离散傅里叶变换DFT总结

傅里叶变换
时域
频域
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
一、连续时间，连续频率——傅里叶变换 (FT)
这是连续时间，非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续 的、非周期的频谱密度函数X(j? )。
? X ( j? ) ? ? x ( t )e ? j? t dt ??
则n1为n对N的余数。
例如，~x(n)是周期为N=9的序列，则有： ~x(8) ? x((8))9 ? x(8) ~x(13) ? x((13))9 ? x(4) ~x(22) ? x((22))9 ? x(4) ~x(?1) ? x((?1))9 ? x(8)
利用前面的矩形序列RN(n)，式可写成
?
? X (e j? ) ? x(n ) ?e? j? n n? ? ?
? x(n ) ? 1 ? X(e j? )e j? nd?
2? ? ?
时域离散，将导致频域周期化， 且这个周期是? s。
时域离散
频域周期
四、离散时间，离散频率——离散傅里叶变换 (DFT)
上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的， 不 适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计 算机运算。
jk ?
0)
?
1 T0
T0 / 2 x ( t )e ? jk? 0t dt
? T0 / 2
?
? x(t ) ?
X ( jk?
)e jk? 0t
0
k?? ?
其中，
?
0
?
2? F 0
?
2? T0
X(jK ? 0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。
时域周期
频域离散
三、离散时间，连续频率——序列的傅里叶变换 (DTFT)
?
1?
?
2e
j 2? 5k
10
?
1?
2(? 1)k
（2）X(k)乘以一个WNkm形式的复指数相当于是 x(n)圆周移位m
点。 本题中m=-2, x(n)向左圆周移位了2点， 就有
y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)
DFT实际问题
（1）混迭
对连续信号 x(t)进行? 数字处理前，要进行采
X (2) ? 1 ? 2W42 ? 3W44 ? 4W46 ? 1 ? 2W42 ? 3 ? 4W42 ? 4 ? 6W42 ? ? 2
X (3) ? X * (1) ? ? 2 ? 2 j
例 2-8 一个有限长序列为
x(n) ? ?(n) ? 2?(n ? 5)
（1） 计算序列x(n)的10点离散傅里叶变换。 （2） 若序列y(n)的DFT为
N n?0
?
?1 ? ?0
m? k m? k
例1 设 ~x(n为) 周期脉冲串
?
~x(n) ? ? ? (n ? rN ) r ? ??
（3-8）
因为对于0≤n≤N-1， ~x(n) ?, ?所(n)以 利 用 式 （ 2-6 ） 求 出
~x(n) 的DFS系数为
? ? ? X~ (k) ? N?1 ~x(n)WNnk ? N?1 (n)WNnk ? 1
k=0, 1, …, N-1
δ(n) 的X(k) 如图 2-9 。这是一个很特殊的例子，它表明对序 列δ(n)来说，不论对它进行多少点的DFT，所得结果都是一个离 散矩形序列。
??(n)
1
X(k) 1
0
n
01 2
… N－1 k
图2-9 序列δ(n)及其离散傅里叶变换
例 2 已知x(n)=cos(nπ/6)是一个长度N=12的有限长序列， 求 它的N点DFT 。
1 傅氏变换的几种可能形式 2 周期序列的DFS 3 DFS的性质 4 DFT--有限长序列的离散频域表示 5 DFT的性质 6 DFT的实际应用问题 7 FFT典型用法
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。
傅氏变换
离散量化
信号处理
DFT(FFT)
傅里叶变换的几种可能形式
o Tp
x(nT)
To N点
xp(n)
频域函数
连续和非周期
|Xa( j? )|
1
非周期和连续
t
(a )
－? 0
连续和周期
(b) t
离散和非周期
o
?0
?
|Xp( jk?? )|
非周期和离散
o |X( ej? ?)| 1/T
k?
周期和连续
nT
(c)
－?
离散和周期
o
?
?
|X( ejk? ?s)| 周期和离散
n?0
n? 0
（3-9）
在这种情况下，对于所有的k值 X~(k) 均相同。于是，将式
（3-9）代入式（3-7）可以得出表示式
? ? ? ? ?
~x(n) ?
r ? ??
(n ? rN ) ?
1 N
N ?1 k? 0
WN? nk
?
1 N
N ?1 j 2? nk
eN
k?0
（3-10）
例2 已知周期序列 X~ (k) 如图3-2所示，其周期N=10, 试求
x(n) ? ~x(n)RN (n)
同理，频域的周期序列 X~(k) 也可看成是对有限长序列X(k)的 周期延拓，而有限长序列X(k)可看成是周期序列 X~(k) 的 主 值 序
列，即:
X~ (k) ? X((k))N
X(k) ? X~ (k)RN (k)
我们再看表达DFS与IDFS：
? X~ ( k )
之间彼此并不重叠，故上式可写成 x~(n) ? x(n m N) o?dx((n))N
x(n)
0
N－1
n
~x(n)
－N
0
N－1
n
主值区间
图2-8
用((n))N表示（n mod N），其数学上就是表示“ n对N取余 数”， 或称“n对N取模值”。 令
n ? n1 ? mN
0≤n1≤N-1, m为整数
?
DFS[ ~x(n)]
?
N?1
~x ( n )WNnk
n?0
? ~x(n) ?
IDFS[ X~ (k)] ?
1 N
N ?1 X~ (k)WN? nk
k?0
这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值 区间进行，它们完全适用于主值序列 x(n)与X(k)，因而我们可以 得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义:
此外，值得强调得是，在使用离散傅里叶变换时，必须注意 所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的。 换句话说，离散傅里叶变换隐含着周期性。
例1 已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。
解 单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式（2-30）得 到：
N ?1
? X(k) ? ? (n)WNnk ? WN0 ? 1 n?0
x(n)
?
?? ?
x~(n)
0? n? N?1
??0 其他n
?
~x(n) ? ? x(n ? rN ) r ? ??
这个关系可以用图2-8来表明。通常把 ~x(n) 的第一个周期n=0
到n=N-1 定义为“主值区间”， 故x(n)是~x(n)的“主值序列”，即
主值区间上的序列。而称~x(n)为x(n)的周期延拓。对不同 r值x(n+rN)
X(k)
?
??6 ?
k ? 1,11
??0 其他k, k ? [0,11]
x(n)
X(k)
0 12
11 n
01
11 n
图 2-10 有限长序列及其DFT
例：求序列：x(n) = ?(n)+2 ?(n-1)+ 3?(n-2)+4 ?(n-3)
的4点DFT。
N ?1
? X (k ) ? DFT [ x(n )] ? x(n)WNnk
解 由DFT的定义式（2-30）
? ? X(k) ?
11 n?0
cos
n?
6
W nk 12
?
11 n? 0
1 2
????e
n?
j 6
?
?
n?
j
e6
????e
?
j
2?
12
nk
? ? ?
1 2
????
11 n? 0
?
e
2?
j 12
n ( k ?1)
?
11 n?0
?
e
j
2?
12
n
(k
?1)
????
利用复正弦序列的正交特性，再考虑到k的取值区间，可得
ห้องสมุดไป่ตู้
4 ? j 2? nk
e 10
n?0
n?0
| ~x(k) |
5
（3-11） （3-12）
…
…
－101 234 5 678 9 10
15
20
k
图 3-3 图3-2所示序列的傅里叶级数系数 X~(k) 的幅值
有限长序列离散傅里叶变换（DFT ）
DFT 的定义
上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义， 因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有 限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导 得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT）。
x(t) ?
1 2?
?? ??
X ( j?
)e j? t d?
时域连续 时域非周期
频域非周期 频域连续
二、连续时间，离散频率——傅里叶级数 (FS)
这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、 非周期的频谱密度函数X(j? )。例如信号x(t)=sin100?t只有 一个频率分量。
? X (
解它的傅里叶级数系数 X~ (k) 。
… －10
0 12345 6 7 8 9 10
~x(n)
…
n
图3-2 例3-2的周期序列~x(n（) 周期N=10）
? ? 由式（3-6） X~ (k) ? 10?1 ~x(n)W1n0k ?
4 ? j 2? nk
e 10
n?0
n?0
这一有限求和有闭合形式
? ? X~ (k) ? 10?1 ~x(n)W1n0k ?
乘
离散和周期
DFT
周期和离散
问题： (9) 和(5)不同呢？ Answer ：周期延拓
旋转因子WN的性质
?
WN
?
e?
j
2?
N
1.周期性
WNn
?
W ( n ? rN ) N
2.共轭对称性 WNn ? (WN? n )*
3.正交性
? ? 1
N
N?1
WNkn(WNmn)*
n?0
?
N?1
1 (m?k)n WN
3
n?0
? ? x(n )W4nk (0 ? k ? 3)
n?0
(0 ? k ? N ? 1)
? 1 ? 2W4k ? 3W42k ? 4W43k (0 ? k ? 3)
X (0) ? 1 ? 2W40 ? 3W40 ? 4W40 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 1
X (1) ? 1 ? 2W41 ? 3W42 ? 4W43 ? 1 ? 2W41 ? 3 ? 4W41 ? ? 2 ? 2W41 ? ? 2 ? 2 j
设x(n)为有限长序列，长度为 N，即x(n)只在n=0到N-1点上有 值，其他n时，x(n)=0。即
x(n)
?
?? ?
x(n)
0? n? N?1
??0 其他n
为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为 N的周期序
列 ~x(n)的一个周期，而把~x(n)看成x(n)的以N为周期的周期延拓，
即表示成:
思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样， 人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
时域离散、周期
频域周期、离散
变换类型
傅里叶变换 (FT)
时域函数
xa(t)
－?
o
?
xp(t)
傅里叶级数 (FS)
序列傅里叶变换 (DTFT)
j2k 2?
Y(k) ? e 10 X(k)
式中，X(k)是x(n)的10点离散傅里叶变换，求序列y(n)。
解 （1） 由式（2-30）可求得x(n)的10点DFT
N ?1
10?1
? ? X(k) ? x(n)WNnk ? [? (n) ? 2? (n ? 5)]W1n0k
n?0
n?0
?
1?
2W150k
办法：时域采样
DFT
离散和周期
周期和离散
问题：怎样时域采样呢？
办法：时域相乘，频域卷积
问题：依然不能被 计算机处理
时
频
域
办法：频率采样
域
相
卷
乘
DTFT
积
离散和非周期
周期和连续
IDFT
离散和周期
周期和离散
问题：怎样频域采样呢？
办法：频域相乘，时域卷积
计算机能够处理
时
问题解决！
频
域
域
卷
相
积
IDFT
离散傅里叶变换
(DFT)
o N点
n
(d)
－?
o
?
?s
?
N点
各种形式的傅里叶变换
卷积特性
?时域卷积定理 ?频域卷积定理
1.在一个域的相乘 (卷积)等于另一个域的卷积 (相乘)
2.与脉冲函数的卷积，在每个脉冲的位置上将产生 一个波形的镜像。
FS
连续和非周期
非周期和连续
问题：计算机只能进行数字信号处理，所以需要将原模拟信号在时域离散化，即
N ?1
? X(k) ? DFT [ x(n)] ? x(n)WNnk n?0
0≤k≤N-1
? x(n) ?
IDFT [ X(k)] ?
1 N
N?1
X (k)WN? nk
k?0
0≤n≤N-1
x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。我们称 上面第一式为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT), 称式第二式为X(k) 的N点离散傅里叶反变换 (IDFT)。已知其中的一个序列，就能唯 一地确定另一个序列。这是因为 x(n)与X(k)都是点数为N的序列， 都有N个独立值（可以是复数），所以信息当然等量。