奥数-绝对值-(5)学

第五讲 绝对值

绝对值是初一代数中一个重点内容，它是一种新的运算符。很多同学对于求解绝对值问题感到很繁琐，这主要是因为求解绝对值问题涉及到了一个重要的数学思想——分类讨论。分类讨论在数学分析中是经常遇到的，今天我们通过对绝对值的化简、求方程根、解不等式、分析极值等来练习分类讨论，一定要熟练掌握！为今后利用分类讨论思想解题打下基础。

一. 基本概念和公式

a) 绝对值的定义（注意它的非负性）

绝对值的定义用文字叙述为：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 绝对值的定义用公式表示为：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

例 若1x -与2(2)y +互为相反数，试简化2005()x y +

b) 绝对值的几何意义

一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

①) a 表示a 点到0点的距离

②) a b -表示a 点到b 点的距离

③) a b +表示a 点到-b 点的距离

c) 分类讨论思想（零点分段法）

利用绝对值的定义，讨论绝对值符号内代数式值与0的大小关系，将绝对值符号打开，再进行运算。

例 设a 是有理数，求a a +的值

二、难点回顾

难点：1，几何意义

2，零点分段法

三、典型例题

A) 化简

例1 若20a -≤≤，化简22a a ++-

例2 化简523x x ++-

B) 解方程

例3 解方程 1、4329x x +=+

2、324x x -+=

例4 解方程 23143x x x +--=-

C) 解不等式

例5 解下列不等式1、45x ->

2、31425

x x ++>

例6 解不等式362586x x x -+-<-

例7 解不等式23239x x --+<

D) 最值问题

例8 已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值

例9 已知5434x x -≤-，求13x x --+的最大值与最小值

E) 带参数的问题

例10 已知22430y ax y x -+--=，问a 为何值时，x 为负值？

例11 解关于x 的不等式11ax ax ->-

F) 几何意义

例12（第10届，希望杯）已知0a 4≤≤，那么|a 2||3a |-+-的最大值等于（ ）

A 1

B 5

C 8

D 3

例13 设a b c <<，求y x a x b x c =-+-+-的最小值

G ）应用题

例14（1998，湖北荆州市）某城镇沿环形路有5所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15台、7台、11台、3台、14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给临校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，若甲小给乙小-3台，即为乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最少，应做怎样安排？

四、课后练习题

练习1 若3x y -+与1999x y +-互为相反数，求

2x y x y

+-的值

练习2 化简3223x x -++

练习3 化简121x x --++

练习4 解下列方程

1、4835x x +-=

2、33258x x x +--=+

练习5 解下列不等式

1、4231x x ---≤

2、2424x x +>+

练习6 已知1x ≤，试求22x x --+的最大值和最小值

练习7 设0a >，求下列不等式的解

1、x a >

2、x a ≤

3、0x a <≤

练习8 设a b c d <<<,求y x a x b x c x d =-+-+-+-的最小值

补充题1 已知m 、n 为整数，且21m m n -+-=，那么m n +的值为多少？

补充题2 已知1996y x a x x a =-+++--，如果1996a <<，96a x ≤≤，那么y 的最大值是多少？

补充题3 已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______

补充题4若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值．