高考数学离心率专题

高考数学离心率

离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a ，b ，c ，e 的一个方程，就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！ 【例1】

[解法一]（大多数学生的解法）

解：由于12F PF ∆为等腰直角三角形，故有

122F F PF =，而122F F c =，2

2b PF a =

所以22b c a

=，整理得222

2ac b a c ==-

等式两边同时除以2

a ，得2

21e e =-，即2

210e e +-=， 解得28

122

e -±=

=-±，舍去12e =-- 因此12e =-+，选D

[解法二]（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解） 解：如右图所示，有 故选D [评]

以上两种方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，灵活运用了“通径”这个二级结论，使题目迎刃而解，但计算量偏大，耗时较长；而解法二则是老手，整个过程没有任何高级结论，只运用了最最最简单的、人人皆知的“定义”，通过几个简单的步骤即可。正所谓此时无法胜有法！

一、用定义求离心率问题

1. 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）D （A ）

22 （B ）212

- （C ）22- （D ）21- 2．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则

这个椭圆的离心率是（ ）A

A ．

3

3

B ．

3

2

C ．

2

2

D ．

2

3

3.在ABC △中，AB BC =，7

cos 18

B =-

．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．38

4、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________；

解析：设c=1，则121

21

2122222-=+==⇒+=⇒=-⇒=a c e a a c a a b

5、已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 。

解析：由已知C=2，2

1

42,43433222====⇒=-⇒=⇒=a c e a a a a b a b

6．过椭圆22221x y a b

+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o

，则椭

圆的离心率为B

A B C ．12 D ．13

7.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在

双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）D

A ．324+

B ．13-

C ．

2

1

3+ D ．13+

8.双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o 的直线交双曲

线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）B

A

B

C

D 9、设F 1，F 2分别是双曲线22

221x y a b

-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90o ，且|AF 1|=3|AF 2|，则

双曲线离心率为

(A)

(B)

(C)

(D)

解．设F 1，F 2分别是双曲线22

221x y a b

-=的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90o ，且|AF 1|=3|AF 2|，设

|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中122||||2a AF AF =-=，2c ==，∴ 离心率e =

，选B 。

10、如图，1F 和2F 分别是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两个

焦点，A 和B 是以O

AB F 2是等边三角形，

为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△则双曲线的离心率为 （A ）3

（B ）5

（C ）

2

5

（D ）31+

解析：如图，1F 和2F 分别是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径

的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，连接AF 1，∠AF 2F 1=30°，

31+，选D 。

|AF 1|=c ，|AF 2|=3c ，∴ 2(31)a c =-，双曲线的离心率为11.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满

1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A

A.1

322或

B.23或2 12或 D.2332

或 二、列方程求离心率问题

1．方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ）

Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 解：方程22520x x -+=的两个根分别为2，

1

2

，故选A 2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A ．

13

B ．

33

C ．

12

D ．

32

解．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ 2a b =，椭圆的离心率3

2

c e a =

=

，选D 。 3、设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为B

（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3

4.在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2

c ，以O 为圆心，a 为半 径的圆，过点(a 2c ，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．2

2

e =

5．已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为 （A ）53

(B )43 (C )54 (D )3

2