mv mv +⨯=22032

121共⑥ 由④⑤两式得340B v v v -=共⑦联立④⑤⑥式，得]16

3)4([382

020v v v m

E B m +--=⑧

当弹簧恢复原长时与小球B 挡板相碰，B v 有最大值Bm v ，有

''

02A Bm

mv mv mv =+⑨2'220111222A Bm mv mv mv =+⑩ 联立以上两式得023Bm v v =，即v B 的取值范围为03

2

0v v B ≤<⑾

结合⑦式知，当04B v v =

时E m 有最大值为20112

m E mv =⑿ 当023B v v =时，m E 有最小值为2

2127

m E mv =

第18题图

m

2m

A

B

v 0