中学几何研究 (0775)

一、简答题：（20分）

简述欧几里得《几何原本》的伟大贡献。

1、关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。

2、从欧几里得发表《几何原本》到如今，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它巳成为培养、提高青少年逻辑思维能力的好教材。

3、。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

二、证明题： （20分）

在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F . 求证：1AF BD CE BF CD AE

⋅⋅=. BF AF =CPB CPA S S ∆∆,CD BD =BPA

BPC S S AE CE ∆∆= 1=∙∙=∙∙∴∆∆∆∆∆∆PAB

PBC PAC PAB PCB PCA S S S S S S AE CE CD BD BF AF

三、作图题：（20分）

已知ABC ∆，求作ABC ∆的外接圆。（只写作法及讨论，不用证明。）

作法：作BC 的中垂线l 和AC 的中垂线m ，l 与m 交于点O ，以O 为圆心，OA 为半径作圆0 (O,OA)即为所求。

四、轨迹讨论：（20分）

设一点与一定圆的距离等于圆半径，则该点的轨迹为该圆中心和一个半径加倍的同心圆的并。

假设：点P 与定圆()O r 距离PA r =半径。

求证：点P 的轨迹是点O 和圆(2)O r .

证明：（1）完备性 设P 在圆()O r 内部，则由假设0OP OA PA =-=，即点重合

于圆心O 。

若P 在()O r 外部，则2OP OA AP r r r =+=+=，因此P 在圆(2)O r 上。

（2）纯粹性 首先，据定义，点O 到圆的距离是r ，()O r 即点O 合于条件。

其次，在圆(2)O r 上任取一点P ，因点P 在圆()O r 外部，线段OP 必交圆于一点A ，且2AP OP OA r r r =-=-=，即点P 合于条件。

所以合乎条件的点的轨迹是点O 和圆(2)O r 的并集。

第三题图

五、叙述并证明西姆松定理（20分)

答：西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。

证明：△ABC 外接圆上有点P ，且PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，PD ⊥AB 于D ，分别连FE 、FD 、BP 、CP.

易证P 、B 、D 、F 和P 、F 、C 、E 分别共圆，

在PBDF 圆内，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC 圆内∠ABP+∠ACP =180度，∠ABP=∠DBP

于是∠DFP=∠ACP ①，在PFCE 圆内 ∠PFE=∠PCE

② 而∠ACP+∠PCE=180°

③ ∴∠DFP+∠PFE=180° ④ 即D 、F 、E 共线. 反之，当D 、F 、E 共线时，由④→②→③→①可见A 、B 、P 、C 共圆.