奥数培训第10讲—反比例函数

泸州翰林初二暑假奥数培训第10讲（讲稿）

反比例函数 姓名__________

例1在反比例函数y=12

m

x

-的图像上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1<0

取值范围是（ ）

A ．m<0

B ．m>0

C ．m<

12 D ．m>12

例2如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，和反比例函数的图象交于C 、D 两点，如果点A 的坐标为（2，0），且OA=OB=AC=BD ，求一次函数和反比例函数的解析式。

例3 （09分班考试）如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)k

y k x

=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．

（1）求k 的值；

（2）若双曲线(0)k

y k x

=

>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k

y k x

=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点

A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．解：（1）Q 点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．

∴点A 的坐标为(42)，

． Q 点A 是直线

12y x =

与双曲线(0)k y k x =>的交点，

428k ∴=?=．

（2）解法一：如图12－1，

Q 点C 在双曲线上，当8y =时，1x =

∴点C 的坐标为(18)

，． 过点A

C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ． 图12

O

x A y

B

O

x

A

y

D

M

N

C

32

ONDM S =矩形，

4

ONC S =△，

9

CDA S =△，

4

OAM S =△．

32494

AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形解法二：如图12－2，

过点C A

，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，

Q 点C 在双曲线

8

y x =

上，当8y =时，1x =．

∴点C 的坐标为(18)

，． Q 点C ，A 都在双曲线

8

y x =

上，

4COE AOF S S ∴==△△

COE COA AOF

CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形．

COA CEFA

S S ∴=△梯形．

1

(28)3152CEFA S =?+?=Q 梯形，

15COA S

∴=△． （3）Q 反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，

OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形．

11

24644POA APBQ S S ∴=

=?=△平行四边形．

设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得

8

()

P m m ，． 过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，

Q 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△．

若04m <<，如图12－3，

POE POA AOF

PEFA S S S S +=+Q △△△梯形，

6POA

PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ??+-= ???∴·．

解得2m =，8m =-（舍去）．∴(24)P ，

． 图12－2

图12－3

若4m >，如图12－4，

AOF AOP

AFEP S S S S +=+Q △△△梯形6POA

PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ??

∴+-= ???g ，

解得8m =，2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，

或(81)P ，．

例4 有一个R t △ABC ，∠A=900，∠B=600，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，

直角顶点A 在反比例函数y=

x

3

的图像上，求点C 的坐标．

分析：由于反比例函数的图像是双曲线，所以把Rt △ABC 放在直角坐标系中，并且把顶点A 在反比例函数y=

x

3

的图像上时，可以放在双曲线的两支上，而且Rt △ABC 的另两个顶点B 、C 的左右位置也可以“不同”，应考虑四种放法，即本题共有四种情况，从而形成“一题多解”．

解：（1）如图5（1），过点A 作AD ⊥BC 于D ，则AD=ABsin600=

23，所以点A 的纵坐标为2

3

，将其代入y=x 3，得x=2．即OD=2．在RtADC 中，DC=23，所以OC=27，即点C 1的坐标为（2

7

，0）．

（2）如图5（2），过点A 作AE ⊥BC 于E ，则AE=23，OE=2，CE=23，所以OC=2

1

，即点C 2的坐标为（

2

1

，0）． 图5 图5（1） 图5（2）

图12－4

根据双曲线的对称性，得点C 3的坐标为（-27，0），点C4的坐标为（-2

1，0）． 故，点C 的坐标分别为（27，0），（21，0），（-27，0），（-2

1

，0）．

变式训练：

1．已知反比例函数x

k

y =

的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点A (72，y 1)、B (5，y 2)，则y 1与y 2的大小关系为（ ）。A

A 、y 1＞y 2

B 、y 1＝y 2

C 、y 1＜y 2

D 、无法确定

2.（2009年泸州）已知反比例函数x k

y =

的图象经过点P(一l ，2) A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限

3．（2009年河池）如图5，A 、B 是函数2

y x

=的图象上关于原点对称的任意两点，

BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）

A ． 2S =

B ． 4S =

C ．24S <<

D ．4S > *2．若A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是反比例函数x

y 2

-=图象上的两个点，且a 1＜a 2，则b 1与b 2的大小关系是（ ）D A ．b 1＜b 2

B ．b 1 = b 2

C ．b 1＞b 2

D ．大小不确定

*3．如图6，Rt △ABC （∠ABC=90°）的顶点A 是双曲线k

y x =与直线k x y +=的在第一象限的交点，C 为k x y +=与x 轴的交点。若=?ABO S 1，

（1）求出这两个函数的表达式；（2）求出△ABC 的面积。

*4．已知一次函数32y x k =-的图象与反比例函数3

k y x

-=的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6，求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标。

设（m ，6），则326

36m k k m

-=??

-?=??，解得45,3k m =-=-，

32310y x k x =-=+，与两坐标轴的交点坐标分别为10,0,(0,10)3??

- ???

4．（2006，上海市）如图，在直角坐标系中，O 为原点，点A 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=

12

x

的图像经过点A ， O x

y

A

B C O B

x

y

C

A

（1）求点A的坐标；

（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，?求这个一次函数的解析式．

【分析】（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代入y=12

x

可求

得a的值，从而得出点A的坐标．

（2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式，?从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式．

【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a>0．

∵点A在反比例函数y=12

x 的图像上，得3a=12

a

，解得a1=2，a2=－2，经检验a1=2，a2=－2?是

原方程的根，但a2=－2不符合题意，舍去．∴点A的坐标为（2，6）．

（2）由题意，设点B的坐标为（0，m）．∵m>0，∴22

(6)2

m-+．

解得m=10

3，经检验m=10

3

是原方程的根，

∴点B的坐标为（0，10

13

）．

设一次函数的解析式为y=kx+10

13

．

由于这个一次函数图像过点A（2，6），

∴6=2k+10

3，得k=

4

3

．

∴所求一次函数的解析式为y=4

3

x+10

3

．

*6．如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数

x

k

y=的图象上．

（1）求m，k的值；

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，

以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，

试求直线MN的函数表达式．

5.（2008，金华）如图所示，已知双曲线y=k

x

（k>0）与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限，

试解答下列问题：

（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为_______；若点A的横坐标为m，则点B?的坐标可表示为______．

（2）如图所示，过原点O作另一条直线L，交双曲线y=k

x

（k>0）于P，Q两点，点P?在第一象限．

①证明四边形APBQ一定是平行四边形；

②设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？?若可能，直接写出m，n应满足条件；若不可能，请说明理由．

（1）（－4，－2）（－m，－k′m）或（－m，－k

m

）

（2）①由勾股定理22

(')

m k m

+，

22

()(')

m k m

-+-22

(')

m k m

+，

∴OA=OB．

同理可得OP=OQ，

∴四边形APBQ一定是平行四边形．

②四边形APBQ可能是矩形，

m，n应满足的条件是mn=k．由两点距离公式OA=OP：

22

22

22

k k

m n

m n

+=+推得

x

O

y

A

B

四边形APBQ 不可能是正方形．

理由：点A ，P 不可能达到坐标轴，即∠POA ≠90°．

8. （2008，南通）如图所示，已知双曲线y=

k x 与直线y=1

4

x 相交于A ，B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线y=k

x

上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．?过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线y=

k

x

于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 的坐标是（－8，0），求A ，B 两点的坐标及k 的值；

（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式；

（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入y=

1

4

x 中，得y=－2． ∴B 点坐标为（－8，－2），而A ，B 两点关于原点对称，∴A （8，2）． 从而k=8×2=16．

（2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A ，B ，M ，E 四点均在双曲线上，

∴mn=k ，B （－2m ，－

2

n

），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）． S 矩形DCNO =2mn=2k ，S △DBO =12mn=12k ，S △OEN =12mn=1

2

k ，

∴S 四边形OBCE =S 矩形DCNO －S △DBO －S △OEN =k ． ∴k=4． 由直线y=

14x 及双曲线y=4

x

，得A （4，1），B （－4，－1）， ∴C （－4，－2），M （2，2）．

设直线CM 的解析式是y=ax+b ，由C ，M 两点在这条直线上，得 42,2 2.

a b a b -+=-??

+=?解得a=b=2

3．

∴直线CM 的解析式是y=

23x+23

． （3）如图所示，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1，M 1．

设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a ，于是p=

111A M MA a m

MP M O m

-==． 同理q=MB MQ =m a

m

+， ∴p －q=a m m -－m a

m

+=－2．