隐圆”最值问题习题

B M C

D

A “隐圆”最值问题

重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题

【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________．

分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3

【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =

90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC

上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________．

分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可

求出最小值

【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始

终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转

过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。

此题使用中位线。答案是3722c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE

= 90°，AC 2，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A

旋转一周，则线段AF 4242AC -+≤≤ 分析：同例题

【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角

坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC

长的最大值是（ ）

A ．2

B ．1

C ．3

D ．3

分析：取AB 中点M 连接OM 、CM 。因为OM=1，3，所以 3

【练1】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC 3，两顶点A 、B 分别在平面

直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC

长的最大值为_______3___．

A D

C B O y x N

M Q

C P

A 分析：取A

B 中点M ，方法同例题

【练2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，

满足AE = DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边

长为2，则线段DH 长度的最小值是51____．

分析：取AB 中点M ，方法同例题

【例4】如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC 的两个顶点A 、B 分别在

OX 、OY 上移动，其中AB = 10，那么点O 到AB 的距离的最大值为__________． 分析：构造△ABO 的外接圆。点O 可以在圆上任意动，利用垂径定理即可得到

O 到AB 的最大距离为：552

+ 【练1】已知线段AB = 4，在线段AB 上取一点P ，在AB 的同侧作等边△APC 和等边△BPD ，

则线段CD 的最小值为____2______．

分析：可构造一个以CD 为斜边的水平的直角三角形，快速得到当AP=BP 时最小，CD 最小

【练2】如果满足∠ABC = 60°，AC = 12，BC = k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是____012k <≤______．

分析：画出△ABC 的外接圆，观察动点B 在弧上面的运动即可

【例5】已知A （2，0），B （4，0）是x 轴上的两点，点C 是y 轴上的动点，当∠ACB 最大时，则点C 的坐标为__________．

分析：画出△ABC 的外接圆M 。要保证∠ACB 最大，即圆周角最大，只要圆心角最大即可。所以在等腰△MAB 中只要半径最小即可，半径什么时候最小呢？只要圆与Y 轴相切即可所以得答案为：(0,2)±

【练】当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗？

如图，设墙壁上的展品最高点P 距底面2.5米，最低点Q 距底面

2米，观察者的眼睛E 距底面1.6米，当视角∠PEQ 最大时，站

在此处观赏最理想，则此时E 到墙壁的距离为（ B ）

A ．1米

B ．0.6米

C ．0.5米

D ．0.4米

分析：只要△PQE 的外接圆与人眼所在的水平线相切即可，通过垂径定理可得答案是B

【提升】

1．如图，Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠ABC = 30°，AB = 6，

点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA =

DE ，则AD 的取值范围是（ ）

A ．2 < AD < 3

B ．2 ≤ AD < 3

C ．2 ≤ A

D ≤ 3 D ．1 ≤ AD < 2

2．（2012·济南）如图，矩形ABCD 中，AB = 2，AD = 1，当A 、B 两点

分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动时，矩形ABCD 的形状不变，则

OD 的最大值为（ ） A 2+ 1 B 5 C 145 D ．52

3．（2013-2014·黄陂区九上期中·10）在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠ABC

= 30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0° < θ < 180° ），得

到△MNC ，P 、Q 分别是AC 、MN 的中点，AC = 2t ，连接PQ ，则旋转时