根轨迹法

用不含K s的各项
G' s H ' s 1 0
s
2
2 s 10除特征方程
10 K s s 2画G' s H ' s 2 的根轨迹。 s 2 s 10 n 2, m 1 1、确定开环零点、极点 p1.2 1 j 3 z0
p1
六、根轨迹的起始角与终止角 起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点 处的切线与水平线正方向的夹角。 终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点 处的切线与水平线正方向的夹角。
p1
z1
1
[S]
z1
1
[S]
p3
p2
2
z2
2
所有零点到 p a 的向量夹角
百度文库
出射角： a 180 2k 1 i j
Re1 G j H j 0 令 Im1 G j H j 0 可解出值及对应的临界开环增 益K 及K来。
Re1 G j H j j Im1 G j H j 0
根轨迹绘图举例
1.61
K 7；
Kp 2. I型 K v K Ka 0
e ssp 0 1 e ssv Kv e ssa
p3
[S]
p2
-3
z1
-2 -1
3
p1 p4
0 1.61 4
K 7
例6 参量根轨迹的绘制。随 动系统如图。
[S]
2、实轴上的根轨迹；
dK s 3、汇合点：令 0 ds
3.16

z
-2 -1 0
-3
得： s 2 10, s 3.16 取：s1 3.16
p2
将s1 3.16代入幅值条件，可求出 会合点处的K s 10 K s s1 s1 2 s1 10
4、出射角
2
1
K s 0.432
K s 0.432
198.4 p1
[S]
3.16

z
-2 -1 0
-3
p2
系统闭环零点、极点的 分布与性能指标
本节主要讨论两个问题： 怎样根据闭环零点、极点的分布 来估算系统的性能指标； 怎样根据性能指标确定闭环零点、 极点的分布。
闭环零点=前向通道 Gs 中的零点
解：
10 s s 2
加入速度负反馈 K s 后，分析K s 对系统性能的影响。
1系统开环传递函数为： 101 K s s G s H s s s 2
2
× -
1 Kss
其特征方程为：s 2 s 10 K s s 10 0
10 K s s 1 0 2 s 2s 10
s3 180 , s3 2 180
若s4位于根轨迹上，则必满 足 幅角条件，即 1 2 180 ，
s4一定在 2， 0的中垂线MN 上。
利用幅值条件可算出各根轨迹上的 K 值。
例 K 2K K G s s0.5 s 1 ss 2 ss 2
a
3渐进线条数 n m 3 3 1 j 1 j 2 1
3
a 60 ,180


p3
[S]
p2
-3
z1
-2 -1
p1
0
4实轴上无分离会合点
p4
5求p3的出射角 3 180 p3 z1 p3 p1 p3 p2 p3 p4 180 1 1 2 3
渐进线与实轴交点的坐 标为：
若m n，则当K 时，要有n m 条根轨迹
nm 渐进线与实轴正向的夹 角为：
a
p z
j 1 j i 1
n
m
i
极点之和减去 零点之和。
k依次取0， 1， 2， 一直
a
2k 1
nm
到获得n m 个倾角为止。
4 3 2
K s 2 G s s s 3 s 2 2 s 2


6 K s 2 K


0
4 j 5 3 8 2 6 K j 2 K 0 K 7； 实部方程： 4 8 2 2 K 0 [S] 3 5 6 K 0 p3 虚部方程：
开环传递函数： G s H s K
s z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pn

闭环特征多项式： G s H s 1 K
s z1 s z2 s zm 1 0 s p1 s p2 s pn
如：s 1 j点
M
[S]

K 1 s s2 1 j 1 j 2

K 1 s
-2 0

K s s2 1 j 1 j 2 2 2 K K 1 2
N
绘制根轨迹的基本法则
一、根轨迹的分支数 根轨迹在[S]平面上的分支数= 闭环特征方程的阶数n 这是因为n阶特征方程对应n个特征 根，当开环增益K由 0 ~ 变化时，这 n个特征根随K变化必然会出现n条根轨 迹。
第四章 根轨迹法
经典控制理论有三种 基本分析方法： 时域分析法 根轨迹分析法 频域分析法
二、根轨迹方程及幅角、幅值条件
典型反馈控制系统的闭 环传递函数为 X o s G s X i s 1 G s H s
其特征方程为 或写作
1 G s H s 0 G s H s 1

K s z1 s z2 s zm G s H s s p1 s p2 s pn

其向量表达为 G s H s K

Az 1e A p1e
j z 1 j p 1
Azm e
j zm
其中 Azi s z i Apj s p j
n
m
其它零点到 z b 的向量夹角
七、分离点的坐标 几条根轨迹在[S]平面上相遇后又分开 的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。
分离点坐标的求法：
1
由根轨迹方程

dK 令： 0 解出s ds n m 1 1 2 j 1 d p j i 1 d z i
解出d
八、实轴上的分离点的分离角恒为 90 实轴上的会合点的会合角恒为 90
四、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧，开环零点、 极点数目之和应为奇数。 这个结论可由幅角条件证明。
2k 1 180 zi pj i 1 j 1 m n
k 0,1,2,
[S]
五、根轨迹的渐进线
趋于处，这n m 条趋于处根轨迹的方位可由渐 进线决定。
幅角条件： s s 2 180 2k 1
M
[S]
试探法确定满足上式的 s点
s1 0 , s1 2 0
s2 180 , s2 2 0
2
s4
1
s3 -2
s20
N
s1
s4 1 , s4 2 2
-3
令s j，代入特征方程
1.61
p2
解方程并舍去无意义解 ，得：
-2
z1
3
p1
-1
0 1.61
0； 1.61 ； 1.61
K 0 ；K 7； K 7
p4
4 K 7
性能分析： 0 K 7，系统稳定； 1. K 7，系统临界稳定； K 7，系统不稳定；
198.4 p1
[S]
1 180 p1 z p1 p2
198.4
2 198.4

K s 0.432
3.16

z
-2 -1 0
-3
p2
性能分析： 1.根轨迹位于左半 S平面，系统稳定；
0 K s 0.432 0 1 2. K s 0.432 1 K 0.432 1 s

会合时，根轨迹 切线的倾角 -3
p1
[S]
z
-2 -1 0
p2
九、根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中 有一部分极点位于虚轴上，即闭环特征方程 有纯虚根 j ，系统处于临界稳定状态，因 此，将 s j 代入特征方程中得
1 G j H j 0
或
A A
j 1 i 1 n
m
zi
1
pj
可见，幅角条件与 K 无关; 而幅值条件与 K 有关，且K 由0 ~ 。 因此，复平面 [ S ]上所有满足幅角条件的 点都是 特征方程的根，当 K 由0 ~ 变化时，这些点所 构成的轨迹即根轨迹。

下面利用幅角、幅值条件画根轨迹
例
2K K K G s s0.5 s 1 ss 2 ss 2


pj s p j j 1,2, n
zi s z i
Apne jpn i 1,2, m
因此有：幅角条件
2k 1 180 zi pj i 1 j 1
m
n
k 0,1,2, 幅值条件 K
二、根轨迹的对称性 因为开环极点、零点或闭环极点都 是实数或共轭复数，它们在[S]平面上的 分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于 实轴。
[S]
三、根轨迹的起点与终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环 零点，如果开环零点数m小于开环极点数n , 则有(n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
[S]
n4 m2 nm 2 有 2条根轨迹终止于 处

m
n
起始于 p a 的根轨迹在起点处 的切线与水平正方向的夹角 所有极点到 z b 的向量夹角

i 1
j 1 j a
其它极点到 p a 的向量夹角
终止于 z b 的根轨迹在终点处 的切线与水平正方向的夹角
入射角： b 180 2k 1 j i
j 1 i 1 i b
例5 单位反馈系统 K s 2 G s ss 3 s 2 2 s 2


画根轨迹
1化成标准传递函数，求 零、极点
p1 0, p2 3, p3.4 1 j z 1 2
解：
p3
[S]
p2
-3
z1
-2 -1
p1
0
p4
2实轴上的根轨迹
180 45 135 26.6 90 26.6



p3
[S]
4 26.6

p2
-3
z1
-2 -1
3
p1 p4
0 4
6求根轨迹与虚轴交点 2 s s 3 s 2 s 2 K s 2 0
s 5s 8s

由于 G s H s 1 是复数向量。 两个向量相等的条件是 幅角、幅值分别相等。 因此得到： 幅角条件 : G s H s 180 2k 1

k 0,1,2
幅值条件 :
G s H s 1
K s z1 s z 2 s z m 其中 G s H s s p1 s p2 s pn 式中 p1、p2 pn 为系统的n个开环极点 z1、z 2 z m 为系统的m 个开环零点 K 为系统的开环根轨迹增 益 K K
闭环极点即根轨迹上的点
× -
K s 2 s 2 3s 3.25
Ks s
K K s s s 2 G s H s 2 s 3 s 3.25