约束条件在理论力学问题解决中的应用

第22卷

湖北师范学院学报(自然科学版)V o l 122第3期Journal of H ubeiN o r m al U niversity (N atural Science )N o 13,2002

约束条件在理论力学问题解决中的应用

朱　松　樊东红

(湖北师范学院物理系,湖北黄石　435002)

摘要:在理论力学问题的分析、解答过程中,理解、利用各种约束,特别是一些不易引起注意的运动约束,对寻找思路和解决问题有重大作用。除加强基本概念和基本规律的训练,建立和正确理解质点、刚体等模型之外,有必要强调约束条件的寻找和利用。

关　键　词:理论力学;约束;约束方程

中图分类号:O 313.3 文献标识码:A 文章编号:100922714(2002)0320104205

理论力学是大学物理专业的一门理论物理课。学生在学习本课程中往往对基本概念、基本规律的理解不易深透,解题感到困难,甚至无从下手。学生必须通过习题练习,才能加深对知识的理解,培养自己提出问题、分析问题、解决问题的能力。因此,以诱导学生理论联系实际,提高学习能力为主要目的的习题课成为理论力学教学过程中的重要一环。在辅导解题的过程中,除强调基本概念和基本规律的应用,培养将数学结果、文字描述化为清晰的运动或动力学过程图象的能力之外,引导学生学会利用约束条件往往成为他们解题的一个突破口。实际上,质点、刚体等模型的动力学过程都会受到除物理规律外某种条件的制约,这样才有了多姿多彩的运动变化。抓住一个这样的约束条件,就多提供一个方程,为问题的解决创造了条件。

下面谈谈本人在辅导学生利用约束条件时的一些体会。

1　利用适当的变换识别约束条件

有时,约束条件不明显或是不易引起注意,甚至让人觉得想当然而不能说明理由。这时,可通过物理规律来说明、验证或者将约束形式转换为另一种容易理解的形式

。

图1　杆在半圆周内滑动

例1　长为L 的杆AB 在一固定平面内运动。其A 端在半径

r (r ≤L

2)的固定圆周里滑动,而杆本身则于任何时刻均通过此圆周的M 点。试求杆的转动瞬心。

解　利用作图法。杆A 端轨迹为固定圆周,故V A ⊥OA ,切圆

周于A ;杆上点M 处速度V M 方向沿杆A B 向。则过点M 作M C ⊥

A B ,交A O 延长线于点C (如图1),点C 即为转动瞬心。

M 处的约束为运动约束,限制了杆A B 上M 处的动点M 的

速度取向。学生对固定圆周上约束——定点M 的作用有疑问,为

加深对这种约束的认识,以下从两个方面来解释。

以固定圆周上点M 为极点,极轴通过圆心O (如图1),则杆上距离杆A 端a 处点P 的极矢为〔收稿日期〕　2002—03—28

〔作者简介〕　朱　松(1971—　),男,硕士・

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Θ

=(2rcos Η-a )・Θ°,其中Θ°为M A 向单位矢。则Θ・=d Θd t Θ°+Θd Θ°d t

=-2r Η・sin ΗΘ°+ΘΗ・Η°其中Η°为垂直于Θ°向的单位矢,动点M 的极坐标ΘM =0,则V M =-2r Η・sin ΗΘ°+0・Η

・・Η°=-2r Η・

sin Η

・Θ°,即V M 沿垂直于A B 的径向分量为0。因此,求杆A B 瞬心时所用的作图法是可以理解的。还可以将点M 处的约束视为一个牵连运动。套筒M 的牵连运动为绕定点M 作定轴转动,则套筒上的点M 的牵连速度为0,故杆A B 上的动点M 的绝对速度沿杆向。2　利用约束来判断物体运动过程中的状态

有时,题设条件似乎不很充分,这时利用约束条件可以帮助确定刚体运动状态中的某些特点,从而使问题得到解决

。

图2　两杆滑向水平面

例2　两匀质细长杆A C 、B C 在C 端用铰链相接,铰链摩擦忽

略不计。两杆先由外力作用而静止于光滑水平面上,点C 离地面

高h (如图2)。当外力突然撤去,求C 端触地瞬间的速度。

解　设A C 杆长l 1,质量m 1,B C 杆长l 2,质量m 2。在触地瞬间

A C

B 可视为水平拉直,点

C 速度V C 垂直向下,点A 、B 的速度都

为0,且分别为杆A C 、B C 的转动瞬心。则触地瞬间的动能:

T A C =12I A Ξ2A C =12×13m 1l 21(V C l 1)2=16

m 1V 2C T B C =12I B Ξ2B C =12×13m 2l 22(V C l 2)2=16

m 2V 2C 取地面为零势面,匀质杆势能为U =12

(m 1+m 2)g h ,由机械能守恒:12(m 1+m 2)g h =16m 1V 2C +16m 2V 2C =16

(m 1+m 2)V 2C 则V C =3g h

C 端触地瞬间,点A ,B 各为杆A C 、B C 的转动瞬心,且点C 速度V C 垂直向下,这是由多个约束决定的。地面约束点A ,B 运动轨迹在水平面,即V A 、V B 水平。又A C 为刚性杆,决定了杆上任意两点的绝对速度在杆向投影相等。设触地瞬时,点C 在水平向速度为V H ,杆A C 拉成水平,则必有V A =V H 。同理,有V B =V H 。即A C 、B C 杆在水平方向上的速度相同。又水平方向上动量守恒,两杆在水平向上的动量为0,则有:(m 1+m 2)V H =0。故V H =V A =V B =0,点A 、B 就分别为A C 、B C 的瞬心。

如果不注意光滑平面的约束性质以及运动的刚体(这里是刚性杆)本身的运动特征(不妨将其视为限制刚体运动的一种约束),求解此题难以理解。

3　注意分析过程中约束的变化情况

例3　质量为m 1的质点,沿倾角为Η的光滑直角劈滑下,劈的本身质量为m 2,又可在光滑水平面上滑动。求:(a )质点水平方向上的加速度x ¨1;(b )劈的加速度x ¨2;(c )质点对劈的作用力R 1;(d )水平面对劈的反作用力R 2。(参考文献[1]第151页题2.4)

解　如图3(a )建立定坐标系X O Y ,则质点m 1(x 1,y 1),质点m 2(x 2,y 2)。取m 1为研究对象,以m 2为动系,将m 1运动分解为按m 2平动和沿m 2斜面Σ向下滑。有:

a 1=a 2+a Σ=x ¨2i +a Σ(1)

向Σ向投影有:a 1Σ=x ¨

2co s Η+a Σ,而Σ向m 1受合外力为m 1g sin Η,故有:

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