反比例函数的图像与性质的常见应用

设过点P(0，2)，点A(2，3)的直线对应的函数
表达式为y＝ax＋b，
∴
ìïïíïïî
b＝2， 2a＋b =
3，解得
ìïïïíïïïî
a＝ b=
1， 2 2.
即直线PA对应函数的解析式为y＝
1
x＋2.
将y＝0代入y＝
1
2
x＋2，得x＝－4，
2
∴D点的坐标为(－4，0)．
∴OD＝4，
的图像上，
∴ 1 n＝4，解得n＝8，
2
即点B的坐标为 骣ççç桫12 , 8÷÷÷.
由A(2，2)，B 骣 ççç桫12 , 8÷÷÷ 在一次函数y＝ax＋b的
图像上，
得
ìïïïíïïïî
2＝2a＋b， 8＝1 a＋b，
2
解得
ìïïíïïî
a＝－4， b＝10.
(2)由(1)得，一次函数的表达式为y＝－4x＋10.
3 x
中，得a＝－3，
∴A(1，－3)．
∵B点是直线y＝－ 1 x＋ 1 与反比例函数
y＝－
3
22 的图像在第四象限的交点，
x
由
ìïïïï íïïïïïî
y＝－ 1 2
ywenku.baidu.com－ 3 x
x＋ 1 ， 2
.
解得
ìïï眄 镲 镲 î xy11＝ ＝3－，1，
ìïïï ïî
x2＝－2，
y2＝
3 2
.
∴点B的坐标为(3，－1)．
5．如图，已知点A(1，a)是反比例函数y＝－ 3 的图像
上一点，直线y＝－
1 2
x＋ 1 2
x 与反比例函数y＝－
3 x
的图像在第四象限的交点为点B.
(1)求直线AB对应的函数表达式；
(2)动点P(x，0)在x轴的正半轴上
运动，当线段PA与线段PB的
长度之差达到最大时，求点P
的坐标．
解：(1)将A(1，a)的坐标代入y＝－
∵点A(－1，4)，O(0，0)，
∴点M的坐标为
骣 ççç桫-
1, 2
2÷÷÷.
即直线l与线段AO的交点坐标为
骣 ççç桫-
1, 2
2÷÷÷.
题型 3 利用反比例函数解与图形的中心对称相关的问题
3．如图，直线y＝ 3 x－
3 B，与反比例函数y＝
k
3与x，y轴分别交于点A， (k＞0)的图像交于点C，D，
解得x1＝6(舍去)，x2＝－3.
∴点D的坐标是(－3，－2 3 )．
又∵点E的坐标为(3，2 3 )，
∴点E与点D关于原点O成中心对称．
题型 4 利用反比例函数解与图形的平移相关的问题
4．如图，反比例函数y＝ k 与一次函数y＝ax＋b的图
像交于点A(2，2)，
B
x (
1
，n).
2
(1)求这两个函数表达式；
x
过点A作x轴的垂线交该反比例函数图像于点E.
(1)求点A的坐标．
(2)若AE＝AC.
①求k的值．
②试判断点E与点D是否关
于原点O成中心对称，
并说明理由．
解：(1)当y＝0时，得0＝
3 x－ 3
3 ，解得x＝3.
∴点A的坐标为(3，0)．
(2)①如图，过点C作CF⊥x轴于点F.
设AE＝AC＝t，易知点E的坐标是(3，t)，
(2)将一次函数y＝ax＋b的图像沿y
轴向下平移m个单位长度，使平
移后的图像与反比例函数y＝
k x
的图像有且只有一个交点，
求m的值．
解：(1)∵A(2，2)在反比例函数y＝ k 的图像上， x
∴k＝4.
∴反比例函数的表达式为y＝ 4 .
又∵点B
骣 ççç桫12 ,
x n÷÷÷ 在反比例函数y＝
4 x
将直线y＝－4x＋10向下平移m个单位长度得直
线对应的函数表达式为y＝－4x＋10－m， ∵直线y＝－4x＋10－m与双曲线y＝ 4 有且只
x 有一个交点， 令 －4x＋10－m＝ 4 ，得4x2＋(m－10)x＋4＝0，
x ∴Δ＝(m－10)2－64＝0，
解得m＝2或m＝18.
题型 5 利用反比例函数解与最值相关的问题
习题课 第二十七章 反比例函数
第3课时 反比例函数图像与 性质的常见题型
名师点金
反比例函数图像的位置及增减性由k的符号决定， |k|决定图像上一点向两坐标轴所作垂线与两坐标轴围 成的矩形面积，中考时常将反比例函数图像和性质与 其他函数、几何图像综合在一起进行考查，是中考压 轴题中一个重要的命题方向．
题型 7 利用反比例函数解与一次函数、三角形面积综合的问题
7. 如图，平行四边形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数
y=
k x
(k≠0)图象上，点B，D在x轴上，且B，D两点关
于原点对称，AD交y轴于P点．
(1)已知点A的坐标是(2，3)，
求k的值及C点的坐标；
(2)若△APO的面积为2，求
点D到直线AC的距离．
设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b，
\
ìïïíïïî
k＋b＝－3， 3k＋b＝－1.
\
ìïïíïïî
k＝1， b＝－4.
∴y＝x－4.
(2)当P点为直线AB与x轴的交点时，线段PA与线
段PB的长度之差最大．
∵直线AB对应的函数表达式为y＝x－4，
∴点P的坐标为(4，0)．
题型 6 利用反比例函数解与最值相关的问题
k≠0)的图像上，
∴k＝－1×4＝－4.
∴反比例函数的表达式为 y = - 4 . x
把点A(－1，4)，B(a，1)的坐标分别代入y＝x＋b，
得
ìïïíïïî
4＝－1＋b， 1＝a＋b，
解得
ìïïíïïî
a＝－4， b＝5.
(2)如图，设线段AO与直线l相交于点M.
∵A，O两点关于直线l对称，
∴点M为线段OA的中点．
(2)连接OC，OC′. ∵点C的坐标为(－1，2)，
∴OC＝ 22 + 12 = 5.
∵△ABC以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋 转90°，得到△A′B′C′，点C′是点C的对应点，
∴OC′＝OC＝5，∠COC′＝90°.
∴CC′＝ OC2 + OC '2 = 10.
题型 2 利用反比例函数解与图形的轴对称相关的问题
解：(1)∵点A的坐标是(2，3)，且点A在反比例函数
y = k (k≠0)图象上， x
∴ 3 = k , ∴k＝6， 2
又易知点C与点A关于原点O对称，
∴C点的坐标为(－2，－3)．
(2)∵△APO的面积为2，点A的坐标是(2，3)，
∴2＝ OP ×2 ，解得OP＝2， 2
∴点P的坐标为(0，2)．
2. 如图，一次函数y＝x＋b的图像与反比例函数y＝ k (k为常数，k≠0)的图像交于点A(－1，4)和点 x B(a，1)．
(1)求反比例函数的表达式 和a，b的值；
(2)若A，O两点关于直线l对 称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交 点坐标．
解：(1)∵点A(－1，4)在反比例函数 y = k (为常数， x
∴2＝2m.
∴m＝1.
∴点A的坐标为A(1，2)．
又点A(1，2)在反比例函数y＝
k x
的图像上，
∴k＝2.
(2)如图，设平移后的直线与y轴交于点B，连接AB，则 S△OAB＝S△OAP＝2. 过点A作y轴的垂线AC，垂足为点C， 则AC＝1. ∴OB·AC＝2. ∴OB＝4. ∴平移后的直线对应的函 数表达式为y＝2x－4.
6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比 例函数y＝ k 在第一象限内的图像交于点A(m， x 2)．将直线y＝2x向下平移后与反比例函数在第 一象限内的图像交于点P， 且△POA的面积为2. 求：(1)k的值； (2)平移后的直线对应的函 数表达式．
解：(1)∵点A(m，2)在直线y＝2x上，
在Rt△AOB中，
易知OB＝ 3 ，OA＝3，
∴AB＝ OB2 + OA2 = 2 3.
∴AB＝2OB. ∴∠OAB＝30°. ∴∠CAF＝30°.∴CF＝ 1 t.
2
∴ AF =
AC 2 - CF 2 =
t2 -
骣 ççç桫12
2
t ÷÷÷
=
3 t. 2
骣 ∴点C的坐标是 çççç桫3 +
3 t, 2
1 2
t ÷÷÷÷.
又∵点C与点E均在反比例函数 y =
k
(k＞0)的
x
图像上，
骣 ∴ çççç桫3 +
3 2
t ÷÷÷÷?
1t 2
3t,
解得t1＝0(舍去)，t2＝2 3 .
∴k＝3t＝6 3 .
②点E与点D关于原点O成中心对称．理由如下：
设点D的坐标是 骣 çççç桫x,
3 x3
3÷÷÷÷,
则 x骣 çççç桫33 x - 3÷÷÷÷= 6 3,
题型 1 利用反比例函数解与图形旋转相关的问题
1. 如图，△ABC的顶点坐标为A(－2，3)，B(－3，1)， C(－1，2)，以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋 转90°，得到△A′B′C′，点B′，C′分别是点B，C 的对应点．求： (1)过点B′的反比例函数的表达式； (2)线段CC′的长．
解：(1)由题易得点B的对应点B′的坐标为(1，3)， 设过点B′的反比例函数表达式为 y = k , x ∴k＝3×1＝3. ∴过点B′的反比例函数表达式为 y = 3 . x