广义积分的性质

a a
g ( x) dx收敛时，
f ( x ) dx必收敛； g ( x ) dx必发散。
a
f ( x ) dx发散时，
a
定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散。（与级数类似） 例1：
讨论

0
sin x
2
解：先讨论 0
由于 sin x 1 x
2
1 x sin x

g ( x)dx的敛散性要知道；
3.找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数。
特殊地，取g ( x) 1 x
p
可以得柯西判别法
3. 无穷积分收敛的柯西判别法 推论2：(不等式形式）设f定义在[ a , ) (a 0)上,
且在任何有限区间[ a , u ] 上可积，则有： f ( x) 0,
2
dx 必收敛。 (由性质 3）
（2）极限形式 推论1：设f和g定义在[ a , )上 ,
f ( x ) 0 , g ( x) 0 , 且它们都在 f ( x) g ( x)
x
任何有限区间[ a , u ] 上可积，若有 lim
c, 则有：
（ ）当0 c 时， 1 （2）当c 0时，由
x
a a
f ( x) 0, 在任何
p
f ( x) ，则有：
（ ）当p 1, 0 时, 1 （2）当p 1, 0 时,
f ( x)dx收敛； f ( x) dx发散。
注意：1.实际应用中，常用推论3； 2.用推论3时要找p,使同时满足p及的条件； 3.找p的时候最好使极限是一个非0的常数。 例2：讨论下列无穷积分的收敛性
dx 的收敛性 。
1 x 1 1 x
2 0
2
dx 的收敛性 ：

, x [ 0 , ) ，以及 sin x 1 x
2

0
1 1 x
2
dx

2
收敛，
由定理 11 . 2 知道
即
0

dx 收敛。
sin x 1 x
2
dx 绝对收敛，从而

0
sin x 1 x
cos t 2 t
dt ，
由例 3知道：
sin x
1


cos x
1
dx 均条件收敛。


x sin x
1
4
dx＝
1 2

1
sin t dt
2
由上面得到的结果知


x sin x
1
4
dx 也是条件收敛的。
说明：从此例可以看到：
当x 时被积函数即使不趋于零, 甚至是无界的， 无穷积分仍有可能收敛。

u2 a
f ( x ) dx

u1 a
f ( x ) dx

u2 u1
f ( x ) dx

2. 无穷积分的性质 若 性质1： a f 1 ( x ) dx 与 a
f 2 ( x ) dx 都 收敛， k 1 、 k 2 为任意常数，则

a
[ k 1 f 1 ( x ) k 2 f 2 ( x )] dx 也收敛，且
（1）
1
x e

x
dx ；
(2)
0
x x
5
2
1
dx
解：例子中被积函数都是非负函数，所以可用推论3
(1) 因为对任意实数都有
x
lim x x e
2

x
lim
x
2
x
x
0，
e
此时p 2， 0, 所以由推论3得（ ）对任何实数均收敛。 1

f ( x) g ( x)dx收敛。
a
注意：1.实际中，这两个判别法常用于判别条件收敛的无穷积分； 2.用这两个判别法关键是选择适当的f(x)及g(x)； 3.在狄利克雷判别法中，一般令f(x)为sinx或cosx；
在阿贝耳判别法中，一般取f ( x)
讨论 例3： 1

1 x
p
( p 1)。

a
[ k 1 f 1 ( x ) k 2 f 2 ( x )] dx k 1
a
f 1 ( x ) dx k 2
a
f 2 ( x ) dx
(1)
若 性质2：
f 在任何有限区间
[ a , u ]上可积， a b ，则 同时发散），且有


a
f ( x ) dx 与
sin x x
p
dx 与
1
cos x x
p
dx ( p 0 ) 绝对收敛或条件收敛
。
说明：只讨论前者，后者类似可得。 解题思路：由于被积函数不是非负函数，故不能直接用比较判别 法或柯西判别法，结合例1，我们可以先考虑判别它 是否绝对收敛，若不是再考虑用上述的狄利克雷判别 法或阿贝耳判别法。
无穷积分

a
f ( x ) dx 收敛的充要条件是：

u a
f ( x ) dx 有上界
2. 无穷积分收敛的比较判别法
（1）不等式形式 定理11.2：设定义在[ a , )上的两个非负函数f和g都在任何
有限区间[ a , u ] 上可积，且满足 f ( x ) g ( x ) ，x [ a , ) 则（ ）当 1 （2）当
1 解： . 先讨论 1 （1） 由于 sin x x
p

sin x x
p
dx 的收敛性 ：

1 x
p
, x [1 , ) ，以及

1
1 x
p
dx 当 p 1时收敛，
由定理 11 . 2 知道

1
sin x x
p
dx 收敛。
即当p 1 时，

sin x x
（ ）当f ( x ) 1 （2）当f ( x )
1 x x
p
, x [ a , ), 且p 1 时 , x [ a , )且p 1 时
a
f ( x) dx收敛； f ( x ) dx发散。
1
p
a
( 推论3：极限形式）设f定义在[ a , ) (a 0)上, 有限区间[ a , u ] 上可积，且 lim x
§2 无穷积分的性质与收敛判别
教学内容： 1. 无穷积分的性质 2. 无穷积分收敛的判别 教学重点：无穷积分的比较判别法与柯西判别法。 教学难点：应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分。
说明： 以下只给出
a
f ( x)dx 的性质及收敛判别，其它两种情形类似可得。
一. 无穷积分的性质
设 F (u )

b
f ( x ) dx 同敛态（即同时收敛或

a
f ( x ) dx

b a
f ( x ) dx 分。

f ( x ) dx
b
(2)
其中右边第一项是定积
3. 无穷积分收敛的充要条件
无穷积分

a
f ( x ) dx 收敛的充要条件是：任
给 0，
存在 G a ， 只要 u G ，总有
( 2) 因为
1 x
lim x
2

x
5
2
x 1
1，
此时p 1 ， 1, 所以由推论3得（2）是发散的。 2
三. 无穷积分敛散性的狄利克雷判别法和阿贝耳判别法
条件：适用于
a
f ( x) g ( x)dx(其中f及g为一般函数）
1. 无穷积分收敛的狄利克雷判别法
定理11.3：(狄利克雷判别法）


f ( x ) dx
u

4. 无穷积分的绝对收敛与条件收敛
若无穷积分 若

a
f ( x ) dx 收敛，则称

a
f ( x ) dx 为 绝对收敛；

a
f ( x ) dx 发散，而

a
f ( x ) dx 收敛，则称

a
f ( x ) dx 为
条件收敛。
若 性质3： f 在任何有限区间 [ a , u ]上可积，则有
1
sin x x
p
dx 发散。

u 1
sin xdx cos 1 cos u 2，
而
1 x
p
当p 0时当x 时单调趋于0，
当 0 p 1时
1
由狄利克雷判别法知：
sin x x
p
dx 均收敛。
综1.(2)及2.知： 当0 利用此例可以解下例
p 1 时

sin x x
p
dx条件收敛。
1
例4. 证明下列无穷积分都是条件收敛的：


sin x
1
2
dx，

cos x
1
2
dx，

x sin x
1
4
dx .
证：
设t x

2

sin x
1
2
dx


1
sin t 2
2
dt ，
t
dx 及


cos x
1
2
2
dx

1
p
dx绝对收敛。
1
( 2 )当 0 p 1时
由于 sin x x
p

sin x
2 p
x

1 2x

cos 2 x 2x
, x [1 , ) ，
由狄利克雷判别法知： ( 事实上 （1） cos 2 xdx :
1 u

1 2
1
cos 2 x 2x
dx 收敛。
sin 2 u sin 2 1，
若F (u )

u a
f ( x)dx在[ a,)上有界，g ( x)在[ a,)上
a
当x 时单调趋于0，则
f ( x) g ( x)dx收敛。
3. 无穷积分收敛的阿贝耳判别法 定理11.4：(阿贝耳判别法）
若
a
f ( x)dx收敛, g ( x)在[a,)上单调有界, 则
(2)
1 2x
当x 时单调趋于0。）
2x 1 cos 2 x 所以 ( ) dx 发散，从而由定理 1 2x 2x sin x 2 .再看 dx 的收敛性： p 1 x
当 0 p 1时 由于对任意
u 1，有
而

1
dx是发散的，
11 . 2 得
1

a
f ( x ) dx 收敛，则

a
f ( x ) dx 亦必收敛，且有

a
f ( x ) dx


f ( x ) dx
a
(3)
说明：性质3指出：绝对收敛的无穷积分必收敛，但反之未必。 （今后举例说明） 二. 无穷积分敛散性的判别
条件：当f ( x) 0时
1. 无穷积分收敛的充要条件

u a
f ( x ) dx，则

a
f ( x ) dx 收敛与否取决于
F ( u ) 当 u 时
是否存在极限。由极限
存在的柯西准则可得
1. 无穷积分收敛的柯西准则
无穷积分 定理11.1： a

f ( x ) dx 收敛的充要条件是：任
给 0，
存在 G a ， 只要 u 1 、 u 2 G ，便有
a

a
f ( x) dx与
a
g ( x) dx 同敛态；
a a
g ( x) dx收敛可推知
a
f ( x) dx也收敛； f ( x) dx也发散。
（3 ）当c 时，由
g ( x) dx发散可推知
பைடு நூலகம்
注意：1.推论中，当c=0时只能判别收敛；当c为正无穷大时 只能判别发散； 2.用此推论时要找分母的g(x)且 a