定积分的基本性质

a
a
特别地，若f ( x)在[a, b]上连续，则 [a, b]使得
b
b
a f ( x)g( x)dx f ( )a g( x)dx.
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a b c,
c
a
f ( x)dx
b
a f ( x)dx
c
b f ( x)dx
则
b
a
f
(
x)dx
c
a
f
(
x)dx
c
b
f
(
x)dx
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
一、基本内容
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
a b
f
( x)dx .
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1
b[ a
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a
g(
x)dx
.
证
b
a[
f
(
x)
g(
0, 使x N ( x0 , ) [a, b]时，有f ( x) f ( x0 ) .
2
b
a f ((x)dlxim x x0
x0
fa ( x)
f(
xf
)(dxx0
)
xx00f(2fx(0
x) ))dx
b
f ( x)dx
x0
x0 f ( x)dx x0 f ( x0 ) dx f ( x0 ) 2 0.
(a b)
证 f (x) f (x) f (x),
b
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx,
即 b a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx .
说明：f 在[a, b]上可积| f | 在[a, b] 上可积
但反之不真，如
1, x为有理数 f ( x) 1，x为无理数.
在[0,1]上 不可积.
性质6(估值定理) 设M 及m 分别是函数
f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
则
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
M (b
a).
证 m f (x) M,
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx,
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a).
dx x
3
.
例 3
估计积分
2
4
sin xdx的值. x
解 f ( x) sin x , x [ , ]
x
42
f
( x)
x cos
x sin x2
x
cos x( x x2
tan
x)
0,
f ( x)在[ , ]上严格单调下降,
42
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故 x 为最大点，x 为最小点,
4
2
M f () 2 2, m f () 2 ,
n
xi 0, f (i )xi 0, i 1
max{x1,x2, ,xn }
n
lim
0
i 1
f (i )xi
b
f ( x)dx 0.
a
性质5的推论：
（1）如果在区间[a,b]上 f ( x) g( x)，
则 b a
f
(
x)dx
b
a
g(
x)dx
.
(a b)
证 f ( x) g( x), g( x) f ( x) 0,
b
a[g( x) f ( x)]dx 0,
b
b
a g( x)dx a f ( x)dx 0,
于是
b
a f ( x)dx
b
a g( x)dx.
将性质5加强便得到如下命题：
命题 设 f ( x)在区间[a, b] (a b)上连续、非负
且不恒为零，则 b f ( x)dx 0. a
证 设f ( x0 ) 0 ( x0 (a, b)), 由连续性和极限的局部保号性，
4
2
ba , 24 4
2 4
2 4
sin xdx x
2 2, 4
1
2
2 4
sin x
xdx
2. 2
性质7（积分第一中值定理）
设f ( x)和g( x)都在[a, b]上可积，g( x)在[a, b]上不变号，
则存在 [m, M ]，使得
b
f ( x)g( x)dx
b
g( x)dx.
f ( x) e x 1 0, 则f ( x)在[0, 1]上严格递增.
x (0,1], f ( x) f (0) 0 x [0,1], e x 1 x,
且仅在x 0处取等号，于是
1 e xdx
1
(1 x)dx.
0
0
性质5的推论：
（2）
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx.
x0
2 x0
2
x0 为区间端点时类似证明（取单侧邻域）.
推论：如果 f , g 在区间[a, b]上连续且 f ( x) g( x) ，
但不恒等，则
b
f ( x)dx
b
g( x)dx. (a b)
a
a
例 1
比较积分值
1 0
e
x dx
和
1
0 (1 x)dx 的大小.
解 令 f ( x) e x 1 x, 则f ( x)在[0, 1]上连续.
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
例 2
估计积分
0
3
1 sin 3
dx 的值. x
解
1 f ( x) 3 sin3 x , x [0, ],
0 sin3 x 1,
1 4
3
1 sin 3
x
1, 3
1dx
04
0
3
1 sin3
dx x
1dx, 03
4
0
3
1 sin3
lim
0
i 1
kf
(i
)xi
n
n
lim k
0 i1
f (i )xi
k lim 0 i1
f (i )xi
b
k a f ( x)dx.
性质1、2统称为线性性，即 设，为常数，有
b
[f ( x) g( x)]dx
a
b
f ( x)dx
a
b
a g( x)dx .
性质3（区间可加性）假设a c b
x)]dx
n
lim
0
[
i 1
f
(i
)
g(i
)]xi
n
n
lim
0
i 1
f
(i )xi
lim
0
i 1
g(i )xi
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
abkf
(
x
)dx
k
b
a
f
(
x
)dx
(k 为常数).
证
b
n
a
kf
(
x)dx
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
b
b
a 1 dx a
dx b a .
n
证
b a
dx
lim
0
i 1
1
xi
lim(b a) b a. 0
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则 b a
f
(
x)dx
0.
(a b)
证 f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2, ,n)