概率论 正态总体的均值和方差的假设检验

2 其中 S w
2 * ( n1 1) S1n 1 2 * ( n2 1) S2 n 2
n1 n2 2
.
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P{ | T | t / 2 ( n1 n2 2) } ，
查表可得 tα / 2 ( n1 n2 2).
3°给定显著水平 ( 0< < 1), 查表得临界值：
2 χα / 2 n 1,
2 χ1 α / 2 n 1

y
y p
χ2
( x)

2
2
12 / 2 (n 1)
2 / 2 ( n 1)
O
2
x
P{ χ
2
2 χ1 α / 2 ( n 1)}
两台机床生产的产品重量有无显著差异( =0.05)？ 解 本题归结为检验假设
H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 ,
取 检 验 的 统 计 量 为U ( X Y ) /
12
n1

2 2
n2
~ N (0,1)
给定α 0.05,
(当H 0成立时 )
由 Φ(u0.025 ) 0.975, 查表可得 uα / 2 u0.025 1.96
或{( x1 , x2 , , x5 ) : χ 2 11.1}.
2 又σ 0 0.1082 ,
*2 *2 ( n 1 ) S ( 5 1 ) S n n χ2 17 . 85 11 . 1 2 σ0 0.1082 所以拒绝H0,认为由新工艺炼出的铁水含碳质量
H 0 : μ1 μ2 , H1 : μ1 μ2
由样本值求得统计量 T 的观测值
t x y
2 ( n 1) s2 ( n1 1) s1 2 n 2n
1 2
方差相等.问处理前后含脂率的均值有无显著差异 （ = 0.05）?
解 以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在
2 2 ),Y ~ N ( μ2 , σ 2 ) 处理后的含脂率,且 X ~ N ( μ1 , σ1
2， σ 2 未知,但 σ 2 σ 2 于是问题归结 由题知 σ1 2 1 2
为检验假设
分数的方差与0.1082有显著性差异.
二、两个总体参数的检验
2 设总体 X ~ N ( 1 , 1 ), 2 Y ~ N ( 2 , 2 ),
注意与一个 总体的区别
X与Y独立, 样本( X1 , X 2 ,, X n )来自总体X ,
1
样本(Y1 ,Y2 ,,Yn ) 来自总体Y .
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
拒绝域：
W1 {( x1 , x 2 , , x n , y1 , y 2 , , yn ) :| t | t / 2 ( n1 n2 2)}
4 由样本值算出 T的值t , 若t W1，则拒绝H0；若t W1，则接受H0 .
例5 某种物种在处理前与处理后取样分析其含脂
问： 若总体的均值 已知,则如何设计假设检验？
构造χ 2
2 ( X μ ) i i 1 n
σ2
~ χ 2 ( n)可类似进行检验 .
例3 某炼钢厂铁水含碳质量分数X在正常情况下 服从正态分布 N ( μ, σ 2 ) ,现对操作工艺进行了改 革又测量了5炉铁水,含碳质量分数分别为： 4.421，4.052，4.357，4.287，4.683 是否可以认为由新工艺炼出的铁水含碳质量分 数的方差仍为0.1082（ = 0.05）？ 解 检验假设 H 0 : σ 2 0.1082 , H1 : σ 2 0.1082 , 取检验统计量： *2 ( n 1 ) S n 2 ( n 1), (当H 为真时 ) χ2 ~ χ 0 2 σ0
第二节 正态总体均值 与方差的假设检验
一、单个总体参数的检验 二、两个总体参数的检验
下 回
停
一、单个总体参数的检验
1. σ 为已知，关于μ的检验（U检验法）
2 )的一样本， 设X1 , X 2 , , X n是来自正态总体 N ( μ, σ 0 2已知，检验步骤： 其中μ未知，μ R, σ0
2
1 假设 H0 : μ μ0 , H1 : μ μ0;
2°取检验统计量
X μ0 U ~ N 0,1, (当H0为真时,) σ/ n
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P{| U | u / 2 } α 由Φuα / 2 1 ，查表可得uα / 2 . 2 拒绝域：W1={(x1,x2,∙∙∙,xn)||u|u/2},
P| T | t / 2 (n 1)
, 查表可得 t / 2 (n 1).
拒绝域： W1 = { (x1,x2,∙∙∙,xn)| |t | t /2 (n-1)},
t T ( x1 , x2 , , xn )
4°由样本值算出 T 的值 t 进行判断:
若t W1，则拒绝H 0；
其中μ, σ 2未知，检验水平为 α，检验σ 2步骤为：
1
假设H 0
: σ2
σ0 , H1
2
:σ2
σ0 ,
2
X1 , X 2 ,, X n为来自总体X的样本，
2 其中 σ0 为已知常数.
2°取检验统计量
χ2
2 * ( n 1) Sn 2 σ0
~ χ 2 ( n 1) , (当H 0为真时)
H 0 : μ 1600,
2
H1 : μ 1600
由于方差σ 未知，故选择统计量
X 1600 T Sn / n
当H0 成立时,T ~ t ( n-1) = t (9) ,由所给的样本值
求得x 1582 ,
*2 16528.89 Sn
故
1582 1600 t 10 0.443 16528.89
查自由度 n - 1= 9 的 t 分布表得临界值
tα / 2 ( n 1) t0.025(9) 2.262.
由于|t| =0.443<2.262=t0.025(9) , 因此可以接H0 ,
即可以认为这批灯泡的平均寿命1600h.
3. μ为未知，关于σ 2的检验（χ 2检验法）
设X 1 , X 2 , , X n是来自正态总体 N ( μ, σ 2 )的一样本，
例4 甲乙两台机床生产同一种产品,今从甲生产的
产品种抽取30件,测得平均重量为130克,从乙生 产的产品中抽取40件,测得平均重量为125克.假
定两台机床生产的产品重量X,Y满足相互独立且
2 2 2 2 X ~ N ( μ1 , σ1 ),Y ~ N ( μ2 , σ 2 ), σ1 60, σ 2 80,问
拒绝域: W1={(x1, x2, ∙∙∙, xn, y1, y2, ∙∙∙, yn)||u| u /2=1.96},
2 σ2 σ1 130 125 2 u ( x y) / 2.5 60 80 n1 n2 30 40
| u | 2.5 1.96, 拒绝原假设H 0 .
其中u=U(x1,x2,∙∙∙,xn)
4°由样本值算出U的值u判断:
若u W1，则拒绝H 0；若u W1，则接受H0 .
例1 某厂生产一种钢索,断裂强度X(单位:Mpa)
服从正态分布 N ( ,402 ),从一批产品中抽取 9件, 测
算出 X 730
Mpa,问能否认为这批钢索的断
裂强度为 800 Mpa.
P{ χ
2 χα /2
α n 1} , 2
拒绝域：
2 W 1 {( x1 , x2 , , xn ) : χ 2 χ1 α / 2 ( n 1)}
2 n 1}. {( x1 , x2 , , xn ) : χ 2 χα /2
4°由样本值算出
若t W1，则接受H 0 .
例2 某型灯泡寿命X服从正态分布,从一批灯泡
中任意取出10只,测得其寿命分别为(单位:h) 1490， 1440， 1680， 1610， 1500
1750， 1550， 1420， 1800， 1580 能否认为这批灯泡平均寿命为1600h (=0.05)？
解 本题是要检验假设
解
本题归结为检验假设
H 0 : μ 800,
选择统计量
H1 : μ 800;
X 800 U 9 40
当H0成立时,U~N(0,1).对于 = 0.05,由正态分布函
数表查得u /2=u0.025 =1.96,从而得检验的拒绝域为 W1={(x1 , x2 , ∙∙∙ , xn) :|u| u 0.025 =1.96 },
2. σ 2为未知，关于μ的检验（t检验法）
设X1 , X 2 , , X n是来自正态总体 N ( μ, σ 2 )的一样本，
其中μ, σ 未知，检验水平为 α，检验μ的步骤为：
2
1
假设H 0 : μ μ0 , H1 : μ μ0 ;
2° 取检验统计量 X μ0 T ~ t ( n 1), (当H 0为真时) Sn / n 3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
1. 已知方差时两个正态总体均值的检验
2 2 σ1 , σ 2为已知, μ1 , μ2未知的检验（U检验法）
1 假设 H0 : μ1 μ2 , H1 : μ1 μ2 ;
2 取检验统计量为
2 2 σ1 σ2 U (X Y )/ ~ N (0,1) (当H 0成立时 ) n1 n2
3 取显著性水平为 α. P{ U u / 2 } ,
α 由 Φ( uα / 2 ) 1 ，查表可得 uα / 2 . 2
拒绝域:W1={(x1, x2,∙∙∙, xn, y1, y2, ∙∙∙,yn)||u|u / 2},
4 由样本值算出U的值u, 若u W1，则拒绝H 0；若u W1，则接受H0 .
由n = 5, = 0.05算得,
2 2 χα n 1 χ /2 0.025 4 11.1,
2 2 χ1 n 1 χ α / 2 0.975 4 0.484.
拒绝域为: W 1 {( x1 , x2 , , x5 ) : χ 2 0.484}
1 提出待检验的假设H0及备择假设H1; 2 选择适当的检验统计量,在H0成立的条件 下,确定它的概率分布； 3 给定检验水平 ,(依前所得的概率分布)确 4 由样本观测值计算统计量的值； 5 根据统计量的观测值落入拒绝域W1内,还 是W1外进行判断,落入拒绝域W1内,拒绝H0;落入
拒绝域W1外,接受H0.
U的观测值为
X 800 770 800 u 9 3 2.25, 40 40
由 | u | 2.25 1.96,故拒绝原假设H0,即不能认为 这批钢索的断裂强度为 800 Mpa .
假设检验的一般步骤： 上述 U 检验法的步骤具有一般性,通过以 上分析, 我们可归纳出假设检验的一般步骤：
2. 未知方差时两个正态总体均值的检验
2 2 σ1 σ2 σ 2 , 但σ 2未知, μ1 , μ2未知的检验（t检验法）
1 假设 H0 : μ1 μ2 , H1 : μ1 μ2 ;
2 取检验的统计量为
(X Y ) T ~ t ( n1 n2 2), (当H 0成立时) 1 1 Sw n1 n2
χ 2 的值进行判断:
若χ 2 W1，则拒绝 H0；若χ 2 W1，则接受 H0 .
2 拒绝域： W 1 {( x1 , x2 , , xn ) : χ 2 χ1 α / 2 ( n 1)} 2 n 1}. {( x1 , x2 , , xn ) : χ 2 χα /2
率如下: 处理前: 0.19, 0.18, 处理后: 0.15, 0.13, 0.21, 0.30, 0.66 0.00, 0.07, 0.24,
0.42, 0.08, 0.12, 0.30 , 0.27
0.19, 0.04, 0.08, 0.20, 0.12
假定处理前后含脂率都服从正态分布,且相互独立,