1静电场标势及微分方程

第二章 静电场

带电体系：电荷静止，所激发的电场不随时间变化；

给定自由电荷的分布以及周围空间介质或者导体的分布，运用电磁场理论求解这样的带电体系的电场。

§1 静电场的标势及其微分方程 1、 静电场的标势——静电势 麦克斯韦方程

0 , ,=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-

=⨯∇=⋅∇B t

D J H t

B E D

ρ

静电条件：

()0

0==∂∂

J t 物理量 将静电条件代入麦克斯韦方程得到

00

=⋅∇=⨯∇=⋅∇=⨯∇B H D E

ρ

✧ 在静电条件下，电场和磁场相互独立，可以分开求解；

✧ 静电场是无旋场；自由电荷分布是D

的源。

解决静电问题的基本方程： 微分方程

0 =⨯∇=⋅∇E D ρ +边界条件

f D D n σ=-⋅1221

+介质的电磁性质方程

静电势的定义：

静电场的无旋性是静电场的一个重要的特征，其积分形式为

0d =⋅⎰l E L

——（1.3）

“电场沿任一闭合回路的线积分等于零。”

将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功

⎰

⋅2

1

d P P l E

将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功与具体的路径无关，只与起点和终点有关。 0d =⋅⎰l E L

0d d 21

=⋅+⋅⎰⎰-C C l E l E

0d d 21

=⋅-⋅⎰⎰C C l E l E

⎰⎰⋅=⋅2

1

d d C C l E l E

利用这一特点，引入电势的概念，是空间位置的标量函数（标势）； 定义两点间的电势差为

⎰⋅-=-21

d )()(12P P l E P P

ϕϕ ——（1.4）

推论：

如果电场对（单位）正电荷做正功，则电势降低；

只有两点的电势差才具有物理意义； 如果知道空间的电场的分布，则可以计算空间任意两点间的电势差；

实际的计算中为了方便，常选取某个参考点，规定该点的电势为零，这样整个空间里的电势就有一个确定的值。

如果电荷分布在有限的空间里，则可以取无穷远处的电势为零，即

()0=∞ϕ

这样空间P 点的电势为

()⎰

∞

⋅=P

l E P d ϕ

相距为l

d 的两点的电势的增量为

l E d

d ⋅-=ϕ

式中

()l

z y x z y x z

z

y y x x z y x y y x

d d

e d e d e e e e d d d d ⋅∇=++⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕϕϕϕϕ

从而得到，

ϕ-∇=E

——（1.5）

如果知道了空间电势的分布情况，则可采

用上式计算电场强度的分布。 点电荷的电势分布情况： 点电荷的电场分布

()r r Q r E 3

04πε=

()r

Q r r Q r r r Q r E l

E P r

r r

P 0203

04'd '

4 'd ''4 '

d d πεπεπεϕ=

=⋅=⋅=⋅=⎰

⎰⎰⎰∞

∞

∞∞

多个点电荷所激发的电场的电势为每个点电荷所激发电场的电势的代数和。

()∑

=i

i i r Q P 04πεϕ

对于电荷连续分布的情况：

()()V

r

x x V

d 4'0⎰

=περϕ x

代表场点的位置坐标；

'x

代表电荷源()V x d ' ρ的位置坐标；

r 代表从源点到场点的距离。

电荷为线分布，则电势可表示为

()()l

r x x L d 4'0

⎰=πελϕ

如果空间中的电荷分布都给定，则可根据此公式求出空间里电势的分布，然后求得电场的分布；

实际问题中，往往不是所有的电荷的分布都能预先给定的。

例题：均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为λ，求电势分布。 解：设场点P 到导线的垂直距离为R ，电荷元z d λ到P 点的距离为 EMBED

Equation.3

2

2R z +。根据电

势的计算公式

()()l

r x x L d 4'0

⎰=πελϕ

得到

()()

∞+∞

-∞

+∞

-++=+=⎰

220

2

2

0ln 4 d 4R

z z z

R

z P πελπελ

ϕ

()2

22

2

02

22

2

01111ln

lim 4 ln

lim 4Z R Z R R Z Z R

Z Z P Z Z ++-++=++-++=∞→∞→πελπελϕ

由于电荷的分布不是在有限的区域，导致上述积分发散。实际上，有意义的只是两点间的电势差。

()()⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛++-++-⋅

++++=

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛++-++-++-++=

-∞→∞→22220220220

220220

22220011111111ln lim 41111ln

1111ln lim 4Z R Z R Z R Z R Z R Z R Z R Z R P P Z Z πελπελϕϕ利用近似公式

)( 1)1(为小量δδδn n

+≈+

得到

()()()R R R R Z R Z R Z R Z R P P Z ln ln 2ln 4 212212ln lim 400

22002

22202

2

022

00-=

=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=-∞→πελ

πελπελϕϕ 如果取0P 点为零电势点，即()00=P ϕ，则有

()()R R P ln ln 200

-=

πελ

ϕ