初三数学函数的复习

第一部分知识回顾

一、一次函数

㈠函数及其相关概念

1 常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某一变化过程中保持数值不变的量叫做常量．

2 函数：在某一变化过程中的两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就叫做x的函数，则x是自变量，y是因变量．⑴自变量取值范围的确定

①整式函数自变量的取值范围是全体实数．

②分式函数自变量的取值范围是使分母不为0的实数．

③二次根式函数自变量的取值范嗣是使被开方数是非负数的实数，若涉及实际问题的函数，除满足上述要求外还要使实际问题有意义．

⑵函数值：对于自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值．

㈡一次函数

1 正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果b

=（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。

y+

kx

特别地，当一次函数b

y=（k为常数，k≠0）。这时，y叫

kx

=中的b为0时，kx

y+

做x的正比例函数。

2 一次函数的图像和性质

㈢ 一次函数与方程不等式的关系 1、正比例函数和一次函数解析式的确定 待定系数法：

一次函数y kx b =+中有两个未知系数，所以我们需要两个点，通过两个点坐标的代入，就可以得出一次函数的解析式。

正比例函数y kx =只有一个未知系数，所以只要知道一个点就可以了。

2、两条直线的位置关系：平行和相交 设两条直线分别为1122,y k x b y k x b =+=+，

当12k k =的时候，两条直线是平行（两条直线平行和b 的值无关）； 当12k k ≠的时候，两条直线相交。

3、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(组)的关系

⑴解一元一次方程可转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应自变量的值； ⑵解一元一次不等式都可以转化为：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围；

⑶二元一次方程都对应一个一次函数，解二元一次方程组可以看作求两个一次函数图像的交点坐标。

二、 反比例函数

㈠反比例函数的概念

一般地，函数x

k

y =

（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

㈡ 反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

㈢ 反比例函数的性质

㈣ 反比例函数解析式的确定

确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数x

k

y =

中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

㈤ 反比例函数中反比例系数的几何意义

过反比例函数)0(≠=

k x

k

y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=xy x y =•。 k S k xy x

k

y ==∴=,, 。

三、二次函数

㈠ 二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念

一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于a

b

x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 ㈡ 二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，

（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数

c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。

㈢ 二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即

当a

b

x 2-=时，a b ac y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a

b

2-

是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a

b

2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需

要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当

2x x =时，c bx ax y ++=22

2

最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=22

2

最小。