结构力学A2总复习

结构力学
影响线及其应用
一、影响线定义
活载形式多样，但通常都具有大小和方向不变 的特点，可利用单位荷载模拟；各种荷载作用下某量 值的计算可利用叠加原理模拟。
当一个方向不变的单位荷载沿一结构移动时，表 示某指定截面的某一量值变化规律的函数图形，称为 该量值的影响线。
二、简支梁的影响线 1. 反力影响线
CAB
M BA CAB M AB
系数CAB称为由A端至B端的传递系数。
固端弯矩、不平衡弯矩、分配弯矩、传递弯矩。
A
B
C
MAB
MBA MBC=0
FP
-MB
A
C
M AB
M B A B M B C
例 用力矩分配法作出连续梁的弯矩图和剪力图, 并计算支座反力。
10kN/m
100kN
A
B
D
C
3）结点不平衡力矩要变号分配。
4）结点不平衡力矩的计算：
固端弯矩之和 (包括结点外力偶)
（第一轮第一结点）
结点不平 衡力矩
固端弯矩之和 加传递弯矩
传递弯矩
（第一轮第二、三……结点） （其它轮次各结点）
总等于附加刚臂上的约束力矩
5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
S Aj S
A
称为分配系数。AB等于杆AB的转动刚度与交于
A点的各杆的转动刚度之和的比值。
同一结点各杆分配系数之间存在下列关系：
n
Aj AB AC AD 1
j 1
传递系数 D
M
A
A
B
C
远端固定， C 1 2
远端定向支座， C 1
远端铰支， C 0
M BA M AB
二、位移法的基本结构
通过增加附加约束（即附加刚臂和附加链杆），使原结构 成为无独立结点位移的结构，此即为位移法的基本结构。
附加刚臂
只阻止结点转动，不能 阻止 结点移动。
附加链杆
只阻止结点沿某一方向的 移动，不能阻止结点转动。
三、判断未知量的特殊情况 1 刚性梁（EI＝∞） 2 弹性支座 3 静定部分 4 支座沉降 5 组合结点 6 斜梁斜柱 7 曲杆、二力杆
2EI
EI
12m
4m
4m
（1）分配系数 （2）固端弯矩 0 （3）分配与传递 0 （4）最后弯矩 0
0.5 0.5
180 -100
100
-40 -40
-20
140 -140
80
S BA
3i
3 2EI 12

EI 2
S BC
4i

4
EI 8

EI 2
BA

BC

1 2
M BA

ql 2 8
FPR
FPcr FPn

a
h

b
当荷载向右移动时，有tan h , tan h ,则上式为：
a
b
FPL FPcr
FPR
a
b
FPL FPcr
FPR
a
b
极大值
FPL
FP1 FP2
FPR
FPcr FPn

a
h

b
FPL FPcr
1
1
A
B
＋
C
F
D
3
＋G
E
－
2
FQE影响线
3
四、机动法作超静定梁的影响线
超静定梁的反力和内力影响线都为曲线。
A
B
＋
CFQK 1 ＋ D
E
－
－ FQK 1
－
FQk影响线 轮廓
＋
MC 1
＋
Mc 影响线
轮廓
－
－
五、 利用影响线求影响量
(a) x
A
FP1C FP2
FP3
B
(b)
1
a
b
l
b
l
y2
y3
(b)由反力互等定理可知，单元刚度矩阵是一个对称方阵。 (c)自由单元的刚度矩阵是奇异矩阵。
连续梁结构刚度矩阵 连续梁计算小结： （1）结点、单元、两个坐标系、两个列向量 （2）单元刚度矩阵“定位” k e e （3）结构刚度矩阵 K （4）结点位移 K 1P （5）杆端力 F e k e e
4m 5m 4m 15m
(a) A
K
30 70
4m
B
10m
30m
40m
7.5 6.25 5.25 10 4.5
(b)
1.5 0.5
MK影响线 (单位m)
使S发生最小值的充分条件可归结为：
FPcr未过影响线顶点以前 ΣFitani≤0
FPcr过影响线顶点以后
ΣFi tani≥0
FPL
FP1 FP2
用位移法计算，最少未知量为：
四 附加约束法解题步骤
（1）选取位移法的基本未知量、基本体系； （2）列出位移法典型方程； （3）绘单位位移作用下的弯矩图、荷载弯矩图； （4）求位移法方程各系数，解位移法方程； （5）根据叠加原理绘内力图。
FQ FQP Z1FQ1 M M P Z1M1
20kN/m
100kN
A EI=1 6m
M -60
14.7
B EI=2 4m
0.4 0.6 60 -100
-33.4 29.4 44
C EI=1 D
4m
6m
0.667 0.333 100
-66.7 -33.3 22
力矩分配法小结
1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。
2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。
结论：静定梁反力及内力的影响线是直线图形。
x FP=1 FQC
B1
A
FQ C C
FQC影响线
FQRC 影响线
x AK
2m 4m
B
3m
E
3m
FQRC
CF
FQRC
2m 2m
DG
1m
1
FQRC 影响线
1 1/2
例： 试用机动法绘制图示梁 FQE的影响线
A
B
E
C F DG
6m
1.5m 1.5m 3m 2m 2m 1m
k22 =2
3i 32
12i 32

18i 32
F1P

ql 2 8
=
90 8
kN
m
MP
F2P = 80 kN m
(4) 解位移法方程
Z1

25.78 EI
，
145.78 Z2 = EI
(5)作M图
M
用位移法计算图示刚架，绘制M图。
Z1
r11Z1 R1P 0
规定：反力的方向以向上为正。
1
lx
l
FAy影响线
x
1
l
FBy影响线
2. 弯矩影响线
a
ab
b
l
MC影响线
规定：弯矩以使梁的下边纤维受拉为正。
3. 剪力影响线
1 1
a l
FQC影响线
规定：剪力以使隔离体有顺时针转动趋势为正。
三、 机动法作影响线
方法：去掉与所求量值X相应的约束，原结构成为具 有一个自由度的机构。当此机构沿X的正方向发生单位位 移时， 所得到的虚位移图即代表X影响线。
0
6EI l2
2EI


M
e i
l
0
EA
0
l

0

FNej
(C’)

0


12EI l3

6EI l2
0
12EI l3

6EI l2

FQej

0
6EI 2EI
l2
l
0
6EI l2
4EI
l

M
e j
自由刚架单元的单元刚度矩阵
1
(a)
M1
1 1 1
1 2
1
M2
FQej

4EI l

M
e j
自由梁式单元的单元刚度矩阵
uie

e i
ie
u
e j

e j

e j
EA

l

0
0
12EI l3
0
6EI l2
EA l 0
0 12EI
l3
0
FNei
6EI

FQei
l2

0
k
e


EA l
6EI l2
0
4EI l
a
y1
l
1
FQC影响线
根据影响线的定义和叠加原理，可求实际荷载作用下：
3
FQ C F P 1 y1 F P 2 y2 F P 3 y3
F Pi y i
i 1
B
B
S A qydx q A ydx qA
q
(c) A
B
(d) A
yA A1
A2
yB
S影响线
B
注意：计算面积A时需要考虑正负。
结构力学
位移法
一、基本未知量的选取
1、结点角位移数： 结构上可转动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2、结构独立线位移： 每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的 两个假设： （1）忽略轴向变形； （2）小变形假设。
两个端点距离保持不变——轴向刚度条件。
l/2
l/2
(a)
2
1 EI Z1 Z1
单结点力矩分配（只有一个转角位移，无 侧移时），力矩分配法得到精确解。
转动刚度
(a)
A
S AB
1
EI
l
(b) SAB
A1
(c) SAB
A1
B
远端固定，SAB＝4i
B
远端简支，SAB＝3i
B 远端定向支承，SAB＝i
转动刚度SAB
SAB表示使杆端产生单位转角时在转动端需要 施加的力矩。
分配系数
Aj
例： 试计算图示刚架，并绘制M图。EI＝常数。
[解] (1) 选取未知量、基本体系 (2) 写出位移法典型方程
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
基本体系
(3) 求系数和自由项
基本体系 r11
3i
3i
4i
M1
r11 10i
M2 k12 =k21= - 2i ，
r11

27i l2
R1P P
Z1

Pl 2 27i
五 直接平衡法计算步骤 1 确定未知量数目，标明独立位移，注意顺时针方向。 2 根据转角位移方程写出各杆杆端弯矩、剪力表达式。 3 利用力矩平衡和剪力平衡条件建立位移法方程。 4 求解基本未知量。 5 回代第2步求杆端力。 6 作内力图。 7 校核。
FPR
a
b
FPL FPcr
FPR
a
b
极小值
以上两式称为三角形影响线确定临界荷载的判别式。
结构力学
矩阵位移法
矩阵位移法概念和单元刚度矩阵
uie
EA
k
e


l EA
l
u
e j
EA l
EA
l

Leabharlann Baidu
FNei FNej
自由桁架单元的单元刚度矩阵

e i
12EI
4m 5m 4m 15m
(a) A
K
30 70
4m
B
10m
30m
40m
7.5 6.25 5.25 10 4.5
(b)
1.5 0.5
MK影响线 (单位m)
使S发生最大值的充分条件可归结为：
FPcr未过影响线顶点以前 ΣFitani≥0
FPcr过影响线顶点以后
ΣFi tani≤0
50100 30 70
180kN m
M BC


pl 8

100kN m
CBA 0
CBC

1 2
例 用力矩分配法计算图示刚架各杆的杆端弯矩。
100kN
B
A
D
iAB=2
iAD=2
iAC=1.5 4m
C
4m
3m
2m
杆端
BA
AB
AC
AD
DA
CA
分配系数
固端弯矩 分配和传递
最终弯矩
判断题：
(1) 力矩分配法计算刚架，经过一个循环后，不平衡力矩是 传递弯矩的代数和。（ ）
六、 最不利荷载位置
1 可动均布荷载
由于可动均布荷载可以任意断续地布置。由公 式S＝qA可知：当均布活载布满对应于影响线正号面 积的范围时，则量值S将产生最大正值Smax；反之， 当均布活载布满对应于影响线负号面积的范围时， 则量值S将产生最小值Smin。
q
q
＋
＋
－
－
Mc 影响线轮廓
50100 30 70
熟练掌握：单刚的性质及物理意义，结 构刚度方程的物理意义。
忽略轴向变形时矩形刚架的结构刚度矩阵
柱局部坐标系原点取在柱上端，梁单元局部坐标系原点取在梁左端。杆端位 移与结点位移方向一致。
y
F1
M 1 1x
EI 1 局部坐标系原 1 点取在柱上端
x 2
y EI 2
F2
M2 2 x y
EI 1
3
△

① 1
4EI1

k①
l1

2
EI1 l1

① 2
2
EI1 l1

M
① 1
4
EI1 l1

M
① 2
两端无线位移时的单元刚度矩阵
单元刚度矩阵的性质
（1） 单元刚度矩阵中系数的物理意义 （2） 单元刚度矩阵的性质
(a) 单元刚度矩阵只与单元的几何形状、尺寸以及物理性质有关， 即与A、I、l 和E有关。

l3

6EI
l2
ke


12 l
EI
3

6EI
l 2

e i
6EI l2
4EI l
6EI l2
2EI l

e j
12EI l3
6EI l2
12EI l3
6EI l2

e j
6EI l2

FQei

2EI l


M
e i


6EI l2

FP
EI 3 l
受弯直杆可忽略轴向变形和剪切变形的影响，并认 为弯曲变形是微小的，因而假定各杆两端之间的距离在 变形前后保持不变——轴向刚度条件。
几何组成分析确定线位移数
将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和固定 铰支座，分析新体系的几何组成。若为几何可变体系或瞬变 体系，则通过增加支座链杆使其变为几何不变体系，所需增 加的最少链杆数，即为原结构独立的结点线位移数。
20kN/m
40kN
D EF
A
B
C
ME 0
M ED M EC M EF 0
E
MED
MEF
MEC
35Z1 160 40 0
Z1


24 7
结构力学
力矩分配法
力矩分配法
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
应指出: 在力矩分配法中，杆端弯矩的正负号规 定与位移法相同，即杆端弯矩一律以绕杆端顺时针转 向为正。