概率初步讲义
第四章概率初步
【知识网络】
一、概率初步
1.基本概念
（1）频数：在数据统计中，每个对象出现的次数为频数。
（2）频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。
（3）概率：某个事件发生的可能性叫做这个事件的概率。（常用多次试验的频率估计概率）2.随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中；
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
3.可能性大小
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．4.概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题。
【方法介绍】
一、用列举法求概率
1.概率的公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0．
2. 几何概型的概率问题
是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P=g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
3.列举法和树状法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
4.游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率=所求情况数总情况数．
二、利用频率估计概率
1. 利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性
不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
2.模拟实验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验．
（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟实验即可．
三．总体数目的估计
1.用抽取法估计总体数目
（1）从袋中随意摸出一个球，记下颜色，然后将其放回袋中，重复做这一过程，进行一定的次数，记录某一颜色球的次数，利用频率来估计这一颜色球的数目。
（2）利用抽样调查，从袋中一次摸出10个球，求出其中某一颜色球的个数与10的比值，再把球放回袋中，不断重复上述过程，摸一定的次数，求出这一颜色的球的个数与10的比值的平均数，即平均概率，利用平均概率来估计这一颜色球的数目。
2.用放入法估计总体数目
为了估计某一总体的数目，先从总体中抽出m个样本，并作标记，再放回总体，充分打乱顺序后再次抽出n个样本，其中有标记的样本为p个，则可估计某一总体的数量，即为m ÷p/n或mn/p.
概率论基础讲义
概率论基础知识 第一章随机事件及其概率 一随机事件 §1几个概念 1、随机实验:（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为A，B，C…… 例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、 例如，在E1中，6点”的事件便 是不可能事件, 4、基本事件： 例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 E1中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间： e. 例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点
有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。 例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。 例如， 在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在E3中，Ω={0，1，2，……} 例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。 此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京） 若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为 (组合) 例2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为
【2020春】-概率讲义初一(教师版)(1) -
概率初步 重点 1.感受可能型 2.频率的稳定性 3.等可能事件的概率 4.游戏的公平性 难点 1.判断随机事件可能性的大小 2.运用频率来估计某一事件的概率 3.按要求设计游戏 一.必然事件、不可能事件与随机事件的概念 1.必然事件：在一定条件下进行重复试验时，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 2.不可能事件：在一定条件下进行重复试验时，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 3.随机事件：在一定条件下进行重复试验时，有写事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为随机事件。 学习小目标 知识点讲解 重要总结： 1. 随机事件的发生是不能确定的，带有偶然性。 2. 在现实生活中，存在着大量的随机事件因此研究随机事件显的尤为重要，因为随机事件中有的发生的可能性大一些，有的可能性小一些，所以准确判断气可能性的大小有利于人们做出合理的决策。 3. 一般情况下，随机事件发生的可能性有大有小。 注意：有些随机事件发生的机会很大，但不是必然发生，有些随机事件发生的机会很小，
典例精讲 例1.下列事件中，是必然事件的是（B） A．明天早上会下雨 B．任意一个三角形，它的内角和等于180° C．掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视机，正在播放“老白谈天” 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件． 【解答】解：A、明天早上会下雨是随机事件，故本选项错误； B、任意一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件，故本选项正确； C、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故本选项错误； D、打开电视机，正在播放“老白谈天”是随机事件，故本选项错误； 故选：B． 例 2.硬币有数字的一面为正面，另一面为反面．投掷一枚均匀的硬币一次，硬币落地后，可能性最大的是（C） A．正面向上B．正面不向上 C．正面或反面向上D．正面和反面都不向上 【分析】分别确定各个事件的概率即可确定大小． 【解答】解：A、正面向上的可能性为； B、正面不向上的可能性为； C、正面向上或反面向上的可能性为1； D、正面和反面都不向上的可能性为0， 故选：C． 解析：解决这类可能性大小的问题，通常根据部分在整体中所占的百分比的大小来判断，应灵活掌握该方法。
初中数学概率初步讲义
第13讲概率初步 温故知新 轴对称 （一）轴对称的定义 （1）轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。 （2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 （3）轴对称与轴对称图形的区别：①成轴对称是对于两个图形而言的，指的是两个图形形状和位置关系，而轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。 （二）轴对称的性质 （1）对应点、线段、角的概念：我们把对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。 （2）轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 （3）画已知图形的轴对称图形：画轴对称图形，首先应该确定对称轴，然后找出对称点。连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形。 智慧乐园 大家都有过夹娃娃的经历吗?你觉得什么情况下 夹到娃娃的可能性会更大?与小伙伴进行讨论
知识要点一 。 感受可能性 （一）确定事件与不确定事件 1、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 2、不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 3、确定事件：必然事件与不可能事件统称为确定事件。 4、不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称随机事件。 5、 ?? ?? ?? ? ? 必然事件 确定事件 事件不可能事件不确定事件 ?典例分析 例1、下列事件不是随机事件的是（） A．投两枚骰子，面朝上的点数之积为7 B．连续摸了两次彩票，均中大奖 C．投两枚硬币，朝上的面均为正面D．NBA运动员连续投篮两次均未进 例2、袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（）A．这个球一定是黑球B．摸到黑球、白球的可能性的大小一样 C．这个球可能是白球D．事先能确定摸到什么颜色的球 例3、“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（） A．确定事件B．必然事件C．不可能事件D．不确定事件 例4、下列事件属于随机事件的有（） ①当室外温度低于﹣10℃时，将一碗清水放在室外会结冰； ②经过城市中某有交通信号灯的路口，遇到红灯； ③今年春节会下雪； ④5，4，9的三根木条组成三角形． A．②B．②④C．②③D．①④
25.3 用频率估计概率讲义 教师版
第25章概率初步 25.3 用频率估计概率 学习要求 1、会根据一个随机事件发生的频率估计这个事件发生的概率，学会用试验估计某事件出现的概率的操作过程． 2、当调查估计某事件发生的概率比较困难时，会转化成某种“替代”实际调查的简易方法． 知识点一：利用频率估计概率 例1．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（） 试验种子数n（粒）50 200 500 1000 3000 发芽频数m 45 188 476 951 2850 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95 发芽频率 A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1 【考点】X8：利用频率估计概率． 【分析】根据5批次种子粒数从50粒增加到3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95． 【解答】解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95， ∴估计种子发芽的概率为0.95． 故选C． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 变式1．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（） 实验次数100 200 300 500 800 1000 2000 频率0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 【考点】X8：利用频率估计概率． 【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断． 【解答】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意； C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意； D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意， 故选B． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 变式2．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球实验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（） 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 0.75 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 摸到白球的频率 A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6 B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率为0.6 C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200
概率初步
知识点一：随机事件 【1】下列事件中，是确定事件的是（ ） A 、打雷后会下雨 B 、明天是睛天 C 、1小时等于60分钟 D 、下雨后有彩虹 【2】下列事件是必然事件的是（ ）． A 、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6 B 、抛一枚硬币，正面朝上 C 、3个人分成两组，一定有2个人分在一组 D 、打开电视，正在播放动画片 【3】下列事件中，不可能事件是（ ） A 、掷一枚六个面分别刻有1-6数码的均匀正方体骰子，向上一面的点数是“5” B 、任意选择某个电视频道，正好在播放动画片 C 、肥皂泡会破碎 D 、边长分别为3、4、5的三角形不是直角三角形 【4】“是实数, ”这一事件是（ ） A 、必然事件 B 、不确定事件 C 、不可能事件 D 、随机事件 知识点二：随机事件的概率 【5】下列说法不正确的是 A 、某种彩票中奖的概率是11000 ，买1000张该种彩票一定会中奖 B 、了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查 C 、若甲组数据的标准差S 甲=0.31乙组数据的标准差S 乙=0.25则乙组数据比甲组数据稳定 D 、在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件 【6】某市气象局预报称：“明天本市的降水概率为70%。”这句话指的是（ ） A 、明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨 B 、明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨 C 、明天本市一定下雨 D 、明天本市下雨的可能性为70% 频率与概率： 在n 次试验中，时间A 发生的频数m 满足n m ≤≤0，进而可知当n m 稳定到常数P 时，有10≤≤P 。 必然事件：P=1 不可能事件：P=0 【7】从下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是中心对称称图形的卡片的概率是 【8】如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子．若每边每段绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为 a ||0a ≥
2020年中考数学一轮复习讲义(上海专版) 专题18 概率初步(解析版)
专题18 概率初步 一、确定事件和随机事件 1、确定事件 必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件： 在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。 二、随机事件发生的可能性 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。 三、概率的意义与表示方法 1、概率的意义 一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率 m n 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
2、事件和概率的表示方法 一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P(A)=P 四、确定事件和随机事件的概率之间的关系 1、确定事件概率 (1)当A是必然发生的事件时，P(A)=1 (2)当A是不可能发生的事件时，P(A)=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小 0 1概率的值 不可能发生必然发生 事件发生的可能性越来越大 五、列表法求概率 1、列表法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 2、列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 六、树状图法求概率 1、树状图法 就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 2、运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 【例1】(2019?上海)一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是．
概率论基础复习资料
概率论基础复习资料 训练题选： 1、设A ，B ，C 为三个事件，则A 、B 、C 至少有一个发生可表示为？ 2、设A ，B ，C 为三个事件，则A 、B 、C 都不发生可表示为？ 3、设事件A 的概率为31)(= A P ，事件 B 的概率为21)(=B P ，且4 1)(=AB P ，求．)(B A P 4、设41)(=A P ，31)(=A B P ，2 1)(=B A P ，求)(B A P . 5、某人射击三次，以)3,2,1(=n A n 表示事件“第n 次射击时击中目标”，，试用 )3,2,1(=n A n 表示事件“至多击中目标一次”。 6、甲、乙两个班级进行篮球比赛，设事件A=“甲胜”，则事件A 表示什么事件？ 7、某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，求5次射击中恰有3次命中 的概率。 8、设某盒子中有２４个球，现随机抽取一上是红球的概率是25.0，求盒子中红 球的数量。 9、盒中有3红2白共5个球，从中任取2个球，则取到两个同色球的概率是多 少？ 10、设在随机试验中事件A 的概率为6 1)(=A P ，求在6次独立重复试验中，事件A 出现的2次的概率 11、设随机变量设)4,1(~N X ，已知设6915.0)5.0(=Φ，计算)21(≤≤X P 12、某篮球运动员投篮命中率为0.8，求其两次投篮没有全中的概率
13、若A 与B 相互独立，4 3)(=A P ，41)(=AB P ，求)(B P 14、在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共十个不同的号码中随机地不放回抽取 一个号码，求第三次抽取时恰好抽到8号球的概率是多少？ 15、从1,2,3,4,5中任取3个数字，计算则三个数字中不含1的概率。 16、盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个乒乓球，现随机地从 中取出5个球，求取到的五个乒乓球中最大号码为7的概率，最小号码为7的概 率。 17、已知随机变量X 只能取值-1,0,1,2四个数值，其相应的概率为设 c c c c 162,85,43,21，求常数C 18、设随机变量X 服从正态分布，即X ～),(2οu N ，计算?? ? ??≤-0οu X P 13、设随机变量X 服从区间]1,0[上的均匀分布，即X ～]1,0[U ，计算()1≤X P 20、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，即X ～)3(P ，求)2(≤X P 21、设X 服从[]41， 上的均匀分布，求)53(< 2016考研数学概率论零基础入门讲 目录 第一讲随机事件与概率 (1) 第二讲一维随机变量及其概率分布 (7) 第三讲随机变量的数字特征 (12) 【注】（1）数二的考生不需要学习这部分内容。 （2）老师没有完全按照讲义的顺序讲课，而是打乱了顺序，重新整合授课体系，但是老师所讲的内容多数是包含在讲义中的，讲义中没有的内容需要同学们自己做笔记. 第一讲随机事件与概率 一、从古典概型讲起 1.随机试验与随机事件 称一个试验为随机试验，如果满足： （1）同条件下可重复 （2）所有试验结果明确可知且不止一个 （3）试验前不知哪个结果会发生 【注】①在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母A, B, C 等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为Ω．每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为φ． ②随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为ωi . 2.古典概率 称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型，如果其基本事件空间(样本空间)满足: (1)只有有限个基本事件(样本点)； (2)每个基本事件(样本点)发生的可能性都一样． 【注】①等可能：对于可能结果: ω1,ω2 , ,ωn ，我们找不到任何理由认为其中某一结果ωi 更易发生，则只好（客观）认为所有结果在试验中发生的可能性一样. ②如果古典概型的基本事件总数为n ，事件A 包含k 个基本事件，即有利于A 的基本事件k 个．则A 的概率定义为 P( A) =k = 事件A所含基本事件的个数n 由上式计算的概率称为A 的古典概率． 3.计数方法 基本事件总数 1 【考点链接】 1．__________________叫确定事件，________________叫不确定事件（或随机事件），__________________叫做必然事件，概率为_______，____________叫做不可能事件.概率为。 2． ___________ ___________叫概率.概率计算公式为 3．求概率的方法： （1）利用概率的定义直接求概率； （2）用树形图和________________求概率； （3）用_________________的方法估计一些随机事件发生的概率． 4．判断某个游戏是否公平，评判的根据是概率的大小，解答这类问题，实质是预测参与游戏各方赢得概率的大小。 【典型例题】 1. 在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红 球的概率是． 2．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机 摸出一个球，它是白球的概率为2 3 ，则n ． 3．下列事件是必然事件的是（） A．打开电视机，正在播放动画片 B．2008年奥运会刘翔一定能夺得110米跨栏冠军 C．某彩票中奖率是1％，买100张一定会中奖 D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球 4．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（） A．1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 5 5．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）A．12 B．9 C．4 D．3 6．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（） A．1 B．1 2 C． 1 3 D． 1 4 7．某火车站的显示屏，每隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是（） A．1 6 B. 1 5 C. 1 4 D． 1 3 8．在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖 金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖, 参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再 翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这 位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A．1 5 B． 2 9 C． 1 4 D． 5 18 例1 小明、小华用4张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，?梅花5）玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，?抽出的牌不放回． （1）若小明恰好抽到了黑桃4． （第4题） 1 概率初步 知识点睛 1. 事件 必然事件 确定事件 不可能事件 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 2. 概率 （1）对于一个随机事件 A ，我们刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为 P (A)． 注：0≤P (A)≤1，P (A)表示的是事件 A 发生的可能性大小， 当 A 为必然事件时，P (A)=1；当 A 为不可能事件时，P (A)=0． 事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0． （2）一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那 么事件 A 发生的概率 P (A)= m ． n （3）用列举法求事件的概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．常使用列表法和画树状图两种方法列举事件所有可能出现的结果． ①用列表法求概率适用于求涉及两步试验的随机事件发生的概率； ②当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用画树状图法来求事件的概率很有效． 3. 频率与概率 在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定 性．因此，可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率． 事件 2 精讲精练 1. 下列事件中，必然事件是（ ） A ．抛掷 1 个均匀的骰子，出现 6 点向上 B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C ．366 人中至少有 2 人的生日相同 D ．实数的绝对值是非负数 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A ．画一个三角形，其内角和为 361° B ．任意做一个矩形，其对角线相等 C ．任取一个实数，其与相反数之和为 0 D ．外观相同的 10 件同种产品中有 2 件是不合格产品，现从中抽取一件为合格品 3. 下列说法中，正确的是（ ） A ．不可能事件发生的概率为 0 B ．随机事件发生的概率是 1 2 C ．概率很小的事件不可能发生 D ．抛掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数一定是 50 次 4. 下列说法正确的是（ ） A ．袋中有形状、大小、质地完全一样的 5 个红球和 1 个白球， 从中随机抽出一个球，一定是红球 B ．天气预报“明天降水概率为 10%”，是指明天有 10%的时间会下雨 C ．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票 1 000 张，一定会中奖 D ．连续掷一枚均匀硬币，若 5 次都是正面朝上，则第 6 次仍然可能正面朝上 5. 小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，E ， F 分别是矩形 ABCD 的两边 AD ，BC 上的点，EF ∥AB ，M ， N 是 EF 上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率 为 ． A E D B F C 3.1 随机事件的概率 3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义(第一、二课 时) 1、教学目标： （1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；（2）正确理解事件A 出现的频率的意义；（3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A 发生的频率f n （A ）与事件A 发生的概率P （A ）的区别与联系；（3）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题． 2、基本概念： （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=n n A 为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。 （6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A 与试验总次数n 的比值n n A ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 （7）似然法与极大似然法：见课本P111 3、例题分析： 例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）“平抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”； （3）“某人射击一次，中靶”； （4）“如果a ＞b ,那么a －b ＞0”; （5）“掷一枚硬币，出现正面”； （6）“常温下，铁通电后，发热”； （7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； （9）“没有水份，种子能发芽”； （10）“在常温下，焊锡熔化”． 第25章概率初步 25.2 用列举法求概率 学习要求 1、会通过列举法分析随机事件可能出现的结果，求出“结果发生的可能性相等”的随机事件的概率． 2、能运用列表法和树状图法计算一些事件发生的概率． 知识点一：直接列举法求概率 例1．把1枚质地均匀的普通硬币重复掷两次，落地后出现一次正面一次反面的概率是（） A．1 B．C．D． 变式1．从长度分别为2、3、4、5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为（）A．B．C．D． 变式2．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（） A．B．C．D． 变式3．学校组织初三数学备课组全体教师去外校听课，安排了两辆车，按1～2编号，程、李两位教师可任意选坐一辆车． （1）用画树状图的方法或列表法列出所有可能的结果； （2）求程、李两位教师同坐2号车的概率． 变式4．在2017年“KFC”乒乓球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会 相同，且乙队已经赢得了第1局比赛． （1）列表或画树状图表示乙队所有比赛结果的可能性； （2）求乙队获胜的概率． 知识点二：列表法求概率 例2．如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4． 如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；… 设游戏者从圈A起跳． （1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1； （2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？ 变式1．将A，B两男选手和C、D两女选手随机分成甲、乙两组参加乒乓球比赛，每组2人． （1）求男女混合选手在甲组的概率； （2）求两个女选手在同一组的概率． 高三数学总复习讲义--概率 第一讲：随机事件的概率 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 必然事件：在一定条件必然要发生的事件。 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 事件A的概率： 一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作 P(A)。由定义可知，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。 等可能事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。如果试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性相等，那么每个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率。 在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数与集合I的元素个数的比值： （古典概型） 这样就建立了事件与集合的联系，从排列组合的角度看，m,n实际上就是事件的排列数或组合数。 题型一：与排列组合综合 例1.某班委会由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是____________________； 练习1.将7人（含甲、乙两人）分成三组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为 ________________；甲、乙分在同一组的概率P=________________。题型二：与两个计数原理综合 例2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色，再将正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，从切好的小正方体中任选一个，所得正方体的六个面均没有涂色的概率是________________； 概率初步 知识点睛 1.事件 ??必然事件 ?确定事件? ??不可能事件 ? 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机 事件． 2.概率 （1）对于一个随机事件 A，我们刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A)． 注：0≤P(A)≤1，P(A)表示的是事件 A 发生的可能性大小，当 A 为必然事件时，P(A)=1；当 A 为不可能事件时，P(A)=0．事 件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0． （2）一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m 种结果，那 么事件 A 发生的概率P(A)= m ．n （3）用列举法求事件的概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．常使用列表法和画树状图两种方法列举事件所有可能出现的结果． ①用列表法求概率适用于求涉及两步试验的随机事件发生的 概率； ②当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用画 树状图法来求事件的概率很有效． 3.频率与概率 在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率． 事件 精讲精练 1.下列事件中，必然事件是（） A．抛掷 1 个均匀的骰子，出现 6 点向上 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．366 人中至少有 2 人的生日相同D ．实数的绝对值是非负数 2.下列事件是随机事件的是（） A．画一个三角形，其内角和为 361° B．任意做一个矩形，其对角线相等 C． 任取一个实数，其与相反数之和为 0 D．外观相同的 10 件同种产品中有 2 件是不合格产品，现从中抽取一件为合格品 3.下列说法中，正确的是（） A．不可能事件发生的概率为 0 1 B．随机事件发生的概率是 2 C．概率很小的事件不可能发生 D．抛掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数一定是 50 次 4.下列说法正确的是（） A．袋中有形状、大小、质地完全一样的 5 个红球和 1 个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球 B．天气预报“明天降水概率为 10%”，是指明天有 10%的时间会下雨 C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票 1 000 张，一定会中奖 D．连续掷一枚均匀硬币，若 5 次都是正面朝上，则第 6 次仍然可能正面朝上 5.小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，E， F 分别是矩形ABCD 的两边AD，BC 上的点，EF∥AB，M， N 是EF 上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率为． A E D B F C 第一章随机事件与概率 【字体：大 中 小】【打印】 本章概述 内容简介 本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。 考情分析 内容讲解 §1.1 随机事件 1.随机现象： 确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等； 不确定现象： 随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等； 其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。 结论：随机现象是不确定现象之一。 2.随机试验和样本空间 随机试验举例： E 1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E 2：掷一枚骰子，观察出现的点数。 E 3：记录110报警台一天接到的报警次数。 E 4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。 E 5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。 E 6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。 随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。 样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。 举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。 3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。 必然事件：一定发生的事件，记作 不可能事件：永远不能发生的事件，记作 4.随机事件的关系和运算 由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。 （1）事件的包含和相等 包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作 ，或。 2007年4月2007年7月2007年10月单项选择题2题4分3题6分2题4分填空题4题8分4题8分4题8分 计算题1题8分1题8分 合 计 7题20分 8题22分 6题12分 专题：概率初步（1） 重难点易错点解析 题一：题面：下列说法中错误的是（ ） A ．某种彩票的中奖率为1％，买100张彩票一定有1张中奖． B ．从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件． C ．为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式． D ．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是2的概率是6 1 ． 金题精讲 题一：题面：定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V 数”如“947”就是一个“V 数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V 数”的概率是（ ） A ． 14 B ．310 C ．12 D ．3 4 满分冲刺 题一：题面：如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ） A ． 12 B ．13 C ．14 D ．16 题二：题面：给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（ ） A ． 61 B ．31 C ．21 D ．3 2 题三：题面：“湘潭是我家，爱护靠大家”．自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为1 3，遇到黄灯的概率为1 9 ，那么他遇到绿灯的概率为（ ） A ．13 B ． 23 C ．49 D ．59 课后练习详解 重难点易错点解析 题一：答案：A． 详解：根据概率的意义，随机事件，调查方法的选择，概率公式对各选项作出判断： A：某种彩票的中奖率为1%，是中奖的频率接近1%，所以买100张彩票可能中奖，也可能没中奖，所以A选项的说法错误； B、从装有10个红球的袋子中，摸出的应该都是红球，则摸出1个白球是不可能事件，所以B 选项的说法正确； C、为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式，而不应采用普查的方式，所以C 选项的说法正确； D、掷一枚普通的正六面体骰子，共有6种等可能的结果，则出现向上一面点数是2的概率是1 6 ，所以D选项的说法正确． 故选A． 金题精讲 题一： 答案：C． 详解：画树状图得： ∵可以组成的数有：321，421，521，123，423，523，124，324，524，125，325，425，其中是“V数”的有：423，523，324，524，325，425六个， ∴从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是： 61 = 122 ．故选C． 满分冲刺 题一： 答案：B． 详解：确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率： 转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是21 = 63 ． 题二： 答案：B． 详解：第1个打电话给甲、乙、丙（因为次序是任意的）的可能性是相同的，所以第一个打 北师大版七年下册概率初步培优讲义及答案 概率初步（讲义） 知识点睛 1. 事件的分类 ________________________________________________________________???????? 事件（） 2. 频率：在n 次重复试验中，不确定事件发生了m 次，则比值________称为事 件A 发生的频率． 3. 概率：刻画事件A 发生的可能性大小的数值，称为事件A 发生的________， 记为P （A ），必然事件发生的概率为_______；不可能事件发生的概率为________；不确定事件A 发生的概率P （A ）的范围是________________________． 4. 概率的求法：一般地，如果一个试验有n 种等可能的结果，事件A 包含其中 的m 种结果，那么事件A 发生的概率为： P （A ）=__________． 精讲精练 1. 下列说法中不正确的是（ ） A ．“抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上”是随机事件． B ．“任意打开七年级下册课本，正好是97页”是随机事件． C ．“打开电视，正在播放新闻联播节目”是必然事件． D ．“把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个 球”是必然事件． 2. 在一个不透明的盒子里面装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40 个．小聪做摸球试验，他将盒子里面的球搅均匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据，并得出了 四个结论，其中正确的是（） B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的频率约为0.6 C．当试验次数n为3 000时，摸到白球的次数m一定等于 1 800 D．这个盒子中的白球有28个 3.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的 频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到 红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 4.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外 其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频 不能同时发生” 与，“：）不相容（）对立关系：（）等价关系：（发生” 发生必有，“）包含关系：（四种关系 系，三种运算 一般地，事件有四种关系与运算 系与运算就是集合的关间的子集，事件之间关、事件的关系是样本空为随机事件，简称事件规律性的试验结果，称某种大量的重复试验中具有生也可能不发生，而在在一次试验中，可能发随机事件 的样本空间成的集合，称为该试验试验的所有可能结果构空间样本 ，称为随机试验能确定哪一个结果出现）进行一次试验之前不（果； 明确试验的所有可能结不止一个，且事先可以）每次试验的可能结果（重复进行； ）可以在相同的条件下（若试验满足三个特性， 随机试验 事件 试验，样本空间，随机、三个基本概念：随机内容提要 有关事件概率的方法试验的概念，掌握计算立性重复进行概率计算，理解独念，掌握用事件独立性、理解事件独立性的概叶斯公式公式，全概公式以及贝公式，减法公式，乘法概型，掌握概率的加法型和几何本性质，会计算古典概的概念，掌握概率的基、理解概率、条件概率算，掌握事件的关系及运，理解随机事件的概念、了解样本空间的概念考试要求随机事件及其概率 第一章 B A 4A 3B A 2 B A B A 12. . . 3211. 3. 2. 1φ==?AB 组成，个基本事件（由其中能性相同，事件现的可且试验中各基本事件出，，本事件设试验结果共有几个基概率的古典定义 的概率）是事件（称） （（则互不相容（即，，）可列可加性：设事件（）（）规范性：（）（）非负性：（）满足三条性质： （），若（，规定一个实数域，对于任一事件为定义中所有事件组成的集合为其样本空间，以是一个随机试验，设概率的公理化定义 高度概括几何定义，统计定义的义，念，它是概率的古典定率论的一个最基本的概概率的公理化定义是概、概率的定义 ）积差转换率：（（或，则）分解率：若（，且，则）吸收率：若（） （））（（））结合率：（（，）交换率：（） ）（（）分配率：（，）对偶率：（事件的运算法则 不发生” 发生而，“：）事件的差 （同时发生” 与），“（或）事件的积（交）：（至少有一个发生”与），“（或）事件的和（并）：（三种运算 ),. ) ,31 20 1. 3765432112. 1211121n m m A A A P A P A P j i A A A A P A P A P A P A E E AB A B A B A B A A B B A A B B A B B A A AB B A B C A C AB C B A C B A BA AB A B B A C B C A C AB B A A B B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A n i i i i j i ≤=≠Φ==Ω≥Ω-==-+==?==?=======-+∑∞=∞=ωωωΛΛY Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y I Y Y历年考研数学概率论零基础讲义
江苏省宿迁市宿豫区陆集初级中学中考数学 第15讲 概率初步复习讲义 苏科版
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