集合间的基本关系

对应学生用书P96

基础达标

一、选择题

1．下列命题：

①空集没有子集；

②任何集合至少有两个子集；

③空集是任何集合的真子集；

④若Ø A，则A≠Ø.

其中正确命题的个数是()

A．0B．1

C．2 D．3

解析：①错误，空集是任何集合的子集，所以Ø⊆Ø；②错误，如Ø；③错误，空集不是空集的真子集；④正确，因为Ø是任何非空集合的真子集．

答案：B

2．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③Ø＝{Ø}；④{0}＝Ø；

⑤Ø {Ø}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是()

A．6 B．5

C．4 D．3

解析：其中①，②，⑤，⑥是正确的，对于③应为Ø {Ø}或Ø∈{Ø}；对于④应为Ø {0}．答案：C

3．满足{a}⊆M {a，b，c，d}的集合M共有()

A．6个B．7个

C．8个D．15个

解析：由题意知a∈M，但M≠{a，b，c，d}，因此符合条件的集合M有23－1＝7(个)．答案：B

4．若A＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝4n－3，n∈Z}，C＝{x|x＝8n＋1，n∈Z}，则A，B，C之间的关系是()

A．C B A B．A B C

C．C A＝B D．A＝B＝C

解析：∵B＝{x|x＝4n－3，n∈Z}＝{x|x＝4(n－1)＋1，n∈Z}，∴A＝B.又A＝{x|x＝4n

＋1，n ∈Z }＝{x |x ＝8n ＋1或x ＝8n ＋5，n ∈Z }，∴C A .即C A ＝B .

答案：C

5．设集合P ＝{x |y ＝x 2}，Q ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则P 与Q 的关系是( ) A ．P ⊆Q B ．P ⊇Q C ．P ＝Q

D ．以上都不对

解析：集合P 是指函数y ＝x 2的自变量x 的取值范围，集合Q 是指所有二次函数y ＝x 2

图象上的点，故P ，Q 不存在谁包含谁的关系．

答案：D

6．设A ＝{x |1

D ．a ≤2

解析：如右图所示，借助数轴可得，要使A B ，则a ≥2，一定要注意端点值2可以取到，遇到类似问题，可代入验证．

答案：A 二、填空题

7．设集合M ＝{x |x 2＋x ＋2＝0}，N ＝{x ∈N |3x 2－x ＝0}，则集合M 与N 的关系是________． 解析：M ＝{x |x 2＋x ＋2＝0}＝Ø， N ＝{x ∈N |3x 2－x ＝0}＝{0}，故M N . 答案：M N

8．设集合A ＝{2，a }，B ＝{a 2－2,2}，若A ＝B ，则实数a ＝________. 解析：a 2－2＝a ，且a ≠2. 答案：－1

9．设x 、y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y

x ＝1}，则A ，B 的关系为________．

解析：集合A 为直线y ＝x 上所有的点构成的集合，集合B 为直线y ＝x 上除去(0,0)以外的点构成的集合，故B A .

答案：B A 三、解答题

10．设集合A ＝{x |a －2

解：∵A ⊆B ，∴⎩

⎪⎨⎪

⎧

a －2≥－2，a ＋2≤3.于是0≤a ≤1.

∴实数a 的取值范围为{a |0≤a ≤1}．

11．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求a 2010＋b 2011.

解：由A ＝B ，有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1ab ＝b 或⎩⎪⎨⎪

⎧

a 2＝

b ab ＝1，

解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1

b ＝1

. 由集合元素的互异性，知a ≠1. ∴a ＝－1，b ＝0，故a 2010＋b 2011＝1.

创新题型

12．已知集合A ＝{x |1

解：B ＝{x |－1

(1)当a ＝0时，A ＝Ø，显然A ⊆B . (2)当a >0时，A ＝{x |1a

a

}．

∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧

1

a

≥－1，2

a ≤1，

解得a ≥2；

(3)当a <0时，A ＝{x |2a

a

}，

∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧

1

a

≤1，2

a ≥－1，

解得a ≤－2.

综上可知：所求a 的取值范围为：a ≥2或a ≤－2或a ＝0.

1．本节内容是高考热点，多以选择题、填空题的形式考查，常与方程、函数、不等式等内容结合命题．

2．本节的重点是理解集合间包含与相等的含义，让学生多结合实例，如通过类比实数间的大小关系来学习集合间的包含关系；在讲解集合间的关系时，建议重视使用V enn 图，

这有助于学生体会直观图示对理解抽象概念的作用；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与⊆的区别．【例1】已知U＝R，则正确表示集合U，M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}之间关系的Venn图是()

思路分析：先求出集合N，进而确定集合M，N之间的关系，再选择Venn图即可．解析：由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}，则N M U.

答案：B

温馨提示：本题是两个集合关系的判断问题，其中两个集合的关系是用Venn图来呈现的，命题形式较为新颖．

【例2】已知集合A＝{x|0c，其中c＝________.

思路分析：依据A⊆B求出a的取值范围，与已知a>c比较，即可得到c的取值．

解析：由A⊆B知集合A是集合B的子集，画出数轴，如右图，可知a>4.又A⊆B时实数a的取值范围是a>c，所以c＝4.

答案：4

温馨提示：解决与不等式有关的集合问题，除了将解题“切入口”集中在相关概念上，还要注意用数轴来辅助解决或检验．