四边形存在性问题1

四边形的存在性（讲义）

➢ 课前预习

1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 点坐标为(3，4)，若B 为

x 轴上一点，且恰好使得以A ，O ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，则点B 的坐标为_____________．

提示：两定点一动点的等腰三角形存在性问题，考虑两圆一线．

2. 如图，在△

ABC 中，∠A =30°，∠C =90°，AB

=8，动点E 从点

B 出发，以每秒1个单位长度沿

BA 方向向终点A 运动；动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度沿AC 方向向终点C 运动，当点D 到达终点时，两点同时停止运动．当△ADE 是等腰三角形时，t 的值为_________．

提示：夹角固定两点动的等腰三角形存在性问题，列方程求解时要充分考虑夹角、等腰三角形三线合一的使用．

C B A C B A C B

A

➢知识点睛

1.存在性问题的处理思路

①分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结

合图形形成因素（判定等）考虑分类．

②画图求解：分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形．

通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．

③结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．

2.菱形、矩形、正方形的存在性问题，通常借助转化探究思想

来分析，将复杂、陌生问题转化为简单、熟悉问题解决．如：

①菱形存在性问题通常转化为等腰三角形存在性处理，亦可

借助菱形性质解决．

②矩形存在性问题通常转化为直角三角形存在性处理．

③正方形存在性问题通常转化为等腰直角三角形存在性处理．

➢ 精讲精练

1. 如图，已知二次函数的解析式为，抛物线与x

轴交于A ，B 两点，点C (-1，n )在抛物线上；若点P 在直线AC 上，点Q 在坐标系内，且以A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形，则点Q 的坐标为_____________________．

268y x x =+

+

2. 如图，已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y

轴交于点C ．

（1）若点P 在对称轴右侧的抛物线上，使得△P AC 为直角三角形，则点P 的坐标为_____________________；

（2）将△OAC 补成矩形，使得△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，且第三个顶点落在矩形这一边的对边上，则矩形未知顶点的坐标为_________________．

22x y x --

=

3. 如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴

交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 与x 轴交于点E ，连接BD ．已知点P 为BD 的中点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，点G 为抛物线上一动点，点M 为x 轴上一动点，点N 为直线PF 上一动点，若以点F ，M ，N ，G 为顶点的四边形是正方形，则点M 的坐标为__________________ ____________________．

223y x x =-+

+

4.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线

交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横

坐标为-8．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B 重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．

①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函

数关系式，并求出l的最大值；

②连接P A，以P A为边作图示一侧的正方形APFG，随着点P

的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

33

42

y

x

=-2

1

4

y x bx c

=-++

5. 如图，已知直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，

将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到△COD ．

（1）点M 在CD 上，且CM =OM ，抛物线经过点C ，M ，求抛物线的解析式．

（2）如果点E 在y 轴上，且位于点C 的下方，点F 在直线AC 上，那么在（1）中的抛物线上是否存在点P ，使得以C ，E ，F ，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的周长；若不存在，请说明理由．

1

13

y x =+2y x bx c =+

+

【参考答案】 ➢ 课前预习

1. 125

(

0)6

B ，，2(50)B -，

，3(50)B ，，4(60)B ，

2. 4或12-4

➢ 精讲精练

1. 1(2Q -，2(2Q -，3(42)Q -，

，4(31)Q --， 2. （1）157()24P ，，2

35

()24

P -， （2）第一种情况：未知点(12)D --，；

第二种情况：未知点48()55E -，，12()55F -，

3. 11(

0)2M +，21(0)2M ，33(0)2M +，

40)M 4. （1）2135

442y x x =--+

（2）①231848

82555

l x x x =--+-<<（），最大值为15

②13(

2)2P --，23(2)2

P -，377(22P --+， 5. （1）27

32

y x x =-+

（2）存在，菱形周长为8或