NO.8 量子力学基础参考答案

(B) 1 a
(C) 1 2a
解：概率密度 ψ ( x) 2= 1 cos2 ( 3πx )
Baidu Nhomakorabea
a
2a
将 x = 5a 代入上式，得 ψ (x) 2= 1 cos2 ( 3π ⋅ 5a ) = 1
6
a 2a 6 2a
(D) 1 a
5. 波长 λ = 5000 Å 的光沿 x 轴正方向传播，若光的波长的不确定量Δλ=10 −3 Å，则利用
2．不确定关系式 Δx ⋅ Δpx ≥ h 表示在 x 方向上
[ D ] (A) 粒子位置不能确定 (C) 粒子位置和动量都不能确定
(B) 粒子动量不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定
解：不确定关系式 Δx ⋅ Δpx ≥ h 微观粒子的位置和动量不能同时准确确定。
3．将波函数在空间各点的振幅同时变为原来的 1/M，则粒子在空间的分布概率将[ D ]
ΔE =
。
ΔE ⋅ Δt ≥ h 解：根据不确定关系
得到:
ΔE
[ T ] 5．如果两种不同质量的低速微观粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子
的动量相同，动能不同。
解：由 p = h ，二者 λ 相同，所以动量肯定相同；低速微观粒子，由经典关系，动能 λ
EK
=
p2
，所以动能会不同。
2m
二、选择题： 1．静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度 v 有如下关 系：
(A) 增大 M 2 倍
(B) 增大 2M 倍
(C) 增大 1/M 倍
(D) 不变
解：教材 208.波函数必须满足归一化条件。
4. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：
ψ (x) = 1 cos 3πx (−a ≤ x ≤ a) a 2a
那么粒子在 x = 5a 处出现的概率密度为 6
[ A ] (A) 1 2a
根据不确定关系 Δx ⋅ Δpx ≥ h ，得动量不确定量
6.63 ×10−34
( ) Δp ≥ h = Δx
2 × 3.14 0.1 × 10 −9
= 1.06 ×10−24 kg ⋅ m ⋅ s−1
所以有
Δp p
=
1.06 1.71
×10−24 × 10 −23
= 0.062 = 6.2%
如果用 Δx ⋅ Δpx ≥ h ，得到动量不确定量为：
Δx ≥ h = 25 ×109 Å=250cm Δpx
三、填空题：
1. 低速运动的质子 P 和α 粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的
动量之比 pp : pα ＝ 1:1 ；动能之比 Ep : Eα ＝ 4:1 。
解：由
p
=
h λ
，二者 λ
相同，所以
pp
:
pα
=1:1。
由经典关系，动能 E
=
[ C ] (A) λ ∝ v
(B) λ ∝ 1 v
(C) λ ∝
1−1 v2 c2
(D) λ ∝ c2 − v2
解：由德布罗意公式和相对论质 — 速公式有 p = h = mv = λ
m0v 1− v2
c2
得粒子物质波的波长 λ = h m0
1 − 1 ，即 λ ∝
v2 c2
1−1 v2 c2
故选 C
式变化。 解：例如电子也有衍射现象，这是微观粒子波动性的体现。与其轨迹、速度无关。
[ T ] 3．波函数Ψ 2 = cΨ1 ( c 为任意常数)，则Ψ1 与Ψ 2 描述的粒子状态相同。
解：教材 208.波函数必须满足归一化条件。
[ F ] 4．只有当粒子总能量高于势垒高度才能贯穿势垒。 解：教材222页，“隧道效应”:总能量低于势垒高度的粒子也能穿过势垒到达势垒另侧。
不确定关系 Δx ⋅ Δpx ≥ h 可得光子的 x 坐标的不确定量至少为：
[ C ] (A) 25cm
（B）50cm
(C) 250cm
(D) 500cm
解：由公式 p = h 知, △ p = − h Δλ = − h ×10−3
λ
λ2
5000 2
利用不确定关系 Δx ⋅ Δpx ≥ h ，可得光子的 x 坐标满足
又Q E 2 = p2c2 + E02 ,
∴p = 1 c
E 2 − E02 =
3mec
=
h λ
所以有 λ = h = p
h= 3mec
1 3
λc
。
3．同时测量动能为 1keV 的作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在
( ) 0.1nm 1nm = 10−9 m 内，则动量的不确定值的百分比 Δp / p 至少为
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《大学物理 AII》作业 No.8 量子力学基础
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、判断题：（用“T”表示正确和“F”表示错误） [ F ] 1．根据德布罗意假设，地球只有粒子性，没有波动性。 解：教材188页表16.1.1，宏观物体也有波动性，不过是其物质波波长太小了，所以其波 动性就难以显示出来，而微观粒子的物质波波长可以与这些例子本身的大小相比拟，因 此在原子大小的范围内将突出表现其波动性。 [ F ] 2．关于粒子的波动性，有人认为：粒子运行轨迹是波动曲线，或其速度呈波动
p2 2m
，所以 Ep
: Eα
=
mα
: mp
=
4 :1
2.
若令 λc
=
h mec
(称为电子的康普顿波长，其中 m e 为电子静止质量，c 为光速，h 为普
朗克常量)。当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是 λ =
1 3
λ
。
c
解：由题意 Ek = mc2 − m0c2 , 所以 E = mc2 = 2m0c2 = 2mec2
( ) Δp ≥
h Δx
=
6.63 ×10−34 0.1 × 10 −9
= 6.63 ×10−24
kg ⋅ m ⋅ s −1
Δp p
=
6.63 ×10−24 1.71 × 10 −23
= 0.39 = 39%
两个答案都正确
4．若一个电子处于原子某能态的时间 Δt = 10−8 s ，这个原子能态的能量的最小不确定值
。
(电子质量 me = 9.11 ×10−31 kg ，1eV = 1.60 ×10−19 J ，普朗克常量 h = 6.63 ×10−34 J ⋅ s )
解：电子的动能 Ek
= 1keV
= 1.6 ×10−16 (J)，又 Ek
=
P2 2me
，得电子的动量大小
( ) p = 2me Ek = 2 × 9.11×10−31 ×1.6 ×10−16 = 1.71×10−23 kg ⋅ m ⋅ s−1