四边形知识点和题型归纳
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30
等边三角形和含 30 角直角三角形
（①
图）
② 菱形有一个角为 60 时, 可得：
③ 正方形中可得：
含 30 角的四个全等直角三角形
四大四小等腰直角三
角形
60 60
（②图） ④ 对角线互相垂直的梯形 , 梯形 平移腰可得：双垂图
（③图） ⑤ 对角线互相垂直的等腰
可得：等腰直角三角形
A
D
B
E
C
F
（④图）
四边形知识与题型总结
一. 本章知识要求和结构 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方平形行、四边梯形 形的概念，了解它们之
间的内在关系 .
（ 1）演变关系图：
一个内角 为Rt 一个内角为 Rt , 一组邻边相等
四边形
行 平 对边 组 两 且一另组一对组边对平边行不 平行
一组邻边 相等 一个内角为Rt
（一）概念题
1． ABCD 中，∠Ａ的平分线分 BC成 4cm和 3cm两条线段，
则 ABCD 的周长为
．
2．在
ABCD
中，∠
C=60o,DE⊥
AB于
DE,DF⊥
BC于 C
F．
（ 1）则∠ EDF=
；
F
A
（ 2）如图，若 AE=4，CF=7，
E
B
则 ABCD 周长 =
;
(3) 若 AE=3，CF=7，请作出对应图形，并求 ABCD 周长．
）
C
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形
Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
9. （2007 浙江嘉兴）如图，在菱形 ABCD中，不一定成立的（
）
Ａ． ABCD Ｂ． AC⊥BD Ｃ．等边△ ABD Ｄ．∠ CAB＝∠ CAD
B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ． D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6. （2007 甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是 ()
A．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 7. （2007 四川眉山）下列命题中的假命题是 ( )
和;
（4）直角三角形的性质 定理 : 直角三角形斜边上的中线
5. 正方形：
（1）对角线：若正方形的边长为 a，则对角线的长为 2a ;
正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离
相等
（ 3）面积：正方形的面积等于边长的平方 ; 等于两条对角线的乘积的
一半 .
周长相等的四边形中， 正方形的面积最大 .
C．等腰梯形的两条对角线相等
D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
5. （2007 浙江义乌）在下列命题中，正确的是（
）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
3．(1) 在平行四边形 ABCD中，若∠ C=∠B+∠D，则∠ A=
(2) 已知在 ABCD , ∠A比∠ B小 20o，则∠ C的度数是
平行四边形
矩形
菱形
正方形
边
称
判
定
角
义 的四边形是平行 的平行四边形是 的平行四边形 的平行四边形 定 对
四边形
矩形
是菱形
是正方形
角
线
边
面
积
性角
周
对
长
角 质线
对
3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积 .
如图 1， S ABCD =BC· AE=CD· BF
A
D
AD
EF
B
E
C
F
图1
BC
图2
（⑤图）
8. 中点四边形 : （顶点为各边的中点，需讨论对角线 &中位线）
(1) 顺ห้องสมุดไป่ตู้连结任意四边形各边中点构成的四边形是 _______________
(2) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点
, 构成的四边形是
__________
(3) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是
_______
（二）图形的性质和判定方法
10．如图，已知四边形 ABCD是正方形，分别过 A、C两点作 1 // 2 ，作
BM⊥ 2 于 M， DN⊥ 2 于 N，直线 MB、ND分别交 1、 2于 Q、P，试判断四
边形 PQMN的形状．
P
CQ
l1
D
B
N
A
M
l2
12．如图，在矩形 ABCD中， E 是 CD边上一点，
A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B ．一组邻边相等的矩形是正方形
C ． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 A
4．（2007 福建福州）下列命题中，错误的是（
）
A．矩形的对角线互相平分且相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
B
D
8. （2007 四川成都）下列命题中，真命题是（
(4) 顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是 _________
顺次连结矩形各边中点构成的四边形是 _________
顺次连结菱形各边中点构成的四边形是 _________
顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是 __________
顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是 __________
二．典型题型归纳
(3) 在 ABCD 中，周长为 100cm，AB-BC=20cm，则 AB=
BC=
.
（4）在 ABCD 中，周长为 30cm，且 AB：BC=3：2，则 AB=
A
D
（ 5）（2007 河北省）如图， 若□ABCD与
B
C
□EBCF关于 BC所在直线对称，
E
F
∠ABE＝90°，则∠ F ＝
°．
. , cm.
一组邻边 相等
（ 2）从属关系 （依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表 一种图形）
称
性
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性
质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算 .
名
AE=AB，AB=2AD，求∠ EBC的度数 D
（2）同底 ( 等底 ) 同高（等高）的平行四边形面积相等 . 如图 2，
= S ABCD S BCFE
4. 三角形中位线定理
定义 :
叫做三角形中位线 （与中线的区
分） ;
定理 :
作用 : 可以证明两条直线平行 ; 线段的相等或倍分 .
拓展 : 三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个
的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的
6. ※梯形的中位线
（ 1）定义 : 连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
（ 2）梯形的中位线定理 : 梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一
半.
（ 3）梯形的面积 S=1 ×（上底 +下底）×高 =中位线×高
2
7. 几种特殊四边形的对角线 60 60
① 矩形对角线交角为 60 (120 ) 时, 可得：
等边三角形和含 30 角直角三角形
（①
图）
② 菱形有一个角为 60 时, 可得：
③ 正方形中可得：
含 30 角的四个全等直角三角形
四大四小等腰直角三
角形
60 60
（②图） ④ 对角线互相垂直的梯形 , 梯形 平移腰可得：双垂图
（③图） ⑤ 对角线互相垂直的等腰
可得：等腰直角三角形
A
D
B
E
C
F
（④图）
四边形知识与题型总结
一. 本章知识要求和结构 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方平形行、四边梯形 形的概念，了解它们之
间的内在关系 .
（ 1）演变关系图：
一个内角 为Rt 一个内角为 Rt , 一组邻边相等
四边形
行 平 对边 组 两 且一另组一对组边对平边行不 平行
一组邻边 相等 一个内角为Rt
（一）概念题
1． ABCD 中，∠Ａ的平分线分 BC成 4cm和 3cm两条线段，
则 ABCD 的周长为
．
2．在
ABCD
中，∠
C=60o,DE⊥
AB于
DE,DF⊥
BC于 C
F．
（ 1）则∠ EDF=
；
F
A
（ 2）如图，若 AE=4，CF=7，
E
B
则 ABCD 周长 =
;
(3) 若 AE=3，CF=7，请作出对应图形，并求 ABCD 周长．
）
C
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形
Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
9. （2007 浙江嘉兴）如图，在菱形 ABCD中，不一定成立的（
）
Ａ． ABCD Ｂ． AC⊥BD Ｃ．等边△ ABD Ｄ．∠ CAB＝∠ CAD
B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ． D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6. （2007 甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是 ()
A．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 7. （2007 四川眉山）下列命题中的假命题是 ( )
和;
（4）直角三角形的性质 定理 : 直角三角形斜边上的中线
5. 正方形：
（1）对角线：若正方形的边长为 a，则对角线的长为 2a ;
正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离
相等
（ 3）面积：正方形的面积等于边长的平方 ; 等于两条对角线的乘积的
一半 .
周长相等的四边形中， 正方形的面积最大 .
C．等腰梯形的两条对角线相等
D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
5. （2007 浙江义乌）在下列命题中，正确的是（
）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
3．(1) 在平行四边形 ABCD中，若∠ C=∠B+∠D，则∠ A=
(2) 已知在 ABCD , ∠A比∠ B小 20o，则∠ C的度数是
平行四边形
矩形
菱形
正方形
边
称
判
定
角
义 的四边形是平行 的平行四边形是 的平行四边形 的平行四边形 定 对
四边形
矩形
是菱形
是正方形
角
线
边
面
积
性角
周
对
长
角 质线
对
3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积 .
如图 1， S ABCD =BC· AE=CD· BF
A
D
AD
EF
B
E
C
F
图1
BC
图2
（⑤图）
8. 中点四边形 : （顶点为各边的中点，需讨论对角线 &中位线）
(1) 顺ห้องสมุดไป่ตู้连结任意四边形各边中点构成的四边形是 _______________
(2) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点
, 构成的四边形是
__________
(3) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是
_______
（二）图形的性质和判定方法
10．如图，已知四边形 ABCD是正方形，分别过 A、C两点作 1 // 2 ，作
BM⊥ 2 于 M， DN⊥ 2 于 N，直线 MB、ND分别交 1、 2于 Q、P，试判断四
边形 PQMN的形状．
P
CQ
l1
D
B
N
A
M
l2
12．如图，在矩形 ABCD中， E 是 CD边上一点，
A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B ．一组邻边相等的矩形是正方形
C ． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 A
4．（2007 福建福州）下列命题中，错误的是（
）
A．矩形的对角线互相平分且相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
B
D
8. （2007 四川成都）下列命题中，真命题是（
(4) 顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是 _________
顺次连结矩形各边中点构成的四边形是 _________
顺次连结菱形各边中点构成的四边形是 _________
顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是 __________
顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是 __________
二．典型题型归纳
(3) 在 ABCD 中，周长为 100cm，AB-BC=20cm，则 AB=
BC=
.
（4）在 ABCD 中，周长为 30cm，且 AB：BC=3：2，则 AB=
A
D
（ 5）（2007 河北省）如图， 若□ABCD与
B
C
□EBCF关于 BC所在直线对称，
E
F
∠ABE＝90°，则∠ F ＝
°．
. , cm.
一组邻边 相等
（ 2）从属关系 （依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表 一种图形）
称
性
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性
质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算 .
名
AE=AB，AB=2AD，求∠ EBC的度数 D
（2）同底 ( 等底 ) 同高（等高）的平行四边形面积相等 . 如图 2，
= S ABCD S BCFE
4. 三角形中位线定理
定义 :
叫做三角形中位线 （与中线的区
分） ;
定理 :
作用 : 可以证明两条直线平行 ; 线段的相等或倍分 .
拓展 : 三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个
的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的
6. ※梯形的中位线
（ 1）定义 : 连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
（ 2）梯形的中位线定理 : 梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一
半.
（ 3）梯形的面积 S=1 ×（上底 +下底）×高 =中位线×高
2
7. 几种特殊四边形的对角线 60 60
① 矩形对角线交角为 60 (120 ) 时, 可得：