常微分方程考研讲义第五章线性微分方程组

向量函数级数 称为在区间 上是收敛的（一致收敛的），如果其部分和作成的向量函数序列在区间 上是收敛的（一致收敛的）。
判别通常的函数级数的一致收敛性的维氏判别法对于向量函数级数也是成立的，这就是说，如果
，
而级数 是收敛的，则 在区间 上是一致收敛的。
积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，这就是说，如果连续向量函数序列 在区间 上是一致收敛的，则
考虑 阶线性微分方程的初值问题
（5.6）
其中 ， 是区间 上的已知连续函数， ， 是已知常数。我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题
(5.7)
其中
事实上，令
这时
而且
现在假设 是在包含 的区间 上（5.6）的任一解。由此，得知 在 上存在、连续、满足方程（5.6）且 。令
其中 , , , ( )，那么，显然有 。此外，
[考核目标]
1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理
5.1.1记号和定义
考察形如
（5.1）
的一阶线性微分方程组，其中已知函数 和 在区间 上上是连续的。方程组（5.1）关于 及 是线性的.
引进下面的记号：
（5.2）
这里 是 矩阵，它的元素是 个函数 .
定理１（存在唯一性定理）如果 是 矩阵。 是 维列向量，它们都在区间 上连续，则对于区间 上的任何数 及任一常数向量
方程组
（5.4）
存在唯一解 ，定义于整个区间 上，且满足初始条件
。
类似于第三章，我们分成五个小命题来证明.
命题１ 设 是方程组（５.４）的定义与区间 上且满足初始条件 的解，则 是积分方程
这就表示这个特定的向量 是（5.7）的解。反之，假设向量 是在包含 的区间 上（5.7）的解。令
并定义函数 ，由（5.7）的第一个方程，我们得到 ，由第二个方程得到 , ，由第 个方程得到 ，由第 个方程得到
由此即得
同时，我们也得到
这就是说， 是（5.6）的一个解。
总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义下是等价的：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。
值得指出的是：每一个 阶线性微分方程可化为 个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。例如方程组
，
不能化为一个二阶微分方程。
5.1.2存在唯一性定理
本节我们研究初值问题
， （5.5）
的解的存在唯一性定理。类似与第三章，我们通过五个小命题，采用逐步逼近法来证明定理。因为现在讨论的是方程组（写成向量的形式），所以有些地方稍微复杂些，而且要引进向量、矩阵的“范数”及向量函数序列的收敛性等概念；然而由于方程是线性的，所以有些地方又显得简单些，而且结论也加强了。总之，我们要比较第三章中的证明和现在的证明的异同，从对比中加深对问题的理解。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组
[教学方法]讲授，实践。
[教学时间]16学时
[教学内容]n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
注意，以上谈到的是向量序列的有关定义和结果，对于一般矩阵序列，可以得到类似的定义和结果。
例如， 矩阵序列 ，其中 称为收敛的，如果对于一切 ，数列 都是收敛的。
无穷矩阵级数
称为收敛的，如果它的部分和所成序列是收敛的。
如果对于每一个整数 ，
而数值级数 是收敛的，则 也是收敛的。
同样，可以给出无穷矩阵函数级数 的一致收敛性的定义和有关结果。
第五章线性微分方程组
[教学目标]
1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，
2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，
4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
定义１设 是区间 上的连续 矩阵， 是同一区间 上的连续 维向量。方程组
（5.4）
在某区间 （这里 ）的解就是向量 ，它的导数 在区间 上连续且满足
，
现在考虑带有初始条件 的方程组（５.４），这里 是区间 上的已知数， 是 维欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。
定义2 初值问题
在区间 上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间 上可微。它们的导数分别由下式给出：
不难证明，如果 矩阵 ， 及 维向量 ， 是可微的，那么下列等式成立：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
类似地，矩阵 或者向量 在区间 上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间 上可积。它们的积分分别由下式给出：
现在我们给出（5.4）的解的定义：
, （5.5）
的解就是方程组（5.4）在包含 的区间 上的解 ，使得 。
例2 验证向量
是初值问题
,
在区间 上的解。
解 显然
因为 和 处处有连续导数，我们得到
因此 是给定初值问Leabharlann Baidu的解。
正如在第而章所看到的，当 时，我们可以得到初值问题（5.5）的解的明显表达式，当 时，情况就复杂多了。
在第四章中，我们讨论了带有初始条件的 阶线性微分方程的初值问题。现在进一步指出，可以通过下面的方法，将 阶线性微分方程的初值问题化为形如（5.5）的线性微分方程组的初值问题。
（5.3）
这里 ， ， 是 矩阵或 维列向量。
注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。这样一来，方程组（5.1）可以写成下面的形式
（5.4）
引进下面的概念。
一个矩阵或者一个向量在区间 上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间 上的连续函数。
一个 矩阵 或者一个 维列向量 ：
对于 矩阵 和 维向量 ，我们定义它的范数为
设 是 矩阵， ， 是 维向量，这时容易验证下面两个性质：
１）
２）
向量序列 ， ，称为收敛的，如果对每一个 数列 都是收敛的。
向量函数序列 ， 称为在区间 上收敛的（一致收敛的），如果对于每一个 函数序列 在区间 上是收敛的（一致收敛的），易知，区间 上的连续向量函数序列 的一致收敛极限向量函数仍是连续的。