4可靠度实用计算方法

(μR＋ R’ σR ) － (μS＋ S’ σS ) ＝0
R’ σR － S’ σS ＋ μR － μS ＝0
R ' R S ' S R S 0
R 2S2
R 2S2
R 2S2
R’ cosθR S’ cosθS －β=0
cosR
R R2 S2
cosS
S R2 S2
R S R2 S2
由于P*点在极限状态
直线上，所以（R*，S*）
也必然满足
Z = R*-S*=0
2.多个正态随机变量的情况
设结构的极限状态方程为Ｚ＝g (x1, x2,·····, xn) ，
x1, x2,·····, xn 服从正态分布且相互独立。
它表达为坐标系OX1, X2,·····, Xn中的一个曲面，这 个曲面把 n 维空间分成安全区和失效区两个区域。
这种方法被国际安全联合委员会（JCSS）推荐采用， 因此，亦称ＪＣ法。
作为对中心点法的改进，主要有两个特点：
（１）当功能函数Z为非线性时，不以通过中心点的超切
平面作为线性近似，而以通过Z＝0上的某一点X* (x1*,
x2*,·····, xn*)超切平面作为线性近似，以避免中心点方法 中的误差。
首先，由于影响结构可靠性的因素很多，极为复杂，有些因
素的研究尚不够深入，因此在现有条件下，没有充足的数据 来确定n个基本随机变量的联合概率密度函数，甚至也很难有 足够的数据保证边缘分布函数和协方差是可信的；
其次，即使联合概率密度函数是已知的，但当变量较多或功 能函数为非线性时，上式确定的积分也会亦得相当复杂。
另一类是与结构或构件抗力的有关参数，如材料强度、截面尺寸、连 接条件等。
它们共同构成了结构设计的基本变量，它们的统计规律构成 了可靠性理论的基础。我们就把这些决定结构静态或动态反 应的设计参数，定义为结构设计基本随机变量。
以R表示结构的抗力－结构的承载力或允许变形；
以S表示结构的作用效应－由结构上的作用所引起的各种内力、 变形、位移等；
求该拉杆的可靠指标。 解：（１）采用极限荷载表示的极限状态方程
Zg(fy,d,p)d 42 fyp0
Z
g(fy , d , p )
4
d2 fy
p
26569.24N
fy
g f y
|
fy
4
d2
4125.54N
d
g d
| d
2
d
fy
5156.92N
p
g p
|
p
6250N
Z
n
[ Xi
间分为结构的可靠区和失效区，Ｚ＝０所对应的曲面称为
失效边界。中心点Ｍ位于结构的可靠区内
z g(mX1,mX2,,mXn)
z
n [(Xi
i1
mXi
) g Xi
mXi
]2
中心点法的最大特点是：
计算简单，运用中心点法进行结构可靠性计算时，不 必知道基本变量的的真实概率分布，只需知道其统计 参数：均值、标准差或变异系数，即可按上式计算可
4.3 ＪＣ法 (验算点法 )
为了克服中心点法的不足，哈索弗尔和林德N.C. Lind 、拉克维茨R. Rackwitz和菲斯莱(Fiessler) 等 人提出验算点法。
它的特点是：
（１）能考虑随机变量的实际分布类型，并通过“当量 正态化”途径，把非正态变量当量化为正态变量；
（２）线性化点不是选在平均值处，而是选在失效边界 上，并且该线性化点（设计验算点）是与结构最大可能 失效概率相对应的。
（２）当基本变量xi 具有分布类型的信息时，将xi 的分 布在 (x1*, x2*,·····, xn*)处以与正态分布等价的条件，变 换为当量正态分布，这样可使所得的可靠指标与失效概 率之间有一个明确的对应关系，从而在β中合理地反映了 分布类型的影响。
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这个特定点(x1*, x2*,·····, xn*)我们称之为验算点。
（2）大多数电子和机械部件是大批量生产，并且名义上可 假定是相同的，可用相对频率来解释失效概率。但对于土木 工程结构，现场施工而成，并非是大批量生产。用相对频率 来解释失效概率的处理方法显然是不合适的。
工程结构设计大致可以分为两个步骤：
第一步是选择合理的结构方案和型式，
第二步是设计结构或构件截面
（1）大多数电子、机械部件和系统，在使用过程中由于温 度升高、机械磨损、疲劳、超负荷和其他原因而损坏，因此 考虑它们的寿命是很自然的。除了由于腐蚀和疲劳机理而破 坏之外，土木工程结构体系不是被逐渐破坏的，甚至在某些 情况下它的强度会增强，例如混凝土的强度随龄期增加，土 壤的强度由于固结而增大。因此它们一般不是在使用中失效。
Z ' g 1(u 1 *,u 2 *, ,u n *)i n 1(U i u i*) U g 1 i|P *
由于P*是Ｚ＝(·)＝0上的一点，因此 g1(u1 *,u2 *,,un *)0
则得超切平面的方程式为
Z' i n1(Ui ui*)U g1i |p*
类似于两个正态随机变量的情况，此时的可靠指标β是标准化
极限状态方程为
n
g
Zg(m x1,m x2,,m x) ni 1(X im x)i X i m x i 0
平均值和方差为
m Z g (m x 1 ,m x 2 ,,m x) n
2 Z
n
[(Xi
i1
m xi
) g Xi
mxi
]2
点M＝(μX1 , μX2 ····· μXn) ，称为Ω的中心点，它以各基本变 量的均值为坐标。极限状态方程Ｚ＝０所对应的曲面将空
在验算点法中,β的计算就转化为求OP*的长度。 cosθR与cosθS是法线OP*对坐标向量R及S的方向余 弦，垂足P*是极限状态方程上的一点,称为“设计 验算点”。
在满足Z =R － S ＝ 0 的各组(S,R)中,设计验算点是最 有可能使结构发生失效的一组取值。
P*的坐标分别为：
R’ = β cosθR S’ = β cosθS
4.2 中心点法
该法首先将结构功能函数在随机变量的平均值（中 心点）算用泰勒级数展开并取线性项，然后近似计 算功能函数的平均值和标准差。可靠指标直接用功 能函数的平均值和标准差之比表示。
设结构的功能函数为 Ｚ＝g(X1 , X2 ·····Xn) 极(Ωi=中限1的,状2,点…态,。n方)生程成为的空Ｚ间＝记g为(XΩ1 ,，X2(,X··1··,·XX2n),·=··0··，X其n) 中表Ｘ示i
正态空间坐标系中原点到极限状态曲面的最短距离，也就是 P*点沿其极限状态曲面的切平面的法线方向至原点的长度。 如图3所示为三个正态随机变量的情况，P*为“设计验算点”。
n i 1
g1 U i
|P*
u
* i
n
i 1
g1 U i
2
| P *
1、两个正态随机变量的情况
设结构极限状态方程为 Z =g ( R , S ) ＝ R － S ＝ 0 在 SOR 坐标系中,极限状态方程是一条过原点的直线,它的倾
26 .8 MPa
d
g d
| d
8
p
3 d
16 .24 MPa
p
g p
|
4
2 d
p
40
.60
MPa
z
n
[
i1
Xi
g X i
| ]2
51 .29 MPa
可靠指标为
z z
3.37
计算表明，对于同一问题，当采用不同 型式的极限状态方程时，可靠指标值不 同，甚至相差较大（如本例），这就是 前面所提不能抑制中心点法的严重不足 之处。
（３）对有相同力学含义但不同表达方式的极限状 态方程，由中心点法计算的可靠指标可能不同。
算例
有一根圆截面拉杆 材料的屈服强度fy 的均值和标准差分别为
μfy＝355MPa，σfy＝26.8MPa
杆件直径d的均值和标准差分别为
μd＝14mm，σd＝0.7mm， 承受拉力Ｐ的均值和标准差分别为
μd＝25KN，σd＝6.25KN，
按泰勒级数展开
Z g ( m x 1 ,m x 2 ,,m x) n i n 1 ( X i m x) i X g im x i i n 1 ( X i 2 m x i) 2 X 2 g i 2 m x i
取线性项，做线性化处理
Zg(m x1,m x2,,m x) ni n 1(X im x)i X g i m xi
i1
g Xi
| ]2
可靠指标为
4125.542 5156.922 (6250)2 9092.66N
z 2.92 z
（２）采用应力极限状态方程
4p
Zg(fy,d,p)fyd20
因此 z g fy , d , p
fy
4 p
2 d
172 .60 MPa
fy
g f y
|
fy
则判断结构是否可靠的功能函数为Z＝g(R,S)=R－S
结构不能完成预定功能的概率为失效概率，表示为Pf ：
P f P Z 0 fx d x fx 1 ,x 2 ,,x n d 1 d 2 x d x n x
F
x ,x 2 ,.x n 1 . F .,
利用上式计算结构的失效概率当然是最理想最精确的，但是 在实际应用中却有以下困难：
靠指标值以及失效概率Ｐ 。 f
若值β较小，即Ｐf 值较大时，Ｐf 值对基本变量联合 概率分布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的Ｐ
值大致在同一个数量级内；
f
若β值较大，即Ｐf 值较小时，Ｐf 值对基本变量的联
合概率分布类型很敏感，此时，概率分布不同，计算
出的Ｐ 值可在几个数量级范围内变化。 f
中心点法存在以下不足：
（１）不能考虑随机变量的实际分布，只取用随机 变量的一阶矩（均值）和二阶矩（方差），可靠指
标 β ＝1.0～2.0的结果精度高；当Ｐf <10-5 时，使
用中心点法必须正确估计基本变量的概率分布和联 合分布类型。因此计算结果比较粗糙；
（２）对于非线性结构的功能函数，由于随机变量 的平均值不在极限状态曲面上，进行线性化处理展 开后的线性极限状态平面，可能会较大程度地偏离 原来的可靠指标曲面；所以误差较大，且这个误差 是无法避免的。
对于大多数问题不存在解析解，人们通常采用一些近似方 法来求出结构的可靠指标。
当R、S 相互独立，且均服从正态分布时，则Z＝R－S 也
服的从关正系。态分布，结构可靠指标与失效概率Pf 具有一一对应
Pf 11P f
z
R
s
z
2
2 z R S
R
S
z
R2 S2
在一般情况下，一阶矩（均值）和二阶矩（标准差）是比 较容易得到的参数，故国内外目前广泛采用均值(一阶原 点矩)和标准差(二阶中心矩)来计算结构可靠度。当结构功 能函数为非线性函数时，则设法对其进行线性化处理。具 有这种特点的方法称为一次二阶矩法（FOSM）。
角为45°如图(1)所示。 对随机变量 R 和 S 进行标准化变换，得到（参见图(2)）
R
R-S=0
45°
S
R' R R S' S S
R
S
原坐标系和新坐标系之间的关系为
R＝μR＋ R’ σR S＝μS＋ S’ σS 将式（2）带入极限状态方程 R － S ＝ 0中，可得新坐标系 中的极限状态方程为
设功能函数Ｚ＝g
(x1,
x2,·····,
xn)按
Ui
Xi Xi Xi
将X空间变换到Ｕ空间，得 Ｚ＝g1(U1,U2,…,Un)
可靠指标在几何上就是U空间内从原点Ｍ（即中 心点）到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。在超 曲面Ｚ＝0上，离原点Ｍ最近的点P*(u1*,u2*,····,un*)
即为验算点。这样很容易写出通过验算点P*在超 曲面Z＝0上的超切平面的方程式
对随机变量 x1 ( i =1,2, …n)进行标准化转换，得到
标准化正态随机变量
Xi '
Xi X i xi
则极限状态方程在坐标系OX’1, X’2,·····, X’n中表达
4 结构可靠度指标的 实用计算方法
4.1结构可靠性分析的基本概念和原理
结构可靠性分析是基于事物具有不确定性这样一个基本观点， 利用适当的数学模型建立这些不确定性与结构性能之间的联 系，则是结构可靠性理论所研究的主要问题。工程结构可靠 性分析与广泛应用于电子学、机械学等领域的可靠性分析有 其自身的一些特点：
１）选择合理的结构计算模型（计算简图）；
２）荷载与内力计算及荷载效应组合
３）结构或构件截面设计与验算； ４）确定合理的截面尺寸与材料用量等。
当结构计算模型选定后，需要涉及许多参数。这些参数可归 纳为主要的两大类：
一类是与结构或构件的作用效应或荷载效应的有关参数，包括施加在 结构上的直接作用或引起结构外加变形或约束变形的间接作用，如结 构承受的设备、车辆及施加于结构的刚荷载、雪荷载、土压力、温度 作用等。