第九章 杆件变形及结构的位移计算

l
Tl T T d dx d dx GI p GI p GI p l l T 扭转角的正负与扭矩正负相同。 截面抗扭刚度，简称抗扭刚度。
某机器传动轴AC如图所示，已知轴材料的切变 模量G=80GPa ，轴直径d=45mm。求AB、BC及AC间 相对扭转角, 最大单位长度扭转角。
第三节 用积分法求梁的变形
（3）AC杆总伸长 l l1 l2 (0.1 0.167)mm 0.067mm
二、圆轴的扭转角和刚度条件 1、扭转角的计算
扭转变形
R
dx

d
d dx
dA
dA
G
dA
A
T
T
o
A
B
T Ip
T、G、Ip为常数
4
76.4Nm

B 114.6Nm
C
AC AB BC
AB
BC
7 6.4l GI p
AB=BC=2m G=80GPa
GI p 80 109 2 105 1012
AC
114.6 l GI p
76.4 114 .6 2
80 2 10 2
BC
M x 2 lBC 80 0.4 rad 9.9412 104 rad GI p 9 8010 0.0454 32
AC AB BC (1.12103 9.94104 )rad 1.26104 rad
M x max 120 max 3.726103 rad/m 0.213 /m GI p 9 8010 0.0454 32
例如：
W=
力状态 一个体系
力在其它 虚功： 因素引起的位移上作的 的两种彼此无关的状态。
位移状态
功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
例如：
W12=P1· 2 △
FP
△ 状态1 状态2
虚位移：与对应的力无关的位移，△→ FP 虚 力：与对应的位移无关的力， FP → △ 虚 功：彼此无关的位移与力的乘积， FP △
□
P A
△A
A′
2. 位移的分类
线位移： 角位移： 绝对位移
A
(△A)
△Ay △Ax C A △C C′ P △D D′ D B
A
相对位移
△CD= △C+ △D
线位移
角位移
3.
计算位移的目的
（1）为了校核结构的刚度。
（2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 △ 起拱高度
a）荷载作用； 4、产生位移的原因主要有三种： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
2、圆轴扭转的刚度条件
轴的扭转在单位长度内不超过一定的限度。 在工程中是轴的单位扭转角不超过许用扭转角[] ，即


[ ]
T GI p
Tl /l l GI p
轴的刚度条件为
T [ ] GI p
例9-3计算轴的总扭转角
MA A MA T 解∶ A MB B MB MC C MC MA=76.4Nm MB=191Nm MC=300Nm x Ip=2105mm
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
2
下基础。

β Δ 不产生内力和变形 产生刚体移动
M FQ FN k d w 2 d x κγε
不产生内力， 产生变形产生位移
位移是几何量，自然可用几何法来求，如 但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。
b
l
5.线性变形体系
计算位移时，常假定：1）荷载与位移成正比 σ=Eε；2）小变形；3）具有理想约束的体系；4） 荷载全部撤除后，由荷载引起的位移也全部消失。 即：线弹性体系。可用叠加原理。


180

32 200 103 180 4 80 109 3.14 0.3 3.14 148 mm
取 d 150 mm
第二节 虚功原理 单位荷载法
一、结构位移 1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形和位移。
变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。 △Ay △Ax
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原 理为基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然 后讨论静定结构的位移计算。
二、功和虚功 （一）功的概念 定义：一个不变的集中力所做的功等于该力的大小与其作 用点沿力作用线方向的分位移的乘积。
Ｗ=F△
△是力作用线方向的分位移
（二）实功与虚功 实功：力在本身引起的位移上作的功。
■刚架、梁：只考虑弯曲变形引起的位移
MM P dx l EI
■对于桁架：只有轴力
FN FNP FN FNPl d x l EA EA
■对于拱：通常只有弯曲一项。当拱轴与压力曲线相近 时，需考虑弯曲和轴向变形两项。
FN FNP MM P dx dx l EA EI
FNABlAB 40 103 0.4 l1 m 1104 m 0.1mm EA1 200 109 8 104
FNBC lBC 20 103 0.4 l2 m 1.67 104m 0.167mm EA2 200 109 2.4 104
例9-2
解 （1）内力分析
TA=120Nm TB=200Nm TC=80Nm AB段 BC段
M x1 120N m
M x 2 80N m
A
B
C
0.3m
0.3m
（2）变形分析
AB
M x1 l AB 120 0.3 rad 1.12103 rad GI p 9 8010 0.0454 32
继续 1.43 10 2 rad
例9-4 用刚度条件设计传动轴的直径
A M
M
B
M=200kNm G=80GPa []=0.3o 设计轴径d。
解∶

T 32T GI p G d 4
d 4
32T 180 G [ ]
32 200 103 80 109 d 4
位移状态
单位力 P=1
虚设单位力状态
1
△
d u d w1 d FNP
外力虚功 内力虚功 得
FN
FQ
M
wk.baidu.comFQP
MP
W 1
Wi FN d u FQ d w1 M d
l
FN d u FQ d w1 M d l 单位荷载法求位移
2、各类结构的位移计算公式简化
第九章杆件变形及结构的位移计算
第一节 直杆的轴向变形和扭转角 第二节 虚功原理 单位荷载法 第三节 用积分法求梁的变形 第四节 图乘法
第一节 直杆的轴向变形和扭转角

一、直杆的轴向变形
例9-1
阶梯形直杆受力如图所示，已知该杆AB段横截 面面积A1=800mm2，BC段, A2=240mm2，杆件材料的 弹性模量E=200GPa。试求该杆总变形量。 解 （1）求AB、BC段轴力 60kN FNAB= 40kN（拉） 40kN 20kN FNBC= -20kN（压） A B C 0.4m 0.4m （2）求AB、BC段伸长量
虚并不是没有的意思，而是做功的力与相 应的位移无关。 变形体平衡的必要和充分条件是：对任 意微小虚位移，外力所作的虚功总和等于 此变形体各微段上内力所作的变形虚功总 和。即： W=Ｖ 称为虚功方程，式中： W——外力虚功 V——内力虚功（虚应变能）

三、单位荷载法 1、位移计算公式的推导