Sec18_有限元方法简介

[ k ]e { u } e = { f } e
单元方程
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S17-15
有限元方法的运行过程? (续)
● 然后, 单元刚度矩阵装配到总体刚度矩阵之中. 载荷也同样装配到
S17-12
有限元方法的运行过程
基本方法
把原始结构划分成简单形状的单元称为结构离散化
Y
X Z
单元通过节点相互连接
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S17-13
有限元方法的运行过程? (续)
有限元实例
S17-7
有限单元
有限单元的形状易于计算和分析. 三种基本的有限单元类
型是 beams, plates,和solids
Beam
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Plate (2D)
Stress Fringe Plot
有限元方法的运行过程? (续)
● 有限元方法概要流程
将连续结构离散为由节点相连的单元的集合
将载荷组合成总体载荷向量 {F}
由材料属性,单元属性,和几何位置形成 单元刚度矩阵 将所有单元刚度矩阵组合成总体刚度矩阵[K]
施加边界条件来约束模型
求解刚度矩阵 [K] {u} = {F} 得到节 点位移 由位移结果计算应变和应力
每一节点在六个独立方向上是可移动的: 三个方向平移
和三个方向转动. 它们称为节点的自由度 (DOF)
y
uy x ux z uz
三个平动 (ux, uy, uz) 三个转动 (x, y, z) {u} = 位移矢量 = [ ux uy uz x y z ]T
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Boundary Element Method
通过解控制微分方程来解决边界区域的积分方程问题. 只有边界
面划分网格 Finite Difference Method
以相应的有限差分方程代替了控制微分方程和边界条件
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S17-17
有限元方法的运行过程? (续)
● 最后,求解总体刚度矩阵来确定未知的节点位移 ● 单元应变和应力可由节点位移计算出来
Deformation Plot
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参考文献(续)
NAFEMS A Finite Element Primer Department of Trade and Industry, UK, 1986 J. S. Przemieniecki Theory of Matrix Structural Analysis McGraw-Hill, 1968 B. A. Szabo and I. Babuska Finite Element Analysis John Wiley & Sons, 1991 O. C. Zienkiewicz The Finite Element Method McGraw-Hill, 1994
Finite Element有限元法 Finite Difference 有限差分法 Boundary Element边界元法
解决工程问题的方法(续.)
经典方法:
Closed-form 解方法用来解决简单问题,如梁的弯曲和等截面
杆的扭转
Approximate methods通过控制微分方程的系列解来分析更复
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S17-6
简单的有限元模型
节点
单元
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S17-10
三维单元
3D 体单元用来模拟厚的机构,如活塞头 :
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S17-14
有限元方法的运行过程? (续)
一个单元和其周边节点的关系可用如下方程来描述:
[ k ]e { u } e = { f } e

单元刚度矩阵 [ k ]e 由几何,材料属性,和单元属性导出 单元载荷向量 { f }e 描述了作用于单元上的力 位移向量 { u }e 在方程中是未知的. 它描述了在力的作用下节点如何 运动
杂的结构,如板和壳
Classical methods 只能用来解决几何,载荷,和边界条件都相对
简单的结构问题
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S17-3
解决工程问题的方法(续)
数值方法:
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S17-11
创建有限元模型
有限元法以有限数目的单元来近似计算连续结构的行
为
随着单元数目的增加(单元尺寸减小),计算精度会提高,
但是计算时间也增长
Patran 提供了大量的建模工具来帮助用户创建有限元
模型,同时能很好地平衡精度和计算时间
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S17-19
参考文献
V. Adams Building Better Products with Finite Element Analysis OnWord Press, 1999 K. J. Bathe Finite Element Procedures in Engineering Analysis Prentice-Hall, 1982 R. D. Cook Concepts and Applications of Finite Element Analysis John Wiley & Sons, 1989 R. H. MacNeal Finite Elements: Their Design and Performance Marcel Dekker, 1994
S17-5
什么是有限元法?
Finite Element Method (FEM) 是一种数值近似方法.
它通过将结构分解成小而简单的块来研究复杂结构的 行为 这些小的结构块称作(有限)单元. 单元通过节点相互连 接 单元和节点的集合称作有限元模型. 下页中的活塞头 是一个有限元模型的实例
总体方程
S17-16
有限元方法的运行过程? (续)
● 然后, 对模型施加边界条件 (约束模型). 约束自由度在数学上可通
过将总体刚度矩阵去行去列来实现
边界条件
[K] {u} = {F}
考虑边界条件的总体 矩阵方程
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S17-8
Solid (3D)
(1D)
一维单元
1D 梁单元用来模拟细长结构,如通信塔有限元模型
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S17-9
二维单元
2D 板单元用来模拟薄壳结构,如机身蒙皮或汽车车身
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解决工程问题的方法(续)
数值方法(续)
有限元方法 (FEM)
能够处理具有一般几何,载荷,和边界条件的大型,复杂问题 逐渐成为设计工程师和分析工程师的主要分析工具 有限元法使用矩阵代数来解联立方程组, 所以也称为结构分析的
矩阵方法
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总体载荷向量中. 总体结构的矩阵方程如下所示:
[K] {u} = {F}
[ k ]e { u } e = { f } e
单元方程
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[K] {u} = {F}
Classical Methods经典方法
Closed-form 闭合解 Approximate 近似解
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Numerical Methods数值方法
第 18 部分 有限元方法的简要介绍
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S17-1
解决工程问题的方法
如下所示, 有限元法是解决工程问题的方法之一
Engineering Analysis 工程分析