§1 向量的长度、内积及其正交性

那么 b1 , , br 两两正交，且 b1 , , br 与 a1 , ar 等价. （2）单位化， 取
b1 b2 br e1 , e2 , , er , b1 b2 br
则 e1 , e2 , , er 是V的一个规范正交基.
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空间V的正交基. ５ 规范正交基 定义3 设n维向量组 e1 , e2 , , er 是向量空间V
的一个基， 如果 e1 , e2 , , er 两两正交且都是单位 向量，则称 e1 , e2 , , er是V的一个规范正交基.
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若 a1 , a2 , , ar 为向量空间V的一个基.
（1）正交化，取 b1 a1 ，
b1 , a2 b2 a2 b1 , b1 , b1
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第五章 相似矩阵及二次型
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第五章 相似矩阵及二次型
T 1 T 2 , , , E n 1 2 T n
T1 T 2 T n 1 1 1 T T T 21 2 2 2 n E T T T n 1 n 2 n n
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第五章 相似矩阵及二次型
４ 向量空间的正交基
且 若 1 , 2 , , r 是向量空间V的一个基， 1 , 2 , , r
是两两正交的非零向量组，则称1 , 2 , , r 是向量
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第五章 相似矩阵及二次型
把基础解系正交化， 取
[ 1 , 2] 1. a2 1 , a3 2 [ 1 , 1]
其中 [1 , 2 ] 1,[1 , 1 ] 2,
于是有
1 0 1 1 1 1 a 2 0 , a3 1 0 2 . 1 1 2 1 2 1
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n维向量x的长度（或范数）. 向量的长度具有下述性质： 1.非负性 当 x 0 时， x 0;当 x 0 时，x 0. 2.齐次性 x x ; 3.三角不等式 x y x y . 单位向量及n维向量间的夹角 称x为单位向量 (1)当 x 1时， x, y (2)当x，y都是非零向量时， arccos x y 称为n维向量x与y的夹角.
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5 5
第五章 相似矩阵及二次型
三、正交向量组的概念及求法 １ 正交的概念 当[x，y]=0时，称向量x与y正交. 由定义知，零向量与任何向量正交.
２ 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交， 则称该向
也为 R 的一个规范正交基.
4
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第五章 相似矩阵及二次型
６ 求规范正交基的方法
要求V的 设 a1 , a2 , , ar 是向量空间V的一个基，
一个规范正交基，就是找一组两两正交的单位 向量e1 , e2 , , er , 使 e1 , e2 , , er 与 a1 , a2 , , ar 等价，这样一个问题， 称为把 a1 , a2 , , ar 规范 正交化.
8 8
第五章 相似矩阵及二次型
例如
1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 e1 , e 2 0 , e 3 1 2 , e4 1 2 . 0 1 2 1 2 0 0
A A E
T
a11 a21 a12 a22 a1n a2 n
an1 a11 a12 an 2 a21 a22 ann an1 an 2
a1n a2 n E ann
由于
[ei , e j ] 0, i j,i , j 1, 2, 3,4. [ei , e j ] 1, i j,i , j 1, 2, 3,4.
e1 , e2 , e3 , e4 为 R4 的一个规范正交基. 所以
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1, 当 i j; j ij 0, 当i j
2
有 (4) [ x, x] 0, 且当 x 0 时， [ x, x] 0.
(5) [ x, y] [ x, x][ y, y].
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第五章 相似矩阵及二次型
二、向量的长度及性质 定义2 令
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]

[b1 , a r ] [b2 , a r ] [br 1 , a r ] br a r b1 b2 br 1 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br 1 , br 1 ]
第一节 向量的长度、内积及正交性
内积的定义及性质 向量的长度及性质
正交向量组的概念及求法
正交矩阵与正交变换
1
第五章 相似矩阵及二次型
一、内积的定义及性质 定义1 设有n维向量 x1 y1 x2 y2 x , y , x y n n
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第五章 相似矩阵及二次型
上述由线性无关向量组 a1 , , ar 构成出正交
向量组 b1 , , br 的过程，称为施密特正交化过程.
例1 设
1 1 4 Biblioteka Baidu a1 2 , a2 3 , a3 1 , 1 1 0
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第五章 相似矩阵及二次型
四、正交矩阵与正交变换
1 定义4 若n阶方阵满足 AT A E , 即 A AT
则称A为正交矩阵.
定理2 A为正交矩阵的充要条件是A的列(行)向量都 是单位向量且两两正交． 证明
则 e1 , e1 , e1 为两两正交的单位向量组.
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第五章 相似矩阵及二次型
1 例2 已知 a1 1 , 求一组非零向量 a 2 ,a 3 1 使 a1 , a2 , a3 两两正交.
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解 取 b1 a1 ;
1 1 [b1,a ] 4 2 b 2 a 2 [b , ] b1 3 2 1 b1 1 6 1
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
证明 设有 1 , 2 , , r 使
11 2 2 r r 0
两端左乘 a , 得 1 1 1 0
T 1
T
由 1 0 1 1 0, 有1 0 .
T 1 2
同理有 2 r 0. 故 1 , 2 , , r 线性无关.
量组为正交向量组．
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6 6
第五章 相似矩阵及二次型
３ 正交向量组的性质 定理1 若n维向量1 , 2 , , r 是一组两两正交的
非零向量组，则 1 , 2 , , r 线性无关.
令 x , y x1 y1 x2 y2 xn yn 称[x，y]为向量x与y的内积.
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2 2
第五章 相似矩阵及二次型
说明
1. nn 4 维向量的内积是3维向量数量积 的推广.
9 9
第五章 相似矩阵及二次型
同理可知
1 0 0 0 0 1 0 0 1 , 2 , 3 , 4 . 0 0 1 0 0 0 0 1
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1 5 1 ; 3 1
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第五章 相似矩阵及二次型
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 . 0 3 1 3 1 1 再把它们单位化，取 1 1 1 1 b2 b1 e1 2 , e2 1 , 6 3 b2 b1 1 1 1 1 b3 e3 0 . 2 b3 1
如果x，y都是列 2.内积是向量的一种运算， 向量， 内积可用矩阵记号表示为
x, y xT y.
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3 3
第五章 相似矩阵及二次型
内积的运算性质
(1)
( 2)
( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
解
T a2 , a3 应满足 a1 x 0,
即
x1 x2 x3 0.
基础解系为
1 0 1 0 , 2 1 . 1 1
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