理论力学第十一章 质点系动量定理
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x
B
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例 题 1
y
vA A
解：
p m A v A mB v B
v A y A 2lcos 2lcos v B x B 2lsin 2lsin
p 2lmsin i 2lmcos j
动量定理的 定常流形式
p mi v i - mi v i m v 2 m v1 m(v 2 v1 )
同除以 t ，并取极限
d p dm (v 2 v1 )＝q m (v 2 v1 ) dt dt
由质点系动量定理，得到动量定理的定常质量流形式
qm (v 2 v1 )＝ F ＝F1 ＋F2 ＋FN ＋W
e m a C FR
质心运动定理揭示了动量定理的实质：外 力主矢仅仅确定了质点系质心运动状态的变 化。
§11-2 质心运动定理
对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运 动与力之间的关系
ma F
对于质点系：质心运动定理，描述质点系 整体运动与力之间的关系
m aC F
e R
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
F Fi
e R i
e
—— 外力主矢
e R
dp dt
F
d ( mi v i ) FRe dt i
§11-1 质点系动量定理
对于质点系
dp dt F
e R
d e ( mi v i ) FR dt i
质点系动量定理 质点系的动量主矢对时间的一阶导数， 等于作用在这一质点系上的外力主矢
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律
动量定理
动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
1 2 1 2
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
动量定理的 定常流形式
p p p mi v i mi v i
1 2 1 2
p p p ( mi v mi v ) i i - ( mi v i mi v i )
动量定理的微分形式
动量定理微分形式 和积分形式
dp dt
t2
F
e R
d e ( mi v i ) FR dt i
动量定理的积分形式
e p1 p2 FR dt S S－质点系统的冲量 t1
质点系统动量在一段时间内的改变量等于系统中所有 质点冲量的矢量和
返回
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例 题 1
y
vA A
解：
p m A v A mB v B
y A 2lsin
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
x B 2lcos v A y A 2lcos 2lcos
vB
O
v B x B 2lsin 2lsin
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
定常质量流
定常质量流 —— 质量流中的质点流动过 程中，在每一位置点都具有相同速度。
定常质量流特点 1、质量流是不可压缩流动； 2、非粘性 —— 忽略流层之间以及质量流与 管壁之间的摩擦力。
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
定常质量流
定常质量流 ——质量流中的质点流动过程中， 在每一位置点处都具有相同速度。 根据上述定义和特点，有
F
e R
F ＝0
e R
p = C1
质心运动守恒
m aC F
e R
F ＝0
e R
vC = C2
C1、 C2 均为常矢量，由初始条件确定。
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
质点系动量守恒的特殊情形
dp dt F
e R
F 0，F 0 , 或F 0 , 或F 0
e R e Rx e Ry e Rz
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
动量定理的 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力： F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力； W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
质心运动定理
e Rx
有关动量的几个定理的小结
m aC F
e R
e Rz
maCx F , maCy F , maCz F
e Ry
质心运动定理建立了质点系质心运动与系统所受外力 主矢之间的关系。 质心的运动与内力无关，内力不能改变系统整体的运 动状态(系统质心的运动)，但是，内力可以改变系统内各 个质点的运动状态。 质心运动定理可以用于求解作用在系统上的未知外力， 特别是约束力。
质点系动量定理的投影形式
dp y dp x dp z e e e FRx , FRy , FRz dt dt dt
质心运动定理的投影形式
maCx F , maCy F , maCz F
e Rx e Ry
e Rz
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
质点系动量守恒
dp dt
p mi v i
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi v i
根据质点系质心的位矢公式
i
rC
m r
i i
i
m
vC
m v
i i
i
m
p m vC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi d(mi v i ) Fi dt dt
？
几个有意义的实际问题
隔板
水池
抽去隔板后将会 发生什么现象
？
水
光滑台面
§11-1 质点系动量定理
质点的动量 —— 质点的质量与质点速度的 乘积，称为质点的动量
p mv
动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量， 而且是定位矢量。
质点的动量定理 —— 质点的动量对时间 的一阶导数，等于作用在质点上的力
O
B
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例 题 1
y
vA A 解：
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p m A v A mB v B
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
O
vB B x
y A 2lsin x B 2lcos
对于刚体或刚体系统，其质心容易确定，应用动 量定理时，主要采用质心运动形式－质心运动定理。 或者变换为
m aC F
e R
e d d e (m v C )＝ ( mi v C i ) FR m a C ＝ mi a C i FR dt dt i i mi－ 第i个刚体的质量； m－ 刚体系统的总质量； vCi－ 第i个刚体质心的速度；vC－ 系统质心的速度； a aCi－ 第i个刚体质心的加速度； C－ 系统质心的加速度
例 题 1
A
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB ＝l；滑块A和B的质量均为m，曲 柄OC和连杆AB的质量忽略不计； 曲柄以等角速度绕O轴旋转；图 示位置时，角度为任意值。 求：图示位置时，系统的总动量。
O B
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例 题 1
A
解：将滑块A和B看作为两个 质点，整个系统即为两个质点所 组成的质点系。求这一质点系的 动量可以用两种方法： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
wk.baidu.com
O vB
2lm (-sin i cos j )
x
B
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例 题 1
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
动量定理的 定常流形式
考察1－2小段质量流，
t 瞬时质量流的动量：
p mi v i
1 2
t ＋ t 瞬时质量流的动量：
p mi v i
1 2
t 时间间隔内质量流的动量改变量
p p p mi v i mi v i
d pi d(mi vi ) dt dt Fi i i i
dp d i e ( mi v i ) FR FR dt dt i
对于质点系
§11-1 质点系动量定理
对于质点系
dp
d i e ( mi v i ) FR FR dt dt i
i
i FR Fi i 0 —— 内力主矢
还可以写成投影的形式。
第11章 质点系动量定理
结论与讨论
结论与讨论
质点系的动量定理
有关动量的几个定理的小结
dp dt
F
e R
d e ( mi v i ) FR dt i
dp y dp x dp z e e e FRx , FRy , FRz dt dt dt
建立了动量与外力主矢之间的关系，涉及力、速度 和时间的动力学问题。
结论与讨论
质心运动守恒定理
有关动量的几个定理的小结
m aC F
e R
F ＝0
e R
vC = C2
m a C FRe FRe 0，FRex 0，或FRey 0，或FRez 0
vCx = C2，或 vCx = C2，或 vCx = C2 如果作用在质点系上的外力主矢等于0，则系统的 质心作惯性运动：若初始为静止状态，则系统的质 心位置始终保持不变。
结论与讨论
质点系动量守恒定理
有关动量的几个定理的小结
dp dt
e R
F
e R
F ＝0
e R
e Rx e Ry
p = C1
e Rz
F 0，F 0 , 或F 0 , 或F 0
px = C1，或 py = C1，或 px = C1
可以用于求解系统中的速度，以及与速度有关的量。
结论与讨论
d pi d(mi v i ) Fi dt dt
§11-1 质点系动量定理
质点系的动量与动量系
质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬 时都具有各自的动量矢。质点系中所有质点动 量矢的集合，称为动量系。
p (m1 v1 , m2 v 2 , , mn v n )
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
px = C1，或 py = C1，或 pz = C1
质心运动守恒的特殊情形
m a C FRe FRe 0，FRex 0，或FRey 0，或FRez 0
vCx = C2，或 vCx = C2，或 vCz = C2
C1、 C2 均为标量，由初始条件确定。
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
dm A1v1 A2 v 2 q m dt
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
定常质量流
dm A1v1 A2 v 2 q m dt
－质量流的密度； A1、A2－质量流入口和出口处的横截面积； v1、v2－质量流在入口和出口处的速度 qm －质量流量。 连续流方程表明，流入边界和流出边界的 质量流量相等。
第11章 质点系动量定理
几个有意义的实际问题
地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
？
几个有意义的实际问题
偏心转子电动机 工作时为什么会左 右运动； 这种运动有什么 规律；
？
会不会上下跳动； 利弊得失。
几个有意义的实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时 磅秤指示数会不会发生的变化
？
几个有意义的实际问题
台式风扇放置在光滑的台 面上的台式风扇工作时，会 发生什么现象
11 1 2 1 2 2 2
1 2
m v m v
i i 1 2 i
i
p mi v i - mi v i m v 2 m v1 m(v 2 v1 )
2 2 11
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
2 2 11
§11-2 质心运动定理
根据质点系质心的位矢公式
rC
m r
i i
i
m
aC
i
vC
i i
m v
i i
i
m
aC
m a
i i
i
m a
m
m
d ( mi v i ) FRe dt i
e R
m aC F
§11-2 质心运动定理
质心运动定理 质点系的总质量与质点系质心加速度乘积， 等于作用在这一质点系上外力的主矢 .
B
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例 题 1
y
vA A
解：
p m A v A mB v B
v A y A 2lcos 2lcos v B x B 2lsin 2lsin
p 2lmsin i 2lmcos j
动量定理的 定常流形式
p mi v i - mi v i m v 2 m v1 m(v 2 v1 )
同除以 t ，并取极限
d p dm (v 2 v1 )＝q m (v 2 v1 ) dt dt
由质点系动量定理，得到动量定理的定常质量流形式
qm (v 2 v1 )＝ F ＝F1 ＋F2 ＋FN ＋W
e m a C FR
质心运动定理揭示了动量定理的实质：外 力主矢仅仅确定了质点系质心运动状态的变 化。
§11-2 质心运动定理
对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运 动与力之间的关系
ma F
对于质点系：质心运动定理，描述质点系 整体运动与力之间的关系
m aC F
e R
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
F Fi
e R i
e
—— 外力主矢
e R
dp dt
F
d ( mi v i ) FRe dt i
§11-1 质点系动量定理
对于质点系
dp dt F
e R
d e ( mi v i ) FR dt i
质点系动量定理 质点系的动量主矢对时间的一阶导数， 等于作用在这一质点系上的外力主矢
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律
动量定理
动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
1 2 1 2
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
动量定理的 定常流形式
p p p mi v i mi v i
1 2 1 2
p p p ( mi v mi v ) i i - ( mi v i mi v i )
动量定理的微分形式
动量定理微分形式 和积分形式
dp dt
t2
F
e R
d e ( mi v i ) FR dt i
动量定理的积分形式
e p1 p2 FR dt S S－质点系统的冲量 t1
质点系统动量在一段时间内的改变量等于系统中所有 质点冲量的矢量和
返回
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例 题 1
y
vA A
解：
p m A v A mB v B
y A 2lsin
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
x B 2lcos v A y A 2lcos 2lcos
vB
O
v B x B 2lsin 2lsin
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
定常质量流
定常质量流 —— 质量流中的质点流动过 程中，在每一位置点都具有相同速度。
定常质量流特点 1、质量流是不可压缩流动； 2、非粘性 —— 忽略流层之间以及质量流与 管壁之间的摩擦力。
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
定常质量流
定常质量流 ——质量流中的质点流动过程中， 在每一位置点处都具有相同速度。 根据上述定义和特点，有
F
e R
F ＝0
e R
p = C1
质心运动守恒
m aC F
e R
F ＝0
e R
vC = C2
C1、 C2 均为常矢量，由初始条件确定。
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
质点系动量守恒的特殊情形
dp dt F
e R
F 0，F 0 , 或F 0 , 或F 0
e R e Rx e Ry e Rz
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
动量定理的 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力： F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力； W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
质心运动定理
e Rx
有关动量的几个定理的小结
m aC F
e R
e Rz
maCx F , maCy F , maCz F
e Ry
质心运动定理建立了质点系质心运动与系统所受外力 主矢之间的关系。 质心的运动与内力无关，内力不能改变系统整体的运 动状态(系统质心的运动)，但是，内力可以改变系统内各 个质点的运动状态。 质心运动定理可以用于求解作用在系统上的未知外力， 特别是约束力。
质点系动量定理的投影形式
dp y dp x dp z e e e FRx , FRy , FRz dt dt dt
质心运动定理的投影形式
maCx F , maCy F , maCz F
e Rx e Ry
e Rz
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
质点系动量守恒
dp dt
p mi v i
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi v i
根据质点系质心的位矢公式
i
rC
m r
i i
i
m
vC
m v
i i
i
m
p m vC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi d(mi v i ) Fi dt dt
？
几个有意义的实际问题
隔板
水池
抽去隔板后将会 发生什么现象
？
水
光滑台面
§11-1 质点系动量定理
质点的动量 —— 质点的质量与质点速度的 乘积，称为质点的动量
p mv
动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量， 而且是定位矢量。
质点的动量定理 —— 质点的动量对时间 的一阶导数，等于作用在质点上的力
O
B
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例 题 1
y
vA A 解：
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p m A v A mB v B
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
O
vB B x
y A 2lsin x B 2lcos
对于刚体或刚体系统，其质心容易确定，应用动 量定理时，主要采用质心运动形式－质心运动定理。 或者变换为
m aC F
e R
e d d e (m v C )＝ ( mi v C i ) FR m a C ＝ mi a C i FR dt dt i i mi－ 第i个刚体的质量； m－ 刚体系统的总质量； vCi－ 第i个刚体质心的速度；vC－ 系统质心的速度； a aCi－ 第i个刚体质心的加速度； C－ 系统质心的加速度
例 题 1
A
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB ＝l；滑块A和B的质量均为m，曲 柄OC和连杆AB的质量忽略不计； 曲柄以等角速度绕O轴旋转；图 示位置时，角度为任意值。 求：图示位置时，系统的总动量。
O B
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例 题 1
A
解：将滑块A和B看作为两个 质点，整个系统即为两个质点所 组成的质点系。求这一质点系的 动量可以用两种方法： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
wk.baidu.com
O vB
2lm (-sin i cos j )
x
B
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例 题 1
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
动量定理的 定常流形式
考察1－2小段质量流，
t 瞬时质量流的动量：
p mi v i
1 2
t ＋ t 瞬时质量流的动量：
p mi v i
1 2
t 时间间隔内质量流的动量改变量
p p p mi v i mi v i
d pi d(mi vi ) dt dt Fi i i i
dp d i e ( mi v i ) FR FR dt dt i
对于质点系
§11-1 质点系动量定理
对于质点系
dp
d i e ( mi v i ) FR FR dt dt i
i
i FR Fi i 0 —— 内力主矢
还可以写成投影的形式。
第11章 质点系动量定理
结论与讨论
结论与讨论
质点系的动量定理
有关动量的几个定理的小结
dp dt
F
e R
d e ( mi v i ) FR dt i
dp y dp x dp z e e e FRx , FRy , FRz dt dt dt
建立了动量与外力主矢之间的关系，涉及力、速度 和时间的动力学问题。
结论与讨论
质心运动守恒定理
有关动量的几个定理的小结
m aC F
e R
F ＝0
e R
vC = C2
m a C FRe FRe 0，FRex 0，或FRey 0，或FRez 0
vCx = C2，或 vCx = C2，或 vCx = C2 如果作用在质点系上的外力主矢等于0，则系统的 质心作惯性运动：若初始为静止状态，则系统的质 心位置始终保持不变。
结论与讨论
质点系动量守恒定理
有关动量的几个定理的小结
dp dt
e R
F
e R
F ＝0
e R
e Rx e Ry
p = C1
e Rz
F 0，F 0 , 或F 0 , 或F 0
px = C1，或 py = C1，或 px = C1
可以用于求解系统中的速度，以及与速度有关的量。
结论与讨论
d pi d(mi v i ) Fi dt dt
§11-1 质点系动量定理
质点系的动量与动量系
质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬 时都具有各自的动量矢。质点系中所有质点动 量矢的集合，称为动量系。
p (m1 v1 , m2 v 2 , , mn v n )
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
px = C1，或 py = C1，或 pz = C1
质心运动守恒的特殊情形
m a C FRe FRe 0，FRex 0，或FRey 0，或FRez 0
vCx = C2，或 vCx = C2，或 vCz = C2
C1、 C2 均为标量，由初始条件确定。
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
dm A1v1 A2 v 2 q m dt
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
定常质量流
dm A1v1 A2 v 2 q m dt
－质量流的密度； A1、A2－质量流入口和出口处的横截面积； v1、v2－质量流在入口和出口处的速度 qm －质量流量。 连续流方程表明，流入边界和流出边界的 质量流量相等。
第11章 质点系动量定理
几个有意义的实际问题
地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
？
几个有意义的实际问题
偏心转子电动机 工作时为什么会左 右运动； 这种运动有什么 规律；
？
会不会上下跳动； 利弊得失。
几个有意义的实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时 磅秤指示数会不会发生的变化
？
几个有意义的实际问题
台式风扇放置在光滑的台 面上的台式风扇工作时，会 发生什么现象
11 1 2 1 2 2 2
1 2
m v m v
i i 1 2 i
i
p mi v i - mi v i m v 2 m v1 m(v 2 v1 )
2 2 11
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
2 2 11
§11-2 质心运动定理
根据质点系质心的位矢公式
rC
m r
i i
i
m
aC
i
vC
i i
m v
i i
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m
aC
m a
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m a
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m
d ( mi v i ) FRe dt i
e R
m aC F
§11-2 质心运动定理
质心运动定理 质点系的总质量与质点系质心加速度乘积， 等于作用在这一质点系上外力的主矢 .