(完整版)3多元复合函数与隐函数的求导法则
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§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
讲义-9.3-多元复合函数与隐函数求导
9.3 .
多元复合函数与隐函数的偏导数 1. 一个方程所确定的隐函数可能是
13
F (x, y, z ) = 0 2. 方程组所确定的隐函数可能是
F (x, y, z ) = 0
G(x, y, z ) = 0
以下分别针对不同的隐函数方程形式讨论其中的求导问题： 隐函数存在定理 I：若函数 F (x, y ) 满足： (1) F (x0 , y0 ) = 0
′ 2. 设 f (x, y ) 一阶偏导连续，f (1, 1) = 1, f ′ x (1, 1) = 2，f y (1, 1) = 3，又 ϕ(x) = 3 dϕ (x) f (x, f (x, x))，求 。 dx x=1
NUDT-2017-S3
F (x, y, z ) = 0 G(x, y, z ) = 0 , ,
′ 例：设由 ln(xz ) + arctan(yz ) = 0 可确定隐函数 z = z (x, y )，求 zx 。
f (x, f (x, f (x, x)))，求 ϕ(1) 与 ϕ′ (1)。 例：设 u = u(x) 由 u = f (x, y ), g (x, y, z ) = 0, h(x, z ) = 0
.
注：以上的求法法则可以形象地解释为： “嵌套”→ 乘积， “并列”→ 相加 ∂z ∂z 例：对下列函数分别求 和 ∂x ∂y (1) z = eu cos v, u = 2x − y, v = xy (2) z = f (3x + 2y, x2 + y 2 )
∂z ∂z 和 ∂x ∂y ∂z ∂z 例：设 z = f (x/y )，其中 f 可微，证明：x +y =0 ∂x ∂y 例：设 z = xy + xf (x/y )，其中 f 可微，证明： 例：设 z = f (x, x + y, x/y )，其中 f 可微，求 x ∂z ∂z +y = xy + z ∂x ∂y dz dt
多元复合函数和隐函数的求导法则
别 类
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
例1. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z .
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
求 w, 2w . x xz
f 具有二阶连续偏导数,
步骤：
1.必须设中间变量；
2z x2
x
( 2
x
) z
也可利用全微分求解
(2
z) (2
2 z)3
x2
总结方法： 1.求隐函数的导数或偏导数，有哪些方法： 答:通常有三种方法 (1)利用隐函数求导公式；
(2)对所给方程两端求导,再解出所求的导数或偏导数； (3)利用全微分.
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
uv
x yx y
eu sin v eu cos v 1
例2.
u
f
(x, y, z) ex2 y2 z2 ,
z
x2sin
y, 求
u , x
偏导数都存在，且有链式法则
z x z z u z dv y u y v dy
多元复合函数与隐函数求导
2
t cos t
dz , 求全导数 dt
u 2v
解：令 u = sint , v = cost , 则z = e
du dv z z u 2v 2 u 2v = + = 2uve cost + u e ( - sint ) dt dt dt u v
= 2e
=e
sin 2 tcost
sintcos t - e
v = ψ ( x + x , y ) — ψ ( x , y )
在相应点(u,v)处相应于 的全增量 处相应于x的全增量 函数 z = f ( u,v ) 在相应点 处相应于
z = f ( u + u , v + v ) — f ( u , v )
有连续的偏导数， 由于 z = f ( u,v ) 有连续的偏导数，所以
第四节 多元复合函数 与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则 二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 又都是x，y的函数 又都是 的函数 设函数 z = f ( u,v ) ，而u，v又都是 u = ( x , y ), v = ψ ( x , y ), 于是
-
2 )
对于具有三个中间变量的函数 z = f ( u , v , w ), 其中 u，v，w分别是 ，y的函数，有 分别是x， 的函数 的函数， ， ， 分别是
z z u z v z w = + + x u x v x w x z z u z v z w = + + y u y v y w y
z y
当然我们同理也可求 得
多元复合函数与隐函数求导
第四节 多元复合函数 与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则
二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。
设函数 z = f (u,v )，而u，v又都是x，y的函数
u = ( x, y ),v = ( x, y ), 于是
z = f [( x, y ), ( x, y )]
两边对x求导得
∂F ∂x
+
∂F ∂y
dy dx
= 0,即Fx′+ Fy′ddyx
=0
再由已知条件有
dy dx
=
-
Fx′ Fy′
例9 求由方程 e y - xy = 0所确定的隐函数y=f(x)
的导数。
解： 设 F( x, y ) = ey - xy, 则 Fx′= - y, Fy′= ey - x,
= 2 xfu′+ ye xy fv′+ f w′cos( x + y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂y = ∂u ∂y + ∂v ∂y + ∂w ∂y
= fu′• ( - 2 y ) + fv′• x • exy + fw′• cos( x + y )
= - 2 yfu′+ xe xy fv′+ f w′cos( x + y )
（2）z = f ( u,v ),其中u = ( x ),v = ( x, y ),则
∂z ∂z du ∂z ∂v ∂x = ∂u • dx + ∂v • ∂x ∂z ∂z ∂v ∂y = ∂v • ∂y
例4
设函数
z
=
ln(tan
一、多元复合函数的求导法则
二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。
设函数 z = f (u,v )，而u，v又都是x，y的函数
u = ( x, y ),v = ( x, y ), 于是
z = f [( x, y ), ( x, y )]
两边对x求导得
∂F ∂x
+
∂F ∂y
dy dx
= 0,即Fx′+ Fy′ddyx
=0
再由已知条件有
dy dx
=
-
Fx′ Fy′
例9 求由方程 e y - xy = 0所确定的隐函数y=f(x)
的导数。
解： 设 F( x, y ) = ey - xy, 则 Fx′= - y, Fy′= ey - x,
= 2 xfu′+ ye xy fv′+ f w′cos( x + y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂y = ∂u ∂y + ∂v ∂y + ∂w ∂y
= fu′• ( - 2 y ) + fv′• x • exy + fw′• cos( x + y )
= - 2 yfu′+ xe xy fv′+ f w′cos( x + y )
（2）z = f ( u,v ),其中u = ( x ),v = ( x, y ),则
∂z ∂z du ∂z ∂v ∂x = ∂u • dx + ∂v • ∂x ∂z ∂z ∂v ∂y = ∂v • ∂y
例4
设函数
z
=
ln(tan
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
3多元复合函数与隐函数的求导法则
求 m , m , m
x y z
z z u z v x u x v x
解
m x
m u m v m v u x v x v x
f1 1
f2
y
f3
yz
m m u m v m v
f1 2x
f2 ye xy
z y
f1 2 y
f2 xe xy
例7
设w
f(
x,y yz
)，而 u
x ,v y
y z
，求
w x
, w y
, w z
.
z z u z v x u x v x
解
w w u w v x u x v x
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
例11 设z y F ( x2 y2 ), 验证 y z x z x.
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
由链式法则,
z z u z v , x u x v x
z z u z v , y u y v y
代入,
dz
z x
dx
z y
dy中, 得
dz
z u
u x
z v
v x
dx
z y
z u
BB74多元复合函数与隐函数求导法则38页PPT
1 x2
g
y x3
g
14
二、多元复合函数的全微分
设函数
都可微,
则复合函数 zf((x ,y ),(x ,y ))的全微分为
dzzdxzdy x y
(zuzv)dy uy v y
(udxudy) x y
(vdxvdy) x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
z
uv
此式 Z对 是 t的导 d数 z称为全 . 导t数t
dt
说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
3
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u ,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
6
常用导数符号 设 z f ( u , v ) u ( x , y ) v ( x , y )
uzfu(u,v)fuf1 vzfv(u,v)fvf2
u2z2 fuu(u,v)fuuf11 v2z2 fvv(u,v)fvvf22 vu22zzuv ffuvvu ((uu,,vv))fufvv uf1f2 21 称为混合偏导数
当 f12和f21均连续f1时 2f21 有
在计算时注意合并同类项! 下列两个例题有助于
掌握这方面问题的求导技巧。
多元复合函数与隐函数求导法则
第三节
第八章
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 三、隐函数求导法则
1
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
处偏导连续,
则复合函数
z f (u,v)
在点 t 可导,
且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
证: 设 t 取增量△t ,
x f
表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导
x
6
例1. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z .
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
在
d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
19
例7. 验证方程
可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy
dx x 0
解: 令 F (x, y) sin y ex xy 1, 则
① Fx e x y, Fy cos y x 连续 ; ②F (0,0) 0;
③ Fy (0,0) 1 0,
f1 f2 f3
2) 中间变量是多元函数的情形.
例如,
z
uvw t tt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
z z u z v x u x v x
f11
f 2 1
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
第八章
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 三、隐函数求导法则
1
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
处偏导连续,
则复合函数
z f (u,v)
在点 t 可导,
且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
证: 设 t 取增量△t ,
x f
表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导
x
6
例1. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z .
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
在
d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
19
例7. 验证方程
可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy
dx x 0
解: 令 F (x, y) sin y ex xy 1, 则
① Fx e x y, Fy cos y x 连续 ; ②F (0,0) 0;
③ Fy (0,0) 1 0,
f1 f2 f3
2) 中间变量是多元函数的情形.
例如,
z
uvw t tt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
z z u z v x u x v x
f11
f 2 1
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
9-3多元复合函数及隐函数求导法则
z u
3
f x( x,
y)
4
f y(x,
y)
或记为 dy dy du dx du dx
问题：
设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的 函数，即 u ( x, y),v ( x, y) ，如果能构成 z 是x ,y 的
二元复合函数 z f [( x, y), ( x, y)],
如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？
= esin2tcost( 2sintcos2t - sin3t )
设zf(u v w) u(t) v(t) ww(t) 则
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
例 3 设 zuvsin t 而 uet vcos t 求全导数 dz
因为f1' (0, 0)=a,
f
' 2
(0,
0)
b,
所以 ' (0) a+b (a b).
一元函数具有微分形式不变性，多元 函数的全微分形式也有类似的性质。
设z f (u, v)具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv.
u
v
如果z f (u,v)具有连续偏导数，u (x, y),v (x, y)
(1)公式(*)的项数，等于结构图中z到达自变量x 路径的个数.函数结构中z到达自变量x的路径有两条.
第一条是 z u x，第二条是 z v x，所以公
式(*)由两项组成.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路 径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 z u x, 有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两 个偏导数z 与u 的乘积.
多元复合函数与隐函数的微分法
z z u z v y u y v y
这个复合过程，可以形 象的用链来描述：
z
u
x
v
y
z z 例1 设z e ln v , u xy, v x y . 求 ， x y z z u z v u x 解 z x u x v x y v 1 u u . y e ln v e 2 x
z u
u
x
v
y
2 2 2 2 z z z z u z v x 2 u u2 y uv y u uv y
同理讨论
2z 2z z x 2 1 v v y v u
例2 设方程e z xyz确定函数z f ( x , y )，
z z 求 及 . x y
解 令 F ( x , y , z ) e z xyz
Fx yz
F y xz
2z ? x y
z e Fz xy
yz yz Fx z z z e xy e xy Fz x
注意：
若u ( x ), v ( x )， 1. 在定理中,对 z f (u , v)， 则复合函数z f [ ( x ), ( x )]是x的函数，
此时z对x的导数称为全导数，
dz z du z dv 且有 dx u dx v dx
z
u
v
x
例3 求y (sin x)
定理 设u ( x, y ), v ( x, y )在点( x, y )处有偏导数，
则复合函数 z f (u , v)在对应点(u , v)处可微，
且 z f [ ( x , y ), ( x , y )]在点( x, y )处有偏导数，
这个复合过程，可以形 象的用链来描述：
z
u
x
v
y
z z 例1 设z e ln v , u xy, v x y . 求 ， x y z z u z v u x 解 z x u x v x y v 1 u u . y e ln v e 2 x
z u
u
x
v
y
2 2 2 2 z z z z u z v x 2 u u2 y uv y u uv y
同理讨论
2z 2z z x 2 1 v v y v u
例2 设方程e z xyz确定函数z f ( x , y )，
z z 求 及 . x y
解 令 F ( x , y , z ) e z xyz
Fx yz
F y xz
2z ? x y
z e Fz xy
yz yz Fx z z z e xy e xy Fz x
注意：
若u ( x ), v ( x )， 1. 在定理中,对 z f (u , v)， 则复合函数z f [ ( x ), ( x )]是x的函数，
此时z对x的导数称为全导数，
dz z du z dv 且有 dx u dx v dx
z
u
v
x
例3 求y (sin x)
定理 设u ( x, y ), v ( x, y )在点( x, y )处有偏导数，
则复合函数 z f (u , v)在对应点(u , v)处可微，
且 z f [ ( x , y ), ( x , y )]在点( x, y )处有偏导数，
3多元复合函数与隐函数的求导法则
du ? dx
解
du u u dy u dz dx x y dx z dx
ae (y z) e e ax a cos x ( 2 ) ( sin x ) 2 2 a 1 a 1 a 1
ax
ax
例6 设 z f ( x y , e ) ,而u x y , v e ,
e cos t e sin t cos t
t t
e t (cos t sin t ) cos t
e ax(y z) , y a sin x, z cos x 例5 设 u 2 a 1
z z u z v x u x v x
z u z v dx z u z v dy dz u x v x u y v y
z u u z v v dx dy dx dy u x y v x y
z z u z v 2u (1) 2v 1 4 y y u y v y
z z x 例3 设 z u ln v ,而 u , v 3 x 2 y ,求 , x y y
2
解
z z u z v 1 u2 2u ln v 3 y v x u x v x
2x 3x2 2 ln ( 3 x 2 y) y ( 3 x 2 y)y 2
z z u z v y u y v y
x u2 2u ln v ( 2 ) ( 2 ) y v
2x2 2x2 3 ln ( 3 x 2 y) y ( 3 x 2 y)y 2
第四节多元复合函数与隐函数的求导法则
同理可得
w w u x u y w v x v y ( ) ( ) u x y v x y
例4
设 w f ( x y z , xyz ) ，f 具有二阶
解
令 u x y z,
记 同理有
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
z
dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z f [ ( x , y ), ( x , y )].
一、链式法则
t 可 定理 如果函数 u ( t ) 及v ( t ) 都在点 导，函数 z f ( u, v ) 在对应点( u, v ) 具有连续偏 t 可 导数，则复合函数 z f [ ( t ), ( t )]在对应点 导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
z f (u1 , u2 ,, um ) ui ui ( x1 , x2 ,, xn )
(i 1, 2,, m)
m z z ui , ( j 1,2,, n) x j i 1 ui x j
则
从以上推广中我们可以得出：所有公式中 两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自 变量的个数无关
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . x u x v x y u y v y
链式法则如图示
u
x
y
z
v
z x z y
z u z v , u x v x z u z v . u y v y
w w u x u y w v x v y ( ) ( ) u x y v x y
例4
设 w f ( x y z , xyz ) ，f 具有二阶
解
令 u x y z,
记 同理有
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
z
dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z f [ ( x , y ), ( x , y )].
一、链式法则
t 可 定理 如果函数 u ( t ) 及v ( t ) 都在点 导，函数 z f ( u, v ) 在对应点( u, v ) 具有连续偏 t 可 导数，则复合函数 z f [ ( t ), ( t )]在对应点 导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
z f (u1 , u2 ,, um ) ui ui ( x1 , x2 ,, xn )
(i 1, 2,, m)
m z z ui , ( j 1,2,, n) x j i 1 ui x j
则
从以上推广中我们可以得出：所有公式中 两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自 变量的个数无关
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . x u x v x y u y v y
链式法则如图示
u
x
y
z
v
z x z y
z u z v , u x v x z u z v . u y v y
3复合函数,隐函数求导
y ( n ) ( 1) ( n 1) x n
( n 1)
若 为自然数n, 则
y ( n ) ( x n )( n ) n! ,
y ( n 1) ( n! ) 0.
nk
n( n 1)( n 2)( n k 1) x y ( x ) n! 0
再设函数x (t ), y (t )都可导, 且 (t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
x ( t ) 若函数 二阶可导, y ( t )
例求下列参数确定的函 数y f ( x )的二阶导数 x 1 - t3 (1) 3 y t t x f (t) ( 2) y tf (t) - f(t)
x a ( t sin t ) 在t 处的切线 例3 求摆线 2 y a (1 cos t ) 方程 .
加速度a是速度v对时间t的变化率
a(t ) v(t ) [s(t )] .
定义
设f ( x)可导, 则称(f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ( x ), y , 2 或 2 dx dx
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx
------莱布尼兹公式
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 例5求下列函数的n阶导数
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z f [φ(t),ψ(t)]
z f (u,v)
u φ(t)
v ψ(t)
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y 求 z 和z . x y
解 z z u z v eu sin v y eu cos v 1
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
z
1
F ( x2
y2) ,
x
x
y
y
下求 F ( x2 y2 )对x, y的偏导.记u x2 y2,
x u x v x eu ( y sin v cos v)
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cos v 1
eu( x sin v cos v)
例 2 设 z u2 v2 ，而u x y，v x y ，
求 z 和z . x y
解 z z u z v 2u 1 2v 1 4x x u x v x
§3复合函数与隐函数的偏导数
一、多元复合函数的导数(链式法则)
定理：z f [( x, y),( x, y)]
z f (u,v) u ( x, y)
v (x, y)
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
链式法则如图示 z f [( x, y),( x, y)]
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
v et u sin t cost
et cos t et sin t cos t
et (cos t sin t ) cos t
例5
设
u
eax(y z) a2 1
,
y a sin x, z cos x
z z u z v x u x v x
z f (u,v) u ( x, y) v ( x, y)
u
x
z
v
y
z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
z f [( x, y),( x, y),w( x, y)] z f u,v, w
u ( x, y) v ( x, y) w w( x, y)
解
m m u m v m v
x
u x
v
x
v
x
f1 1
f2 y
f3 yz
m m u m v m v
y u y v y v y
f1 0
f2 x
f3 xz
m m u m v m v z u z v z v z
f1 0
f2 0
f3 xy
例9
已知
z xy xF(u),u
z v v y
x u2 2u lnv ( y2 ) v ( 2 )
2x2
2x2
y3 ln( 3x 2 y) ( 3x 2 y)y 2
例 4 设 z uv sin t ，而u et ，v cos t ，
求全导数dz . dt
z z u z v x u x v x
du ? dx
解 du u u dy u dz dx x y dx z dx
aeax(y a2 1
z)
e ax a2
1
a
cos
x
(
e ax a2
) 1
(
sin
x)
例6 设z f ( x2 y2 ,e xy ) ,而u x2 y2 ,v e xy ,
求 z , z x y
z y
z u
u y
z v
v y
2u ( 1)
2v 1
4y
例3
设
z
u2 ln v
,而 u
x ,v y
3x 2y
,求
z x
,
z y
解
z x
z u
u x
z v
v x
2u
lnv
1 y
u2 v
3
2x
3x2
y2 ln( 3 x 2 y) ( 3x 2 y)y 2
z y
z u
u y
y, x
证明：x z x
y z y
z xy.
证： z
x
y
F(u)
xF(u) (
y x2
)
z x xF(u) 1
y
x
左=
x[
y
F(u)
xF (u)
(
y x2
)]
y[ x
xF (u)
1] x
2xy xF (u) z xy =右
得证
例 10 设w f ( x y z, xyz)， f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
z z u z v z w x u x v x w x
z
u v
x
z z u z v z w
wy
y u y v y w y
z f [( x, y),( x, y)]
z f (u,v) u ( x, y) v ( x, y)
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
z z u z v x u x v x
解
z x
f1 2x
f2 ye xy
z y
f1 2 y
f2 xe xy
例7
设w
f(
x,y yz
)，而 u
x ,v y
y z
，求
w x
, w y
, w z
.
z z u z v x u x v x
解
w w u w v x u x v x
解 令 u x y z, v xyz;
记
f1
f
(u,v) , u
f12
2 f (u,v) , uv
同理有 f2, f11, f22 .
w x
f u f v u x v x
f1 yzf2;
2w xz
z
(
f1
yzf2)
f1 z
yf2
yz f2; z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f1
1 y
f2 0
w w u w v y u y v y
f1 (
x y2
)
f
2
1 z
w w u w v z u z v z
f1 0
f2 (
y z2
)
例8 设m f(x,xy,xyz), u x,v xy,w xyz
求 m , m , m
x y z
z z u z v x u x v x
f11 xyf12;
f2 z
f2 u f2 v u z v z
f21 xyf22;
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
例11 设z y F ( x2 y2 ), 验证 y z x z x.