多元函数的极值与最值

（1）求 在 D 内部的所有可能极值点，并计算其函
数值；
f (P)
（2）求 在 D 的边界上的最值；
f (P)
（3）将函数在 D 内部的所有可能极值点处的函数值及
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在 D 的边界上的最值相互比较，其中最大者即为
最大值，最小者即为最小值.
2．求多元函数最值的应用问题的方法
在实际问题中，如果根据问题的性质就可以断定目标 函数 f ( x, y)的最大值或最小值一定存在，而且一定在 D 的 内部取得，而 f ( x, y)在 D 内只有一个驻点，那么可以断定 该驻点处的函数值就是要求的最值．
z ，f ( x, y)
.
【注】 10 使 fx ( x0, y0 ) 0, f y ( x0, y0 ) 0 同时为零的点 称为函数 f ( x, y) 的驻点．
( x0 , y200) 可偏导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定 是极值点．
30 对于一般的二元函数，偏导数不存在的点也可能 是极值点．
AC B2 0
3．求二元函数
极值的一般步骤：
（设 f ( x, y)具有一阶及二阶连续偏导数）
第一步：求
的一阶及二阶偏导f数( x；, y)
第二步：解方程组
，求得
的驻点；
第三步：对于每一个驻点
的值 A、B、C，定出 判定是否是极值.
，求出二阶偏导数 的符号，再
二、多元函数的最值
1．求多元连续函数 f (P)在有界闭区域 D 上的最值的 一般方法与步骤
2．二元函数取得极值的充分条件
设函数 偏导数，且
在点 ,
的某邻域具有一阶及二阶连续
，z 令f ( x, y)
，
，
，
则（1）当 且当
时，
是极值，
时为极大值， 当
时f x为( x极0 , y小0 )值；0
（2）当
时，
不是极值；
（3）当 还需另作讨论．
时，
可能是极值,也可能不是极值，
f xx ( x0 , y0 ) A
限制条件多于一个的情形．如：
求函数
在条件
，及
下的极值，则应构造如下拉格朗日函数：
．
u f (x, y,z)
三、多元函数的条件极值
1．条件极值的求法
（设目标函数为z f ( x, y)，限制条件为 ( x, y) 0．）
方法1 转化法——将条件极值转化为无条件极值
若由
可解出
，则二元函数
在条件
下的极值可( x转, y)化为0 一元
函数
的无条件极值．
方法2 拉格朗日乘数法
第一步：作拉格朗日函数
，
其中 为参数．并求偏导数：
，
第二步：解方程组
求得
在条件
Lx f x ( x, y) x ( x, y)
下的可能极值点的坐标.
第三步：判别第二步中求得的可能极L值y 点 是f y (否x,为y)函数 y ( x, y
在条件
下的极值点.
（在实际问题中，往往可以根据实际问题的性质判别）
fx(x
【注】拉格朗日乘数法可推广到目标函数的自变量多于两个，
第六讲 多元函数微分学
§6.1 偏导数与全微分 §6.2 多元复合函数与隐函数的求导法则 §6.3 方向导数与梯度 §6.4 微分法的几何应用 §6.5 多元函数的极值与最值
§6.5 多元函数的极值与最值
▲内容要点
一、多元函数的极值
1．二元函数取得极值的必要条件
设函数
在点
处有极值，则必有
具有偏导数，且在点