几何概型的经典题型及答案

几何概型的常见题型及典例分析

一．几何概型的定义

1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或

体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

2．特点：

（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限

多个；

（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等.

3．计算公式：.)(积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应

的几何图形，并对几何图形进行度量.

4．古典概型和几何概型的区别和联系：

（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.

（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无

限的；

②两种概型的概率计算公式的含义不同.

二．常见题型

（一）、与长度有关的几何概型

例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos

x π的值介于0到2

1之间的概率为( ).

A. B. C. D.

分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是

区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的

发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的

区间长度有关，符合几何概型的条件.

解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即时,要使的值介于0到之间,需使

或

∴或，区间长度为，

由几何概型知使的值介于0到之间的概率为

3

1232

===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间

再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的

概率是多少？

思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限

多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．

解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三

等分，由于中间长度为30×3

1=10米， ∴3

13010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地

取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生

则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型

就可以用几何概型来求解．

例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交

点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。

思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，

题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的

直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G 是一维空间

（即直线）上的线段MN ，而有利场合所对应的区域G A 是长度不小于R 的

平行弦的中点K 所在的区间。

[解法1].设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦，直径MN 垂直于EF 和E 1F 1，

与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。依题设条件，样本空间所对应的区

域是直径MN ，有L(G)=MN=2R ，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，

则有利场合所对对应的区域是KK 1，有

1()2K L G KK OK ====

以几何概率公式得()()22

A L G P L G R ===。 [解法2].如图1-1所示，设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一

条，直径MN ⊥弦EF ，它们的交点为K ，则点K 就是弦EF 的中点。设OK=x ，

则 x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2R

设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”，则A 的有利场合是

R ≥,

解不等式，得 x ≤ 所以 ()A L G R ==

于是 ()22P A R =

= [评注] 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和

有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。两种解法各有特色，

解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x 把

代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，

但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。

例4、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，

求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率．

分析：正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12cm 长的

线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．

解：记“面积介于36cm 2 与81cm 2之间”为事件A ，事件A 的概率等价于

“长度介于6cm 与9cm 之间”的概率，所以，P(A)= 9612-=14 小结：解答本例的关键是，将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。

练习：

2、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立

即乘上车的概率是( )

解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区

域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.答案：A 3、已知集合A {x |－1

>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．

解析：由题意得A ＝{x |－1

在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝16.答案：16

4、 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出

考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求

小赵等车时间不多于10分钟的概率．

分析：因为客车每小时一班,而小赵在0～60分钟

之间任何一个时刻到车站等车是等可能的, 所以

他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的

长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何

概型的条件，且属于几何概型中的长度类型.

解析:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到

站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时，

即60分钟，因此，由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时

间不多于10分钟的概率为．

（二）、与面积有关的几何概型

例1、ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，

在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）

A ． B. C. D.

分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，

基本事件是无限多个，所以符合几何概型.

解：长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O 的距离大于1的面积为22π-

，则取到的点到O 的距离大于1的概率为 4

12221)(ππ-=-==的面积长方形的面积的距离大于取到的点到ABCD O A P . A O D

C B

1图