江苏省江阴高级中学高中数学教案：极限的概念

极 限 的 概 念

教学目的：理解数列和函数极限的概念；

教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；

教学难点：数列和函数极限的理解

教学过程：

一、实例引入：

例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。

观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。

二、新课讲授

1、数列极限的定义：

一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．

某个常数A （即A a n -无限趋近于0）

，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞

→lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞

→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？

例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

（1）1，

21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1

+n n ，…；

（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n )1.0(-，…；

（5）－1,1，－1，…，n )1(-，…；

注：几个重要极限：

（1）01lim =∞→n n （2）C C n =∞

→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1

n 2、当∞→x 时函数的极限

（1） 画出函数x

y 1=的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，的极限是0，记作：01lim =+∞→x

x 一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，如果函数 )(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞

→)(lim 也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(

（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数x

y 1=

的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数x y 1=的极限是0，记作：01lim =-∞→x x 一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞

→)(lim

也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(

（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x 的绝对值无限增大时，函数x

y 1=

的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数x y 1=的极限是0，记作01lim =∞→x x 一般地，当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞

→)(lim 也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(

特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即

C C x =∞

→lim 例2：判断下列函数的极限：

（1）x x )21(lim +∞→ （2）x

x 10lim -∞

→ （3）21lim x x ∞→ （4）4lim ∞

→x

三、课堂小结

1、数列的极限

2、当x ∞→时函数的极限

四、练习与作业

1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限

（1）1，41，91， (21)

，… ；（2）7，7，7，…，7，…； （3）ΛΛ,2

)1(,,81,41,21n n

---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…；

（5）0.1，0.01，0.001，…，n 10

1，…；

P

M

N A B C D （6）0，,32,21--…，11-n

，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…； （8）,51,5

9,54…，52n ，…； （9）－2, 0，－2，…，1)1(--n

,…，

2、判断下列函数的极限：

（1）x x 4.0lim +∞→ （2）x x 2.1lim -∞→ （3）)1lim(-∞

→x （4）41lim

x x ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）x x )4

5(lim -∞→ （7）11lim 2+∞→x x （8）5lim ∞→x 补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。（1）求证：MN ⊥AB ； （2）若平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角为θ，

能否确定θ，使得MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线？

若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。