高中数学常见题型解法第13招 函数的零点个数问题
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【知识要点】
一、方程的根与函数的零点
(1)定义:对于函数()y f x =(x D ∈),把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =(x D ∈)的零点.函数的零点不是一个点的坐标,而是一个数,类似的有截距和极值点等.
(2)函数零点的意义:函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根,亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标,即:方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.
(3)零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线,并且有0)()(<⋅b f a f ,那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点,即存在(,c a b ∈)使得()0f c =,这个c 也就是方程的根.
函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线,并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.
零点存在性定理只能判断是否存在零点,但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定,一般通过数形结合解决. 二、二分法
(1)二分法及步骤
对于在区间[,]a b 上连续不断,且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. (2)给定精确度ε,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下: 第一步:确定区间[,]a b ,验证0)()(<⋅b f a f ,给定精确度ε. 第二步:求区间(,)a b 的中点1x .
第三步:计算1()f x :①若1()f x =0,则1x 就是函数的零点;②若1()()0f a f x 第四步:判断是否达到精确度ε即若a b ε-<,则得到零点值a 或b ,否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2 ()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布 讨论一元二次方程2 ()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组: (1)a 的符号; (2)对称轴2b x a =-的位置; (3)判别式的符号; (4)根分布的区间端点的函数值的符号. 四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1,其中的任意一个值都可以取;精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字,要看小数点后两位,四舍五入. 五、方法总结 函数零点问题的处理常用的方法有:(1) 方程法;(2)图像法;(3)方程+图像法. 【方法点评】 方法一 方程法 使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程,再求解. 【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a =+--+区间(1,1)-内有零点,求实数a 的取值范围. 【点评】(1)本题如果用其它方法比较复杂,用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.(2)对于含有参数的函数要尝试因式分解,如果不好因式分解,再考虑其它方法. 【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是( ) A .4 B .5 C .6 D . 7 方法二 图像法 使用情景 一些简单的初等函数或单调性容易求出,比较容易画出函数的图像. 解题步骤先求函数的单调性,再画图分析.学科@网 【例2】(2017全国高考新课标I理科数学)已知函数2 ()(2) x x f x ae a e x =+--. (1)讨论() f x的单调性; (2)若() f x有两个零点,求a的取值范围. (2) ①若0, a≤由(1)知() f x至多有一个零点. ②若0 a>,由(1)知当ln x a =-时,() f x取得最小值, 1 (ln)1ln f a a a -=-+. (i)当1 a=时,(ln) f a -=0,故() f x只有一个零点. (ii)当(1,) a∈+∞时,由于 1 1ln a a -+>0,即(ln)0 f a ->,故() f x没有零点. (iii)当0,1 a∈()时, 1 1ln0 a a -+<,即(ln)0 f a -<. 422 (2)(2)2220, f ae a e e --- -=+-+>-+>故() f x在(,ln)a -∞-只有一个零点. 0000 000000 3 ln(1),()(2)20 3 ln(1)ln,() n n n n n n f n e ae a n e n n a a f x a >-=+-->->-> ->-∞ 设正整数满足则 由于因此在(-lna,+)有一个零点. 综上所述,a的取值范围为(0,1). 【点评】(1)本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围,用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性,所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1 a∈()时,要先判断(,ln)a -∞ 的零点的个数,此时考查了函数的零点定理,(ln)0 f a -<,还必须在该区间找一个函数值为正的值,它就是422 (2)(2)2220, f ae a e e --- -=+-+>-+>要说明(2)0 f->,这里利用了放缩法,丢掉了42 ae ae -- +.(3) 当0,1 a∈()时,要判断(ln,) a -+∞上的零点个数,也是在考查函数的零点定理,还要在该