第一讲 计数原理、二项式定理、抽样方法

是
2.(2014·南通模拟)从编号为0,1,2,„,79的80件产品中,采用 系统抽样的方法抽取容量是5的样本,若编号为28的产品在样本 中,则该样本中产品的最大编号为 .
专题七 概率与统计 第一讲 计数原理、二项式定理、抽样 方法
【主干知识】 1.必记公式(性质) (1)排列数公式:
n(n-1)(n-2)„(n-m+1) Am n =_____________________ n! =__________( 这里,m,n∈N*,且m≤n). （n m） !
(2)组合数公式:
1 2 =36个.因此共有四位偶数60个. 位,应有 C1 C 2 3A3
答案:60
热点考向二
【考情快报】
抽样方法
难度:基础题wenku.baidu.com
命题指数:★☆☆
题型:以选择题、填空题为主 考查方式:主要考查三种简单的抽样方法及适用条件, 常与概率结合起来考查
【典题2】(1)(2014·湛江模拟)高三某班有学生56人,现将所
a 3.(2014·湖北高考)若二项式 (2x )7 的展开式中的系数 13 x x
是84,则实数a= A.2
(
) C.1
x
B. 3 4
D. 2
4
a r 7r r 【解析】选C.因为Tr+1= C7 （2x） ( ) r C7 27 r a r x 7 2r ,令
2·a5=84,解得a=1. 7-2r=-3,得r=5,所以 C5 · 2 7
有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,
已知5号、33号、47号学生在样本中,则样本中还有一个学生的
编号为
A.13
(
)
B.17 C.19 D.21
(2)(2014·中山模拟)某社区有600个家庭,其中高收入家庭150
户,中等收入家庭360户,低收入家庭90户,为了调查购买力的某 项指标,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本,则中 等收入家庭应抽取的户数是 .
Cn b （n N*） ___________.
n n
Cn a b ②通项公式：Tk+1=________.
k n k
k
2.易错提醒 （1）忽视顺序：解决排列组合问题时，不要忽视问题与顺序 是否有关这一条件. （2）两个系数不要混淆：二项展开式中某一项的系数与某一 项的二项式系数易混，一定要区分开来.
2.(2014·淄博模拟)从0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复 数字的四位数,其中偶数的个数是 (用数字作答).
【解析】0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数, 且为偶数,有两种情况: 一是当0在个位时的四位偶数有A3 =24个;二是当0不在个位时, 4 先从2,4中选一个放在个位,再从余下的三个数中选一个放在首
n 80 360 80 n 48 . 360 600 600
答案：48
【规律方法】
1.进行系统抽样的关键及关注点
（ 1）关键：根据总体和样本的容量确定分段间隔，根据第一
段确定编号. （ 2 ）关注点：当总体不能被样本整除时，应采用等可能剔除 的方法剔除部分个体，以获取整数间隔. 2.分层抽样的适用条件及注意点 （1）适用条件：适用于总体由差异明显的几部分组成时的情 况.
1 n n ③ C0 n Cn Cn 2 . m m m1 ④ Cm C C C n n 1 m n 1 . m m 1 n m
（4）二项式定理：
n 1 n 1 1 n k k ①定理内容（a+b）n=____________________________ C0 b … Ck b … n a Cn a na
1 2=24个. C1 C 4 3 A2
③形如“3××5”，同①有 A 2 =12个. 4
1 2 ④形如“4××5”，同②，也有 C1 =24个. 4C 3 A2 1 2 ⑤形如“6××5”，也有 C1 =24个， C 4 3 A2
以上5类小于7 000的数共有96个.故第97个数是7 025，第98个 数是7 045，第99个数是7 065，第100个数是7 205. 答案：7 205
4.(2014·安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为 一对,其中所成的角为60°的共有 A.24对 B.30对 ( ) D.60对
C.48对
【解析】选C.与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对 角线有8条,故共有8对,正方体的12条面对角线共有96对,且每 对均重复计算一次,故共有
【解析】由于学生与其指导教师相邻,先将学生与其教师进行 捆绑,形成三个整体,考虑到每个整体中教师与学生的顺序,以
3 2 3 及三个整体的排列,因此共有 A =48种不同的站法. （ A 3 2）
答案:48
【加固训练】1.(2014·青岛模拟)在实验室进行的一项物理实
验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一
(5)不相邻问题插空法. (6)定序问题缩倍法. (7)多排问题一排法. (8)“小集团”问题先整体后局部法. (9)构造模型法. (10)正难则反,等价转化法.
【变式训练】(2014·北京模拟)科技活动后,3名辅导教师和他 们所指导的3名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生), 要求6人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,那么不同的站 法种数是 .(用数字作答)
用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,„,840
随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间［481,720］的人数
为（ A.11 ） B.12 C.13 D.14
【解析】选B.根据抽样方法的等概率性可知，每人入选的概率
42 ，由题设可知区间［481,720］的人数为240，所以编号 840 落入区间［481,720］的人数为 42 ×240=12. 840
【互动探究】题(3)中组成的没有重复数字的四位数中能被5整 除的有多少个?
2 1 3 =180(个). 【解析】分两类.一类形如“×××0”,有 C5 C3A3 1 1 2 二类形如“×××5”,其中0当选有 C1 4 C3 A2 A2 =48个. 2 3 0不当选的有 C1 =72个. C 4 3 A3
【考题回顾】
1.(2014·汕头模拟)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3
本,从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本,则不同的赠送方
法共有 ( )
A.4种
B.10种
C.18种
D.20种
【解析】选B.分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送 方法有 C1 =4种;二是取出2本画册,2本集邮册,此时赠送方法 4 有 C2 =6种.故赠送方法共有10种. 4
2 3 1 不同摆法,最后把产品C插空,有 C1 种不同摆法 , 所以共有 A 2 A3C3 3
=36种不同摆法. 答案:36 (2)把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9按除以3所得余数分类,共分三 类:A.3k类:{0,3,6,9};B.3k+1类:{1,4,7};C.3k+2类:{2,5,8}
（2）注意点：①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情
况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，两层之间的样本
差异要大，且互不重叠； ②为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的 可能性相同； ③在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行 抽样.
【变式训练】1.（2013·陕西高考）某单位有840名职工,现采
x,y,z按除以3所得余数分类 (2)看到若x+y+z是3的倍数,想到将________________________. 依首位数字不同分类 (3)看到将四位数从小到大排成一列,想到___________________
求解并排序 ___________.
【规范解答】(1)设这5件不同的产品分别为A,B,C,D,E,先把产 品A与产品B捆绑,有A 2 种不同摆法,再与产品D,E全排,有 A3 种 2 3
n(n 1)(n 2)…(n m 1) ① Cm m! n =______________________
n! =__________( m! （n m） ! 这里,m,n∈N*,且m≤n).
② C0 =1. n
（3）组合数的性质：
Cn ① Cm n =_____. Cn Cn ② Cm n 1 =____+_____.
步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有
(
A.34种 B.48种 C.96种 D.144种
)
【解析】选C.设6个程序分别是A,B,C,D,E,F.先将A安排在第一
或最后一步,有 A1 种方法;将B和C看作一个元素,它们自身之间 2
4 有A1 种方法 , 与其他程序进行全排列 , 有 种方法,由分步乘法 A 4 2 1 4=96种.故选C. 计数原理知实验顺序的编排方法共有 A1 2 A2 A4
品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排
法种数是
A.72
(
)
B.120 C.144 D.168
【解析】选B.第一类,当2个小品类节目在1个相声类节目同侧
2 1 2 =72种排法,第二类,当2个小品类节目在1个相声 时有 C1 A 2 2 C3A3 3=48种排法,共有72+48=120种排法,故选B. 类节目两侧时有 A2 A 2 4
(3)从1,3,5,7,9中任取2个数,从0,2,4,6中任取2个数组成没有 重复数字的四位数,若将所有个位是5的四位数从小到大排成一 列,则第100个数是 .
可用捆绑法完成 ;看到不 【信息联想】(1)看到相邻问题,想到_______________
可用插空法完成 . 相邻问题,想到_______________
热点考向一
【考情快报】
计数原理、排列与组合的应用
难度:基础题
命题指数:★★☆
题型:以选择题、填空题为主 考查方式:主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数 原理,排列与组合的应用问题
【典题1】(1)(2014·北京高考)把5件不同产品摆成一排,若产 品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有 种. (2)(2014·梅州模拟)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任 取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x,y,z), 若x+y+z是3的倍数,则满足条件的点的个数为 .
系统抽样的特征 【信息联想】(1)看到系统抽样的方法,想到_______________
——等距抽样 _____________.
分层抽样及各层抽样比值相等. (2)看到三类家庭的户数,想到____________________________
【规范解答】（1）选C.从56名学生中抽取4人，用系统抽样法， 则分段间隔为 14，若第一段抽出的号码为5 ，则其他段抽取的 号码应为：19，33，47；所以答案应选C. （2）设在中等收入家庭应抽取的户数为n,则
2.(2013·山东高考)用0,1,„,9十个数字,可以组成有重复数 字的三位数的个数为 A.243 B.252 ( ) C.261 D.279
【解析】选B.三位数个数为9×10×10=900.没有重复数字的三 位数有 C1 A 2 =648,所以有重复数字的三位数的个数为
9 9
900-648=252.
3 3 3 1 1 1 3 =252. (k∈Z).则满足条件的点的个数为:C3 A A A C 4 3 3 3 4C3C3A3
答案:252
（ 3 ）①形如“ 1××5” ，中间所缺的两数只能从 0 ， 2 ， 4 ， 6 中选取，有 A 2 =12个. 4 ②形如“2××5”，中间所缺的两数是奇偶各一个，有
96 =48对. 2
5.(2014·湖南高考) ( 1 x 2y)5的展开式中x2y3的系数是
2
( A.-20 B.-5
2
)
C.5
D.20
1 2 3 =-20x2y3,所以x2y3的系数是 【解析】选A.因为 C3 ( x) ( － 2y ) 5
-20.
6.(2014·重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小
由分类加法计数原理有180+48+72=300个.
【规律方法】
1.求解排列、组合问题的关注点
排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘. 2.排列、组合应用问题的常见解法 (1)特殊元素(特殊位置)优先安排法. (2)合理分类与准确分步法. (3)排列与组合混合问题先选后排法.
(4)相邻问题捆绑法.