9-节点电位法
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1.3.3 节点电位法
一．节点电位法的基本思路
如果已知电路中各节点的电位，那么一条支路两节点之
间的电压等于电位之差，支路的电流运用欧姆定律就可以求 得，所以，求电路中各节点的电位是关键。 节点电位为未知量，写出节点方程，从而解出节点电位， 然后求出支路电流，这种分析方法叫节点电位法，简称节点 法。 运用节点电位法求解电路支路电流，可以将电路方程减 少到n-1个。
上式可以归纳得出列写节点电位方程的一般形式为：
该点的电位×自电导+相邻点的电位×互电导=流入该点电流的代数和
即
G jjVj GjkVk I sjj
Gjj：所选节点的自电导（总取正）；
Vj：所选节点的电位； Gjk：相邻节点的互电导（总取负）
Vk：相邻节点的电位；
Isjj：所选节点流入的电流代数和。 （电流从节点流出取负，流入节点取正）
解得：V1=14V
电流源两端的电压
V2=10V
由V1 1 20 U IS 得U IS V1 20 34 V
电流源发出的功率为： PIS U IS 1A 34W
例 3
用节点电位法求图中各支路的电流 A
IR1 R1 4Ω
B
R2 IR2
解：设电路中C点为零电位点，
则： 对节点A有： V A 3V
其二，如果电路含有理想电压源支路，应选择电阻不影响各个节点的电位
（因为理想电流源的内阻为无穷大）。（见例2）
（5）与理想电压源并联的电阻两端电压恒定，对其它 支路的电流和各节点的电位不产生任何影响。 （6）对含有受控源的电路，在列节点方程时应将它与 独立源同样对待，需要时再将控制量用节点电位表示。
二．节点电位法的基本原理 节点电位：电路中某节点与参考节点之间的电压。 参考节点：在电路中可以任意选取。 图中有0、1、2三个节点，设以 节点0为参考点。 标出各支路电流方向，根据KCL 定律写出节点1、2的KCL方程为： 节点1 节点2
I 1 I 2 I I S1 0
I3 I 4 I5 0
练习：求图中各支路电流。
三、节点电位法的求解步骤 （1）选择电路中的参考节点。 （2）列n-1个节点的电位方程。 （3）联立求解方程组，求各节点电位。
（4）求解各支路电路或其它所需量。
四、举例 例1：列出下图中的节点电位方程。 解： （1）选节点4为参考节点：
电路中仅含电流源时，可将电流源一端作为参考点。
（2）利用 G jjV j 如下：
根据欧姆定律和基尔霍夫电压定律 得到： V1 V1 I2 G2V1 I1 G1V1 R2 R1
I3
I4
U12 V1 V2 G3 (V1 V2 ) R3 R3
V2 G4V2 R4
V2 U S 5 V 2 U S 5 I5 G5V2 G5U S 5 R5 R5 R5
结论：两独立节点间含有理想电压源时，需要假 相该支路电流变量，并增补两节点间的电压方程。
五、节点电位法使用注意事项： （1）列节点方程时，自电导前总是正，互电导前总是负。 （2）表示流入节点j的电流的代数和，流入节点j的电流取 正号，流出节点的j电流取负号。 （3）参考点选择：
其一，使参考点与尽量多的节点相邻；
节点1： (
G V
jk k
I sjj 列节点1、2、3的电位方程
1 1 1 1 )V1 V2 V3 I S R1 R5 R1 R5
1 1 1 1 1 节点2： ( )V2 V1 V3 0 R1 R2 R3 R1 R3 1 1 1 1 1 节点3： ( R R R )V3 R V2 R V1 0 3 4 5 3 5
将支路电流代入节点方程并整理得到：
节点1 节点2
(
(
1 1 1 1 )V1 V2 I S1 R1 R2 R3 R3
自电导：某一节点所连的所有 电导，均取正； 互电导：某一节点与相邻节点 之间的电导，总取负。
U 1 1 1 1 )V2 V1 S 5 R3 R4 R5 R3 R5
VD 4.875 V
由欧姆定律得到：
I R1 V V A 7.125 3 B 1.03A R1 4
I R2 VB VC 7.125 0.89A R2 8
I R3
V A VD 3 (4.785) 1.30A R3 6
I R4
VC VD 4.875 0.61A R4 8
1 1 1 对节点B有：( )VB VA I R1 R2 R1
对于节点D有：( 又因：
I ＋ 8Ω
US2 － R4 IR4
12V IR3 R3 6Ω ＋
C
D
US1 3V －
8Ω
1 1 1 )VD VA I R3 R4 R3
VB VD 12V
联立求解可得： VB
7.125 V
例2 求解图示电路节点的 电压和电流源发出的功率。 解 ：节点1的方程：
1 1 1 20V ( )V1 V2 1A 10 40 40 40V
节点2的方程：
( 1 1 1 1 50V 20V )V2 V1 ` 40 25 30 20 40 20 30 40
一．节点电位法的基本思路
如果已知电路中各节点的电位，那么一条支路两节点之
间的电压等于电位之差，支路的电流运用欧姆定律就可以求 得，所以，求电路中各节点的电位是关键。 节点电位为未知量，写出节点方程，从而解出节点电位， 然后求出支路电流，这种分析方法叫节点电位法，简称节点 法。 运用节点电位法求解电路支路电流，可以将电路方程减 少到n-1个。
上式可以归纳得出列写节点电位方程的一般形式为：
该点的电位×自电导+相邻点的电位×互电导=流入该点电流的代数和
即
G jjVj GjkVk I sjj
Gjj：所选节点的自电导（总取正）；
Vj：所选节点的电位； Gjk：相邻节点的互电导（总取负）
Vk：相邻节点的电位；
Isjj：所选节点流入的电流代数和。 （电流从节点流出取负，流入节点取正）
解得：V1=14V
电流源两端的电压
V2=10V
由V1 1 20 U IS 得U IS V1 20 34 V
电流源发出的功率为： PIS U IS 1A 34W
例 3
用节点电位法求图中各支路的电流 A
IR1 R1 4Ω
B
R2 IR2
解：设电路中C点为零电位点，
则： 对节点A有： V A 3V
其二，如果电路含有理想电压源支路，应选择电阻不影响各个节点的电位
（因为理想电流源的内阻为无穷大）。（见例2）
（5）与理想电压源并联的电阻两端电压恒定，对其它 支路的电流和各节点的电位不产生任何影响。 （6）对含有受控源的电路，在列节点方程时应将它与 独立源同样对待，需要时再将控制量用节点电位表示。
二．节点电位法的基本原理 节点电位：电路中某节点与参考节点之间的电压。 参考节点：在电路中可以任意选取。 图中有0、1、2三个节点，设以 节点0为参考点。 标出各支路电流方向，根据KCL 定律写出节点1、2的KCL方程为： 节点1 节点2
I 1 I 2 I I S1 0
I3 I 4 I5 0
练习：求图中各支路电流。
三、节点电位法的求解步骤 （1）选择电路中的参考节点。 （2）列n-1个节点的电位方程。 （3）联立求解方程组，求各节点电位。
（4）求解各支路电路或其它所需量。
四、举例 例1：列出下图中的节点电位方程。 解： （1）选节点4为参考节点：
电路中仅含电流源时，可将电流源一端作为参考点。
（2）利用 G jjV j 如下：
根据欧姆定律和基尔霍夫电压定律 得到： V1 V1 I2 G2V1 I1 G1V1 R2 R1
I3
I4
U12 V1 V2 G3 (V1 V2 ) R3 R3
V2 G4V2 R4
V2 U S 5 V 2 U S 5 I5 G5V2 G5U S 5 R5 R5 R5
结论：两独立节点间含有理想电压源时，需要假 相该支路电流变量，并增补两节点间的电压方程。
五、节点电位法使用注意事项： （1）列节点方程时，自电导前总是正，互电导前总是负。 （2）表示流入节点j的电流的代数和，流入节点j的电流取 正号，流出节点的j电流取负号。 （3）参考点选择：
其一，使参考点与尽量多的节点相邻；
节点1： (
G V
jk k
I sjj 列节点1、2、3的电位方程
1 1 1 1 )V1 V2 V3 I S R1 R5 R1 R5
1 1 1 1 1 节点2： ( )V2 V1 V3 0 R1 R2 R3 R1 R3 1 1 1 1 1 节点3： ( R R R )V3 R V2 R V1 0 3 4 5 3 5
将支路电流代入节点方程并整理得到：
节点1 节点2
(
(
1 1 1 1 )V1 V2 I S1 R1 R2 R3 R3
自电导：某一节点所连的所有 电导，均取正； 互电导：某一节点与相邻节点 之间的电导，总取负。
U 1 1 1 1 )V2 V1 S 5 R3 R4 R5 R3 R5
VD 4.875 V
由欧姆定律得到：
I R1 V V A 7.125 3 B 1.03A R1 4
I R2 VB VC 7.125 0.89A R2 8
I R3
V A VD 3 (4.785) 1.30A R3 6
I R4
VC VD 4.875 0.61A R4 8
1 1 1 对节点B有：( )VB VA I R1 R2 R1
对于节点D有：( 又因：
I ＋ 8Ω
US2 － R4 IR4
12V IR3 R3 6Ω ＋
C
D
US1 3V －
8Ω
1 1 1 )VD VA I R3 R4 R3
VB VD 12V
联立求解可得： VB
7.125 V
例2 求解图示电路节点的 电压和电流源发出的功率。 解 ：节点1的方程：
1 1 1 20V ( )V1 V2 1A 10 40 40 40V
节点2的方程：
( 1 1 1 1 50V 20V )V2 V1 ` 40 25 30 20 40 20 30 40