第三章 网格作图(1)

第三章网格作图

网格作图的特点：仅利用无刻度直尺，利用格点来作图，所以在网格中作图时一定要体现出过的格点．

基本知识

一、网格中作平行

图1 图2

图1中虚线线段均与线段AB平行，仔细观察，可发现线段AB长宽比为3∶1的矩形对角线，故想要作出与AB线段平行的线，必然也要使得作出的线段是长宽比为3∶1的矩形对角线，所以图1、图2均满足要求，即都与AB平行．

二、网格中作垂直

图1

图1中虚线线段均与线段AB垂直，仔细观察，可发现线段AB长宽比为3∶1的矩形对角线，故想要作出与AB线段垂直的线，必然也要使得作出的线段是长宽比为3∶1的矩形对角线．【与平行的区别在于一个竖方向，一个横方向】

三、网格中作垂直平分线

在网格中垂直平分线的做法，利用垂直平分线性质逆定理，首先需要找到线段A、B两点距离相等的格点，图1中的C、D、E均满足到A、B距离相等，故连接CE（或者ED或者CD均可）．此方法也适用于在网格中作线段中点，如图2

图1 图2

四、网格中等分线段

以作三等分为例，在下列网格中，在线段AB上找一点P，使得BP=2AP．此类作图可利用相似的性质来解决，以下示范3种作法

作法一 作法二 作法三

五、网格中作相似三角形

请分别在图1、2中作出一个△DEF ，使得△DEF 与△ABC 相似（图1和图2中的两个三角形不全等）

图1 图2 【解析】在网格图中，三角形的任意一条边均可计算出来，所以常规来说只需计算出每条边，同比放大或缩小即可！本题有个特殊角，即∠ABC =135°，所以先找到135°，该角两边同倍

缩小或放大即可！（图1缩小为原来的1

2

，即相似比为1∶2；图2

似比为1

例题讲解

例题1、已知在下列边长为1的网格图中，用3种不同的方法作一个直角三角形，使得该直角三角形面积为8．

作法一 作法二 作法三

【解析】由题意可知，直角边乘积为16，若均为整数，则有1×16，2×8，4×4；若均为无理

；也可以从比例去解决，下面分别以上三中思路各作一个三角形．

例题2、如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小

正方形顶点的三角形为格点三角形．已知△ABC 中，AB ，AC BC =6．

（1）请你在所给的网格中画出格点△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1与△ABC 相似（画出一个即可，不需证明）；

（2）试直接写出在所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）．

【解析】

（1）先画个与△ABC 全等的三角形（如图1），再以∠B 为公共角，将∠B 的边缩小一半即可（如图1）

图1 图2

（2）因为

ABC

DNM

S S ??=相似比2，故只需使得相似比最大即可，我们找最长边AC

格中最长边为对角线，MN

=

，由此ND DM AB BC =所以可计算出DN

DM

2中点D 即为关键点，连接DM 、DN 即可．

例题3、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均在格点上．

（1）AB 的长等于 ；

（2）在△ABC 的内部有一点P ，满足S △P AB ∶S △PBC ∶S △PCA =1∶2∶3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）．

【解析】

（1）AB

（2）方法一：关注到S △P AB +S △PBC =S △PCA ，可得到S △PCA =

1

2

S △ABC ．如图1，找到AB 中点D ，过点D 作AC 平行线，交BC 与点E ，所以点P 必然在线段DE 上．在网格中找到一点M ，使得点C 到MB 的距离与点A 到MB 的距离之比为1∶2．如图2，点Q 为AC 三等分点，连接BO ，与线段DE 交点即为点P ．

方法二：发现AC边上本身就存在点D、E使得AD:EC:DE=1∶2∶3，先作出如下图形，接着利用平行，将△ADB和△BEC面积转化．

过点B作AC平行线，与l1交于点H，与l2交于点G，连接EG、DH，易证EG∥BC，DH ∥AB，所以EG与DH交点即为点P．

2、请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P 向线段AB引平行线．

解：如图所示，PQ即为所求．

4、如图，方格图中每个小格的边长为1，仅用直尺过点C画线段CD，使CD∥AB，D是格点，过C作AB的垂线CH，垂足为H．连结BC、AD．

（1）试猜想：线段BC与线段AD的关系为；

（2）请计算：四边形ABCD的面积为；

（3）若线段AB的长为m，则线段CH长度为．（用含m的代数式表示）

解：（1）∵AD ＝BC ==BC ∥AD 且BC ＝AD ．故答案为BC ∥AD 且BC ＝AD ；

（2）S ?ABCD ＝3×51

2-?1×212-?1×412-?1×212

-?1×4＝15﹣1﹣2﹣1﹣2＝9．故

答案为9；（3）∵AB =

，S ?ABCD ＝9m ，∴AB ?CH ＝9，即CH

=

m 5=m ．故

m ．

图1 图2 图3 图4

7、图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．

（1）在图1中画出等腰直角△MON ，使点N 在格点上，且∠MON =90°；

（2）在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD ，使正方形ABCD 面积等于（1）中等腰直角△MON 面积的4倍，并将正方形ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD 面积没有剩余（画出一种即可）．

图1 图2 解：（1）如图1所示：∠MON ＝90°；

图1 图2 图3

（2）如图2、3所示．

10、如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格，点A 点B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP =217

，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，所以只需连接一对角线就行）

解：由勾股定理得，AB 2

2

4117=+=，所以，AP 217

3

=时AP ∶BP ＝2∶1．点P 如图所示．

11、如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）． （1）在图中画出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的位置； （2）点M 的坐标为 ；

（3）判断点D （5，—2）与OM 的位置关系． （3）判断点D （5，﹣2）与⊙M 的位置关系．

解：（1）如图1，点M 就是要找的圆心；

（2）圆心M 的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（3）圆的半径AM 2224=+=25．

线段MD 22(52)213=-+=＜25，所以点D 在⊙M 内．

12、如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A 、B 、C ． （1）画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD 、CD ． （2）请在（1）的基础上，以点0为原点、水平方向所在直线为x 轴、竖直方向所在直线为

y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题：

①OD的半径为（结果保留根号）；

②若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是；

③若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．

解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：

（2）①在Rt△AOD中，OA＝4，OD＝2，根据勾股定理得：AD==

则⊙D的半径为

②AC==CD＝AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°．

扇形ADC的弧长==，圆锥的底面的半径=；

③直线EC与⊙D的位置关系为相切，理由为：在Rt△CEF中，CF＝2，EF＝1，根据勾

股定理得：CE==

在△CDE中，CD＝CE=DE＝5，∵CE2+CD2＝（）2+（2＝5+20

＝25，DE2＝25，∴CE2+CD2＝DE2，∴△CDE为直角三角形，即∠DCE＝90°，则CE与圆D相

一、构造直角

例题1、网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sin A= ．

【解析】如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB＝AC＝BC＝，

AD ＝

ABC 是等腰三角形，由面积相等可得，

12BC ?AD 1

2

=AB ?CE ， 即

CE 5==

，sin

A 35CE AC ===，故答案为3

5．

【总结】由于格点三角形各边都可求，所以利用解直角三角形即可求出各个内角的三角函数

值．

二、角度转换

例题2、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．

思路一：构造直角

连接BE ，由四边形EDBC 为正方形可知，CD ⊥BE ，∴tan ∠APD =tan ∠BPF =

BF

PF

，设小正

，可得BF =1，CD =2，由△ACP ∽△BDP ，

且相似比为3∶1可得

PC

DP

=3， ∴PC CD =34，∴PC =33242?=，∴PF =PC —CF =12

， ∴tan ∠BPF 1=212

=．

思路二∶角度转换

连接BE ，可知BE ∥CD ，∴∠APD =∠BPF =∠ABE ，连接AE ，AE 和BE 均为正方形对角线，易得AE ⊥BE ，tan ∠ABE =

2AE

BE

=．

例题3、在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于

【答案】3 【解析】

转化思路一：到格点三角形内，再用例题1

的方法（此方法构造情况较多，解法较暴力，在

此不一一列举，以下给出三种转化法）

转化思路二：思路一的情况下，存在转化出的格点三角形恰好为直角三角形，这类方法最巧妙，但需要学生有较强的观察能力！

直角构造思路三：通过连接某些辅助线，构造出直角后直接在直角三角形内求解．

2、如图，在4x 5的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则tan ∠ABC = ；sin ∠ACB = ．

【解析】找到与A 构成小正方形对角线的格点D 、E ，连接CD ，AE ，EB ，AC 与EB 交

于点F ．由网格特点和正方形的性质可知，∠BAE ＝90°，根据勾股定理得，AE =

AB ＝，DB ，DC BE ===，则tan ∠ABC 3DC

DB

=

=，又BE ⊥AC ，易得△AEF ∽△BAF ，故13AE EF AF AB AF BF ===，∴1

9

EF BF =，∴BF =

910?sin ∠ACB

=BF BC ===，故答案为3

．

3、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则

AP

PB

的值＝ ，tan ∠APD 的值＝ ．

【解析】∵四边形BCED 是正方形，∴DB ∥AC ，∴△DBP ∽△CAP ，∴AP AC

PB DB

==3， 连接BE ，∵四边形BCED 是正方形，∴DF ＝CF 12=

CD ，BF 1

2

=BE ，CD ＝BE ，BE ⊥CD ，∴BF ＝CF ，根据题意得：AC ∥BD ，∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP ＝BD ：AC ＝1：3，

∴DP ：DF ＝1：2，∴DP ＝PF 12=

CF 1

2

=BF ，在Rt △PBF 中，tan ∠BPF BF PF ==2，

∵∠APD ＝∠BPF ，∴tan ∠APD ＝2，故答案为3，2．

5、如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O ）为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是 ．

【解析】如图，连接EA ，EC ，设菱形的边长为a ，由题意得∠AEF ＝30°，∠BEF ＝60°，

AE =，EB ＝2a ，∴∠AEC ＝90°，∵∠ACE ＝∠ACG ＝∠BCG ＝60°， ∴E 、C 、B 共线，在Rt △AEB 中，tan ∠

ABC AE BE =

==

6、如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD ，则tan ∠DBC 的值为 ．

【解析】如图，连接AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO 1

2

=BD ，CO 12

=

AC ，由勾股定理得，

AC ==

，

BD ==

BO 122==，CO 12=?

2=tan ∠

DBC CO BO ===3．故案

为3．

7、如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，点A 、B 、C 、D 都在网格的格点上，AC 、BD 相交于点O ．

图1 图2 图3 图4 （一）探索发现

（1）如图1，当AB ＝2时，连接AD ，则∠ADO ＝90°，BO ＝2DO ，

AD =

BO 23

=

tan ∠AOD ＝ ．

如图2，当AB ＝3时，画AH ⊥BD 交BD 的延长线于H ，则AH 3

2

=

BO ＝ ，tan ∠AOD ＝ ．

如图3，当AB ＝4时，tan ∠AOD ＝ ．

（2）猜想：当AB ＝n （n ＞0）时，tan ∠AOD ＝ ．（结果用含n 的代数式表示），请证明你的猜想． （二）解决问题

（3）如图，两个正方形的一边CD 、CG 在同一直线上，连接CF 、DE 相交于点O

，若

tan ∠COE 17

13

=

，求正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长之比． 解∶（一）探索发现

（1）如图1，当AB ＝2时，∵BO ＝2DO ，BO 2

3

=

∴

OD =

又∵∠ADO ＝90°，

AD =tan ∠

AOD 3

AD

OD

=

==3，即tan ∠AOD ＝3． 如图2，设DCBE 为正方形，连接CE ，交BD 于F ．∵四边形BCDE 是正方形， ∴DF ＝CF ＝BF 12=

BD 1

2

=CE ，BD ⊥CE ．根据题意得∶AB ∥DC ，∴△AOB ∽△COD ， ∴DO ∶BO ＝CD ∶AB ．当AB ＝3时，DO ∶BO ＝1∶3，∴

BO 4=

．∵S △ABD 1

2

=BD ?AH 1

2=

AB ?ED ，∴BD ?AH ＝AB ?ED ，∴

AH 2AB ED BD ?===，DO ∶BO ＝CD ∶AB ＝1∶3，∴DO ∶DF ＝1∶2，∴OF ∶DF ＝1∶2，即OF ∶CF ＝1∶2．在Rt △OCF 中，tan ∠COF CF

OF

=

=2，∵∠AOD ＝∠COF ，∴tan ∠AOD ＝2；如图3，当AB ＝4时，DO ∶BO ＝CD ∶AB ＝1∶4，∴DO ∶DF ＝1∶2．5＝2∶5，∴OF ∶DF ＝3∶5，即OF ∶CF ＝3∶5．在Rt △OCF 中，tan ∠COF 53CF OF ==，∵∠AOD ＝∠COF ，∴tan ∠AOD 5

3

=；故答案是3

2；53；

（2）猜想∶当AB ＝n （n ＞0）时，tan ∠AOD 1

1

n n +=

-（结果用含n 的代数式表示）． 证明∶过点A 作AH ⊥BH 于点H ，则AH ＝

BH 2

=

n ．∵AB ∥OD ，∴△AOB ∽△COD ， ∴

1

OB AB n

OD CD ==，∴

OB 1n =+．∴OH ＝BH ﹣

OB 2=

n 1n -+．∴tan ∠

AOD 11AH

n HD

n +=

==

-；故答案是1

1

n n +-； （二）解决问题

（3）解：如图4，过点D作DH⊥CF于点H，则tan∠DOH

DH

HO

=．∵∠DOH＝∠COE，

∴tan∠DOH

17

13

=，又由（一）结论得：

117

113

n

n

+

=

-

，

∴n

15

2

=，∴正方形ABCD和正方形CEFG的边长之比为

15

2

．

图1 图2 图3 图4